CHAPITRE 14

(1)

LIMITES

I Limite d’une fonction. . . . 3

I.1 Notion de voisinage . . . . 3

I.2 Limite finie . . . . 3

I.3 Limite infinie . . . . 6

I.4 Limite à droite et limite à gauche. . . . 8

I.5 Cas où les fonctions ne sont pas définies sur un intervalle . . . . 9

I.6 Caractérisation séquentielle de la limite . . . . 11

II Opérations sur les limites . . . . 12

III Théorèmes d’existence de limites. . . . 14

III.1 Théorème d’encadrement. . . . 14

III.2 Théorème de majoration et théorème de minoration . . . . 14

III.3 Théorème de la limite monotone . . . . 15

(2)

CONTENUS CAPACITÉS&COMMENTAIRES a) Limite d’une fonction en un point

Étant donnéafini ou infini appartenant àIou extrémité deI, limite finie ou infinie d’une fonction ena.

Les définitions sont énoncées avec des inégalités larges.

Unicité de la limite. Notationsf(x)_x→a−→`, lim

x→af(x).

Sif est définie enaet possède une limite ena, alors lim

x→af(x)=f(a).

Sif possède une limite finie ena, alorsf est bornée au voisinage de a.

Limite à droite, limite à gauche. Notations lim

x→a x>a

f(x) ou lim x→a⁺f(x).

Caractérisation séquentielle de la limite (finie ou infinie).

Opérations sur les limites : combinaison linéaire, produit, quotient, composition.

Passage à la limite d’une inégalité large.

Existence d’une limite par encadrement (limite finie), par minoration (limite+∞),par majoration (limite−∞).

Théorème de la limite monotone.

(3)

Dans tout le chapitre,I désigne un intervalle deRnon vide et non réduit à un point.

On noteR=R∪{−∞,+∞}la droite réelle achevée.

I. Limite d’une fonction

I.1. Notion de voisinage

Définition 14.1 – Voisinage

Soita∈R^.

Ï Quanda∈R, on appelle voisinage deatout intervalle de la forme ]a−r,a+r[ avecr>0.

Ï Quanda= −∞, on appelle voisinage deatout intervalle de la forme ]− ∞,A[ avec A∈R^. Ï Quanda= +∞, on appelle voisinage deatout intervalle de la forme ]A,+∞[ avec A∈R^.

Définition 14.2 – Propriété vérifiée sur un voisinage

Soientf :I→Rune fonction etaun point ou une extrémité (finie ou infinie) de I.

Ï Quanda∈R, on dit que f vérifie une propriétéP au voisinage dealorsqu’il exister>0 tel quef vérifieP surI∩]a−r,a+r[.

Ï Quanda= −∞est l’extrémité inférieure de I, on dit que f vérifie une propriétéP au voisinage de−∞

lorsqu’il existeA∈R^{tel que} ^f ^vérifieP surI∩]− ∞,A[.

Ï Quanda= +∞est l’extrémité supérieure deI, on dit que f vérifie une propriétéP au voisinage de+∞

lorsqu’il existeA∈R^{tel que} ^f ^vérifieP surI∩]A,+∞[

On suppose quea∈I etf :I\ {a}→R. On dit que f vérifie une propriétéP au voisinage dealorsqu’il exister>0 tel que f vérifieP sur¡

I∩]a−r,a+r[¢

\ {a}.

Remarque 14.1

1. La fonction cos est positive au voisinage de 0.

2. La fonctionx7→x² est croissante au voisinage de+∞. Exemple 14.1

I.2. Limite finie

Définition 14.3 – Limite finie

Ï Quanda∈R, on dit quef admet une limite finie en alorsqu’il existe_`∈R^{tel que :}

∀ε>0,∃η>0,∀x∈I,£

|x−a| Éη⇒ |f(x)−`| Éε¤ . On note alorsf(x)−−−→_x

→a `.

Ï Quanda= −∞, on dit quef admet une limite finie en−∞lorsqu’il existe_`∈R^{tel que :}

∀ε>0,∃B∈R^,∀x∈I,£

xÉB⇒ |f(x)−`| Éε¤ .

(4)

On note alorsf(x)−−−−−→

x→−∞ `.

Ï Quanda= +∞, on dit quef admet une limite finie en+∞lorsqu’il existe_`∈R^{tel que :}

∀ε>0,∃B∈R^,∀x∈I,£

xÊB⇒ |f(x)−`| Éε¤ . On note alorsf(x)−−−−−→

x→+∞ `.

