Chapitre 14 Matrices

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Chap 14 : Matrices

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Chap 14 : Matrices

I. Généralités

,

( ) ( , )

( ) ( , ) ( , )

corps commutatif, ensembles finis non vides totalement ordonnés.

est un (lorsqu'il est muni des lois naturelles).

Pour , est le coefficient d'indice de

I J

I J ev

A A i j i j

  



M F

M A[a_{i j}]( , )_{i j}_{ }_{I J}

( , ) ,

(E_{i j})_{i j}_{ }_{I J} de M_{I J}( ) définie par E_{i j}( , ) 1i j  et E_{i j}( , )k l 0 (si ( , )k l ( , )i j ) est une base de M_{I J}( )

dimM_{I J}, ( ) | || I J| Si I  J 1,n , E E_{i j} _{k l} _{j k}E_{i l}

0 1

[ ] ( )

[ ] ( ) ( )

Si et , on pose ( ) est un mph d'algèbres

n n

k k

P a X X A P A a A X

P P A

 

 

    



^M



 ^M

II. Matrice d’un endomorphisme

1 1

, de dim et , ( , ) ( ), ( ...e_n) base de , ( ) ( ... _m) de E F ev n m uL E F e  e E f  f f F

( )

( ),( ) ( )

1

1, ( ) ( ) ( ) [ ] ( )

On écrit pour ,

n

f

i j i j e f e n

j i n

i

j n u e a f A a at u u



 



 ^M  ^M

( ) ( )

( , ) , [ ] [ ] ( )

( , ) ( )

( ) ( , ) :

[ ]

, , et est l'unique matrice

de vérifiant cette équivalence pour tout est un isomph

e e

mn

m n f

e

x y E F X x Y y y u x Y AX A

E F x y E F

u u

      

 

  



L M

M

( ) ( ) ( )

( )g base de de dim finie. G vL( , )F G [v u]^g_e [ ]v ^g_f [ ]u _e^f

( ). Le rang de est celui de ses vecteurs colonne. Si , rg( ) rg( )

n n

A A

A mn A f A f

X AX

 

  

M 

( ) 2

[ ]( ) rg rg || , ( ) rg( ) rg( ) rg( )

( ), ( ) rg( ) rg( ) rg( ) || ( ), rg( ) min(rg , rg )

Si ,

f

e mn

pm

n m

u A u A A B A B A B

P GL Q GL PA A AQ B BA A B

     

     

M

III. Matrices inversibles

1

( ).

rg ( )

On a équivalence entre : est inversible est inversible à gauche/droite est régulière à gauche / droite représente un isomph

, le système possède une unique s

n

A A A

A A n A

Y AX Y

  

   

   

M

det 0

olution est inversible

A tA

  

IV. Changement de bases, équivalence

( ),( ')e e bases de , E ( ),( ')f f bases de F

( ) ( ) ( ) ( ) ( ') ( ')

( ) ( ') 1

( ) ( ')

( ') ( ') , [ ] [ ] ' [ ] ' [ ]

' ' [ ] [ ]

, matrices de passage. , , ,

Si , ,

e f e f e f

f f

e e

P at e Q at f x E X x Y y X x Y y

X PX Y QY A u B u B Q AP^

      

    

M M

(2)

( )2 ( , ) ( ) ( )

et mn sont équivalentes lorsqu'il existe m n tq :

A BM R S GL GL BRAS

C'est une relation d'équivalence. Deux matrices sont équivalentes elles représentent un même endomorphisme dans 2 bases différentes

ssi

1 ( )

( ) 1

0

( , ) . ( ) ( ) [ ]

0 0

( )

de rang Il existe une base de et une base de tq

Deux matrices de sont équivalentes elles ont le même rang

f r

e mn r

mn

u E F r e E f F u J

ssi

 

 

 

L  

M

( ) rg, rg^t

M mn M M

 M 

( 1

( ) ) .

et _n sont semblables s'il existe _n tq C'est une relation d'équivalence

A BM PGL BP AP^

det det tr tr rg rg [ ], ( ) 1 ( )

Si est semblable à , A B A B, A B et A B Si f  X f B P f A P^ ( ) 1

( ) , est un automph d'algèbre.

Il y a une infinité de classes de similitudes dans _n PGLn A P AP^

M

V. Déterminants

, 1, ( )

1

[ ] ( ) det ( )

n

i j i n j

j

n j

A a j A a_



  

 

 ^M 

 

S

1

0 1

det det det det det det det

p A p t

A k

A A AB A B Ak

 

 

  

 

 

  



Comatrice : det

j

Ci j 

i

( )

( )[( 1) ] (

( ), ( ) | det

) det

| 1

, ,

Cette identité reste valable dans un anneau commutatif : si est inversible d

,

ans

i j i j

I

n n

t

com A C n

A

A com A AA AA A

A ssi A

I

 

 



 

 

  







M M

( )^I AM_n( ). Si rgA n 2, A0 Si rgA n 1 rg, A1

1 1

1

1 1

1

1 1

( ... ) ( )

Van der Monde : (Rec , i i n i )

n i

n j

n n

j

i

x x

VdM x x x x L L L

x x

x

 

