Chapitre 14 : Résumé matrices.

Lycée Louis Barthou Denis Augier

Chapitre 14 : Résumé matrices.

Dans tout le chapitreKdésignera indifféremmentRouC. Les éléments deKseront appelés des scalaires.

A Addition, multiplication par un scalaire

SoitpA, B, Cq PMn,ppKq³et pλ, µq PK²

On définit la matriceA`B parA`B “ pAi,j`Bi,jq_{pi,jqPJ1,nKˆJ1,p}

K

et λ¨A“ pλAi,jq_{pi,jqPJ1,nKˆJ1,p}

K

• pA`Bq `C“A` pB`Cq • A`B “B`A • A`0_n,p“A

• λ¨ pµ¨Aq “ pλµq ¨A

• 1¨A“A et 0¨A“0_n,p

• pλ`µq ¨A“λ¨A`µ¨A

• λ¨ pA`Bq “λ¨A`µ¨B Définition-Proposition 1

B Produit matriciel

SoitAPM_n,ppKqetBPM_p,qpKq. On définit le produitAˆB comme la matrice de taillenˆqdéfinie par

@pi, jq PJ1, nKˆJ1, qK pAˆBqi,j“

p

ÿ

k“1

Ai,kˆBk,j

Définition 1

SoitA,B etC trois matrices etλPK. Lorsque les opération effectuées sont licites, on a

• AIp“A,InA“A

• A0p,q“0n,q, 0r,nA“0r,p

• Aˆ pBˆCq “ pAˆBq ˆC

• pA`Bq ˆC“AˆC`BˆC

• Aˆ pB`Cq “AˆB`AˆC

• Aˆ pλ¨Bq “ pλ¨Aq ˆC“λ¨ pAˆCq

• Diagpλ_iq ˆDiagpµ_iq “Diagpλ_iµ_iq

• Le produit de deux matrices triangulaires supérieures est une matrice triangulaire supérieure. Le produit de deux matrices triangulaires inférieures est une matrice triangulaire inférieure.

Proposition 2

SoitAPMnpKqet pp, qq PN² (SiA estinversible, on peut choisirpp, qq PZ²) , on a

• A^pˆA^q“A^p`q • pA^pq^q “A^pq Proposition 3

SoitpA, Bq PMnpKq². On dit queAet B commutent siAB“BA. On a alors

• pA`Bq<sup>2</sup>“A<sup>2</sup>`2AB`B²

• pA´BqpA`Bq “ pA`BqpA´Bq “A²´B²

• pABqⁿ“AⁿBⁿ

• pA`Bqⁿ “

n

ř

k“0

`n k

˘A^kB^n´k “

n

ř

k“0

`n k

˘A^n´kB^k Définition-Proposition 4

BCPST 1 2019-2020 1

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SoitAPMn,ppKq, on définit la matrice transposée deA, notée^tAPMp,npKqpar^tAi,j “Aj,i

SoitpA, Bq PMn,ppKq²,CPMp,qpKqet λPK, on a

• ^tp^tAq “A

• ^tpA`Bq “<sup>t</sup>A`^tB

• ^tpAˆCq “^tCˆ^tA

• ^tpλAq “λ^tA

• On dit queAest symétrique si^tA“A, c’est-à-dire@pi, jq PJ1, nK

2, Ai,j“Aj,i

• On dit queAest antisymétrique si^tA“ ´A, c’est-à-dire :@pi, jq PJ1, nK

2, A_i,j“ ´A_j,i Définition-Proposition 5

C Écriture matricielle d’un système linéaire

SoitAPMn,ppKq. Par des opérations élémentaires sur les lignes on peut transformerA en une matrice échelonnée ˜A On définit le rang deA, notée rgpAqou RangpAqcomme étant le nombre de lignes non-nulles de ˜A.

Le rang deAest également le rang des systèmes linéairesAX“B avecBPMn,1pKqquelconque.

On a : RangpAq “Rangp^tAq Définition-Proposition 6

D Inversion de matrice

Une matrice carréeAPMnpKqest dite inversible s’il existeBPMnpKqtelle que AB“BA“In

La matriceB est alors unique, on l’appelle l’inverse deAet on la noteA^´1 On noteGLnpKql’ensemble des matrices inversibles de taillen.

‚AB“I_nôBA“I_n ‚ Si AB“I_n ouBA“I_n alorsB“A^´1

SoitpA, Bq PGLnpKq²(ensemble des matrices inversibles d’ordre n). Alors

‚ A^´1 P GLnpKq et ` A^´1˘´1

“ A ‚ ABPGLnpKqet pABq^´1 “B^´1A^´1 ‚ ^tAPGLnpKqetp^tAq^´1“^t` A^´1˘

Soitpλ₁,¨ ¨ ¨ , λ_nq PKⁿ.Diagpλ₁,¨ ¨ ¨ , λ_nqest inversible si et seulement si@iPJ1, nK, λ_i‰0. Et dans ce cas on a Diagpλ₁,¨ ¨ ¨, λ_nq^´1“Diag

ˆ 1 λ1

,¨ ¨ ¨, 1 λn

˙ Définition-Proposition 7

SoitAPMnpKq.

• Aest inversible si et seulement si, pour toutB PMn,1pKq, le systèmeAX“B est de Cramer.

• Aest inversible si et seulement si RangpAq “n.

• SiA est une matrice triangulaire.Aest inversible si et seulement si tous ses coefficients diagonaux sont non-nuls.

Théorème 8

SoitAPM2pKq.Aest inversible si et seulement si detpAq ‰0. Dans ce cas on aA^´1“ _detpAq¹

ˆd ´b

´c a

˙ Théorème 9

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