1. Quandf(x)−−−→

x→a `, on dit que f admet_`pour limite enaou quef(x) tend vers_`quandxtend versa.

2. Interprétation graphique dans le casa= +∞.

3. Interprétation graphique dans le casa= −∞.

4. Interprétation graphique dans le casa∈R^.

5. On peut reformuler la définition de limite en termes de voisinages : f admet pour limite finie_`en alorsque, pour tout_ε>0, les valeurs prises par f sont à une distance inférieure ou égale à_εde_`au voisinage dea.

Autrement dit, au voisinage dea, on a l’encadrement :_`−εÉf(x)É`+ε. En particulier :

• si_`>0, alors en prenant_ε=^`

2>0, on a f(x)Ê^`

2 au voisinage dea. La fonction f est donc strictement Remarque 14.2

(5)

positive au voisinage dea;

• si_`<0, alors en prenant_ε= −^`

2>0, on a f(x)É^`

2 au voisinage dea. La fonctionf est donc strictement négative au voisinage dea.

Théorème 14.1

Soientf :I→Rune fonction eta∈I (aest un réel appartenant àI).

Si f possède une limite finie ena, alors cette limite est f(a).

Démonstration

On note`∈Rla limite def ena.

Soitε>0. Par définition, il existeη>0 tel que, pour toutx∈I∩]a−η,a+η[,|f(x)−`| Éε. Or,a∈I∩]a−η,a+η[. Donc,|f(a)−`| Éε. Ceci est vrai pour toutε>0. Donc,f(a)=`.

Soit f : R → R x 7→

½ 1 six,⁰ 0 six=0.

Montrons par l’absurde que f n’admet pas de limite finie en 0.

La fonction f est définie en 0, donc, d’après la remarque précédente, si f possède une limite finie en 0, alors cette limite est f(0)=0.

On prend_ε=1 2>0.

Par définition de limite, il existe_η>0 tel que, pour tout x∈[−η,_η],|f(x)−f(0)| É1 2. Pour x=η,0, on a : 1= |f(x)−f(0)| É1

2. Contradiction.

Donc, f n’admet pas de limite en 0.

Exemple 14.2

Théorème 14.2 – Unicité de la limite

Soient (_`₁,_`₂)∈R²^, ^f^:^I→Rune fonction etaun point ou une extrémité (finie ou infinie) deI.

Si f(x)−−−→_x

→a `1etf(x)−−−→_x

→a `2, alors_`₁=`2. Démonstration

On donne la démonstration dans le cas oùaest réel. Les casa∈{−∞,+∞}se traitent de la même manière.

Soitε>0 quelconque. Par définition de limite, il existeη1>0 tel que, pour toutx∈I,

|x−a| Éη1=⇒ |f(x)−`1| Éε. De même, il existeη2>0 tel que, pour toutx∈I,

|x−a| Éη2=⇒ |f(x)−`2| Éε. On noteη=min(η1,η2). Soitx∈Itel que|x−a| Éη. Par inégalité triangulaire, il vient :

|`1−`2| É |`1−f(x)| + |f(x)−`2| É2ε.

D’où, pour toutε>0,|`1−`2| É2ε. Donc,`1=`2.

Définition 14.4 – Limite

Soit_`∈R^, ^f^:^I→Rune fonction etaun point ou une extrémité (finie ou infinie) deI.

Si f(x)−−−→_x

→a `, alors on note_`=lim

x→af(x) et le réel_`est appeléla limite de f en a.

(6)

Théorème 14.3

Soitf :I→Rune fonction etaun point ou une extrémité (finie ou infinie) de I.

Si f possède une limite finie ena, alors f est bornée au voisinage dea.

Démonstration

On donne la démonstration dans le cas oùa= +∞. Les casa∈R∪{−∞}se traitent de manière similaire.

On suppose quef(x)−−−→_x→a `∈R^.

Soitε>0 quelconque. Par définition de limite, il existeB∈Rtel que, pour toutx∈I, xÊI∩[B,+∞[=⇒ |f(x)−`| Éε. D’où, par inégalité triangulaire, pour toutx∈I∩[B,+∞[,

|f(x)| É |f(x)−`| + |`| Éε+ |`|.

I.3. Limite infinie

Définition 14.5 – Limite infinie

Soientf :I→Rune fonction etaune extrémité deI qui n’appartient pas àI.