     

 





1

1 1

( )(

, 0 de 1

)

... .. t

( )

Cauchy : tq

j i j i

n n i j

i j j

i j n i i j n

a a b b

a b a

a b

a b b

a b

  

 

 

     







1 1

1

( )

(

( )

( ) affine (dv

Hurcwicz: t))

i i

n

n n

n

x b b

a x a b x b

a

x t b t b t

t a t

b t a

b a b

a a x t a t x t

 

  

   

 



  

  



 

(3)

VI. Trace

2 1

1

( ) tr ( , ) || ( , ) ( ) , ( ), tr( ) tr( ), tr( ) tr

n

n n n

i

A A A i i A B P GL AB BA P AP^ A



^M 



 ^M    

( ) tr([ ] ) ne dépend pas de la base de , on le note tr tr est linéaire

uL E u _ u u u u

0 tr rg Si proj de et p E car  , p p

( ) 1

, , ( ).

| |

{ / , ( ) } dim 1 tr

| |

ou ss-gpe fini de est un projecteur de commutant avec

sev de stable par possède un supp. stable par

n n

n

n I

g G

E ev G GL p g G

G

F x g G g x x F g

G

H G H G



  

     





VII. Matrices extraites, mineurs

, *, _mn( ), 1, , 1, ,

m n AM I m J  n I  J ( , )

La I J matrice extraite de est la restriction de à A A IJ, notée A_IJ

/ / / /

( ) rg 1 1, 1, ,| | | |

( , ) ( , )

Si , il existe et tel que

la matrice extraite de soit inversible. De plus, pour tout , toute matrice extraite de est non inversible (singu

HP

A mn r A I m J n I J r

I J A s r s s

A

       

  

M

( , ) | | | |

1, \ , 1, \ ( { }, { })

Matrice bordante de

lière)

Si possède une matrice extraite inversible, avec , et si,

pour tout , la matrice extraite de est singuliè

AIJ

A I J I J r

i m I j n J I i J j A

   

     re, rgAr

Les mineurs d'une matrice sont les déterminants des matrices carrées extraites de A rg

rg

Si , possède un mineur de taille non nul, et tout mineur de taille est nul (et réciproq ).

Si possède un mineur de taille dont tous les bordants sont nuls, Le rang d'une manitre de

A r A r r t

A r A r

 

 dépend pas du corps de base

VIII. Transvections et génération du groupe linéaire

*, corps comm.

n

( ) { ( ) / det 1} ( )

, ( )

est un sous groupe distingué de

Pour matrice de transvection

n n n

n

i j i j

SL M M GL

i j T  I E

  

  

M

2 1

, , , _{i j}( ) _{i j}( ) _{i j}( ) et donc _{i j}( ) _{i j}( )

i j   T  T  T   T  ^ T 

       

( ) : ( ) :

Actions sur une matrice : T_{i j}  A L_i  L_i L_j AT_{i j}  C_j C_i

1 1

det

1 1 1 1

0

( ). ... , '... ' ... ' ... '

0 ( )

Il existe des matrices de transvection tq

Tout élément de est produit de matrices de transvection

n u v u v

n

A

A GL T T T T T T A T T

SL

 

 

 

       

(1,1) 1 (2,1)...

Pivot : A  par action à gauche : terme 0 en  rec

(4)

IX. Matrices et analyse fonctionnelle

 ou

1

sup | ( , ) | ( )

( , ) 1, 1, ( , ) ( , )

( ) 1

det est continue

Rappels : munit d'une norme qui en fait un espace produit

, Les opérations sont continues

Dans , (f

mn p

p

mn

p

n

A A i j

A A i j m n A i j A i j

GL A A

AA







 

     



M

rac. rat à plusieurs indéterminées)

( ) 1

1

, ' ( ) sup '( )

sup

deux normes sur et , la norme d'opérateur de est

Si et est une norme sur , (atteint par compacité de la sphère unité de )

n

mn

N

n

x x n

X m

n

N N A N Ax

m n A AX

X









 

M

1 1 1 , 1

1 1

, 1

1

| | sup sup | | sup

( ... ) : max max( ( )...( ( ))

Si , et si est convexe,

n

j i

j n i n

i i

s P

i

s

X x A C X x A L

P Conv a a f P R f f a f a

  



     

 



( ) est ouvert et dense dans n( ) (densité : par équivalence à et limit )e

r mn

n J

GL M

( , )A B _n( )2, AB BA (vrai sur GL_n( ) + continuité de ( , )A B AB BA)

 M  

( )

{ ( ) / det 0} ( )

L'ensemble des matrices de rang est fermé dans L'ensemble des matrices de rang vérifie

est connexe (étoilé) n'est pas co

( ° des mineurs + intersectio

n e

n)

n x

s s

s mn

s

n n

R s

P s P R

M M GL





M 

C M

1 ( )

( )

( ) (transvec

e pour tions

est connexe par arcs ) est conn xee

n n

n

SL T t GL



Utile : calcul du déterminant : prendre un terme, et soustraire toute une colonne multipliée par ce terme