Ï Quanda∈R, on dit quef admet pour limite+∞en alorsque

∀A∈R^,∃η>0,∀x∈I,£

|x−a| Éη⇒f(x)ÊA¤ . On note alorsf(x)−−−→

x→a +∞.

Ï Quanda= −∞, on dit quef admet pour limite+∞en−∞lorsque

∀A∈R^,∃B∈R^,∀x∈I,£

xÉB⇒f(x)ÊA¤ . On note alorsf(x)−−−−−→_x

→−∞ +∞.

Ï Quanda= +∞, on dit quef admet pour limite+∞en+∞lorsque

∀A∈R^,∃B∈R^,∀x∈I,£

xÊB⇒f(x)ÊA¤ . On note alorsf(x)−−−−−→

x→+∞ +∞.

Ï Quanda∈R, on dit quef admet pour limite−∞en alorsque

∀A∈R^,∃η>0,∀x∈I,£

|x−a| Éη⇒f(x)ÉA¤ . On note alorsf(x)−−−→_x

→a −∞.

Ï Quanda= −∞, on dit quef admet pour limite−∞en−∞lorsque

∀A∈R^,∃B∈R^,∀x∈I,£

xÉB⇒f(x)ÉA¤ . On note alorsf(x)−−−−−→

x→−∞ −∞.

Ï Quanda= +∞, on dit quef admet pour limite−∞en+∞lorsque

∀A∈R^,∃B∈R^,∀x∈I,£

xÊB⇒f(x)ÉA¤ . On note alorsf(x)−−−−−→_x

→+∞ −∞.

(7)

1. Lorsquef(x)−−−→_x

→a +∞, on dit aussi quef(x) tend vers+∞quandxtend versa.

Lorsquef(x)−−−→_x

→a −∞, on dit aussi quef(x) tend vers−∞quandxtend versa.

2. Interprétation graphique dans le casa= +∞.

3. Interprétation graphique dans le casa= −∞.

4. Interprétation graphique dans le casa∈R^.

5. On peut reformuler la définition de limite infinie en termes de voisinages :f admet pour limite finie+∞ena lorsque, pour toutA∈R, les valeurs prises par f sont supérieures ou égales à Aau voisinage deA.

Autrement dit, au voisinage dea, on a la minoration : f(x)ÊA.

En particulier :

• en prenantA>0, la fonction f est à valeurs strictement positive au voisinage dea;

• la fonctionf n’est majorée sur aucun voisinage dea.

6. De même :f admet pour limite finie−∞enalorsque, pour toutA∈R, les valeurs prises par f sont inférieures ou égales àAau voisinage dea.

Autrement dit, au voisinage dea, on a la majoration : f(x)ÉA.

En particulier :

• en prenantA<0, la fonction f est à valeurs strictement négative au voisinage dea;

• la fonctionf n’est minorée sur aucun voisinage dea.

Remarque 14.3

(8)

7. On peut unifiertoutesles définitions de limites à l’aide de la notion de voisinage. On a l’équivalence : f(x)−−−→

x→a ` si, et seulement si, pour tout voisinageV de_`, il existe un voisinageW deatel que, pour toutx∈I∩W, alors f(x)∈V.

Théorème 14.4 – Unicité de la limite

Soient (_`₁,_`₂)∈R²^, ^f^:^I→Rune fonction etaun point ou une extrémité (finie ou infinie) deI.

Si f(x)−−−→

x→a `1etf(x)−−−→

x→a `2, alors_`₁=`2. Démonstration

Cas 1:`1∈R. On sait alors quef est bornée au voisinage dea. Donc,`2,−∞et`2,+∞. D’après l’unicité de la limite montrée dans le paragraphe précédent, on a`1=`2.

Cas 2:`1= −∞. On sait alors quef n’est minorée sur aucun voisinage dea, donc,`2∉R^et`2,+∞. D’où,`2= −∞.

Cas 3:`1= +∞. On sait alors quef n’est majorée sur aucun voisinage dea, donc,`2∉R^et`2,−∞. D’où,`2= +∞. Donc, dans tous les cas`1=`2.

Définition 14.6 – Limite Soit_`∈R^et^f ^:^I→Rune fonction.

Si f(x)−−−→

x→a `, alors on note_`=lim

x→af(x) et_`est appeléla limite de f en a.

I.4. Limite à droite et limite à gauche

Définition 14.7 – Limite à droite, limite à gauche

Soientf :I→Rune fonction eta∈I.

Ï On suppose quean’est pas l’extrémité droite deI. On appellelimite de f à droite en ala limite éventuelle de f_|_I_∩_]a,_+∞_[ena.

Lorsqu’une telle limite existe, elle est unique et est notée lim

x→ax>a

f(x) ou lim

x→a⁺f(x).

On écrit aussi f(x)−−−→_x→a

x>a

`.

Ï On suppose quean’est pas l’extrémité gauche deI. On appellelimite de f à gauche en ala limite éventuelle de f_|_I_∩_]_−∞_,a[ena.

x→ax<a

f(x) ou lim

x→a⁻f(x).

x<a

`.

1. Étudier la limite à droite de f enarevient à oublier ce qui se passe à gauche dea,ay compris.

2. Étudier la limite à gauche de f enarevient à oublier ce qui se passe à droite dea,ay compris.

3. On peut réécrire la définition de limite à droite et à gauche avec des quantificateurs.

Par exemple, f(x)−−−→_x

→a x<a

`∈R^{s’écrit :}

∀ε>0,∃η>0,∀x∈I,£

a−ηÉx<a⇒ |f(x)−`| Éε¤ . Remarque 14.4

(9)

Théorème 14.5

Soientf :I→Rune fonction eta∈I. On suppose quean’est pas une extrémité deI (la fonctionf est alors définie ena).

On a l’équivalence : f(x)−−−→

x→a `si, et seulement si, les trois conditions suivantes sont vérifiées : 1. f(x)−−−−→

x→a⁺ `, 2. f(x)−−−−→

x→a⁻ `

3. _`=f(a).Ne pas oublier cette condition.

Démonstration

(⇒) Conséquence immédiate de la définition de limite.

(⇐) Soitε>0.

Par définition de limite à gauche, il existeη1>0 tel que pour toutx∈I∩]− ∞,a[, six∈[a−η1,a+η1], alors|f(x)−`| Éε.

De même, il existeη2>0 tel que pour toutx∈I∩]a,+∞[, six∈[a−η2,a+η2], alors|f(x)−`| Éε. On noteη=min(η1,η2). Alors, pour toutx∈I\ {a}, six∈[a−η,a+η], alors|f(x)−`| Éε.

Il reste à traiter le cas oùx=a. Or,`=f(a), donc,|f(x)−`| =0Éε. Ainsi,f admet`pour limite ena.

La fonction partie entière ne possède pas de limite en tout pointn∈Z^. En effet, pour toutx∈[n−1,n[, f(x)=n−1, donc lim

x→n⁻bxc =n−1. On en déduit que la fonction partie entière possède une limite finie à gauche nen(égale àn−1).

De même,x∈[n,n+1[, f(x)=n, donc lim

x→n⁺bxc =n,ⁿ−1. On en déduit que la fonction partie entière possède une limite finie à droite nen(égale à 1).

Cependant, les limites à droites et à gauche ennde la a fonction partie entière étant différentes, celle-ci ne possède pas de limite enn.

Exemple 14.3

Soit f :I→Rune fonction. On suppose quea∈I (f est donc définie ena). Lorsque f possède des limites à droite et à gauche égales, cette limite commune est parfois notée lim

x→ax,^a

f(x).

Remarque 14.5

La fonction f: R → R x 7→

½ 1 six,⁰ 0 six=0.

vérifie lim

x→0 x,0

f(x)=1.

Exemple 14.4

I.5. Cas où les fonctions ne sont pas définies sur un intervalle

Dans les exercices, il arrive régulièrement qu’une fonctionf soit définie sur une réunion d’intervalle. C’est le cas par exemple def :x7→sin(x)

x définie surR\ {0}. On étend la notion de limite à ce cadre.

Définition 14.8

Soienta∈I etf :I\ {a}→Rune fonction. On suppose quean’est pas une extrémité deI.

(10)

Ï Soit_`∈R. On dit que f admet_`pour limite en alorsque :

∀ε>0,∃η>0,∀x∈I,£

0< |x−a| Éη⇒ |f(x)−`| Éε¤ . On note alorsf(x)−−−→

x→a `.

Ï On dit que f admet+∞pour limite en alorsque :

∀A∈R^,∃η>0,∀x∈I,£

0< |x−a| Éη⇒f(x)ÊA¤ On note alorsf(x)−−−→_x

→a +∞.

Ï On dit que f admet−∞pour limite en alorsque :

∀A∈R^,∃η>0,∀x∈I,£

0< |x−a| Éη⇒f(x)ÉA¤ On note alorsf(x)−−−→

x→a −∞.

Lorsquef possède un limite ena, alors elle est unique et on la note lim

x→af(x).

L’inégalité 0< |x−a|dans la définition assure d’avoirx,^a^{; ainsi,}^x∈I\ {a}etf(x) est bien défini.

Remarque 14.6

On rencontre ce type de fonctions et de limites lorsqu’on étudie la dérivabilité d’une fonction en un point :

• lim

x→0

sin(x)

x =sin⁰(0)=cos(0)=1.

• lim

x→0

exp(x)−1

x =exp⁰(0)=exp(0)=1.

• lim

x→0

ln(1+x)

x = 1

1+0=1.

Exemple 14.5

Définition 14.9

Ï On appellelimite de f à droite en ala limite éventuelle de f_{|I∩]a,+∞[}ena.

x→a x>a

f(x) où lim

x→a⁺f(x).

On écrit aussi f(x)−−−→_x

→a x>a

`.

Ï On appellelimite de f à gauche en ala limite éventuelle de f_{|I∩]−∞,a[}ena.

x→a x<a

f(x)= lim

x→a⁻f(x).

x<a

`.

Comme dans le paragraphe précédent, on a le résultat suivant.

Proposition 14.1

On a l’équivalence : f(x)−−−→

x→a `si, et seulement si, f(x)−−−−→

x→a⁺ `etf(x)−−−−→

x→a⁻ `.

(11)

I.6. Caractérisation séquentielle de la limite

Théorème 14.6 – Caractérisation séquentielle de la limite

Soientf :I→Rune fonction,aune point ou une extrémité (finie ou infinie) deIet_`∈R^. Les propositions suivantes sont équivalentes :

1. f admet pour limite_`ena.

2. Pour toute suite (u_n)_n∈_N à valeurs dans I, si (u_n)_n∈_N admet a pour limite, alors la suite¡ f(u_n)¢

n∈N

admet_`pour limite.

Démonstration

On donne la démonstration dans le cas oùaest réel et`= +∞. Les autres cas se traitent de manière similaire.

(1.⇒2.) On suppose quef(x)−−−→_x→a +∞.

Soit (u_n)_n∈_Nune suite à valeurs dansItelle queu_n−−−−−→

n→+∞ a.

Montrons quef(u_n)−−−−−→

n→+∞ +∞.

SoitA∈R. Par définition, il existeη>0 tel que, pour toutx∈I∩[a−η,a+η],f(x)ÊA.

De plus, on sait queun−−−−−→_n

→+∞ a, donc, il existeN∈Ntel que, pour toutnÊN,|un−a| Éη. D’où, pour toutnÊN,un∈I∩[a−η,a+η].

Donc, pour toutnÊN,f(u_n)ÊA. Ainsi,f(u_n)−−−−−→

n→+∞ +∞.

(2.⇒1.) On raisonne par contraposition. On suppose quef n’admet pas pour limite+∞ena: il existeA∈Rtel que, pour toutη>0, il existex∈I∩[a−η,a+η] tel que,f(x)ÉA.

Montrons qu’il existe une suite (u_n)_n∈_Nà valeurs dansItelle que (u_n)_n∈_Nadmetapour limite et¡ f(u_n)¢

n∈Nn’admet pas pour limite +∞.

Soitn∈N. On applique ce qui précède avecη= 1

n+1>0. Il existe doncun∈I∩

· a− 1

n+1,a+ 1 n+1

¸

tel que,f(un)ÉA.

On définit ainsi une suite (u_n)_n∈_Nd’éléments deItel que, pour toutn∈N^,^a−1

nÉu_nÉa+1 n. Par théorème d’encadrement,u_n−−−−−→

n→+∞ a. De plus, la suite¡ f(u_n)¢

n∈Nest majorée parA, donc n’admet pas pour limite+∞.

Montrons que la fonction sin ne possède pas de limite en+∞. On considère la suite (u_n)_n_∈_Nde terme généralu_n=^π

2+n×π. On au_n−−−−−→

n→+∞ +∞et¡ f(u_n)¢

n∈N=¡ (−1)ⁿ¢

n∈Nqui ne possède pas de limite (finie ou infinie) en+∞. Par caractérisation séquentielle de limite : sin ne possède pas de limite en+∞.

Exemple 14.6

Exercice 14.1

Soitf :R→Rune fonction périodique. On suppose que lim

x→+∞f(x)=0.

Montrer quef est la fonction nulle.

Résolution

On noteT>0 une période def.

Soitx∈R. Par périodicité def, on a : pour toutn∈N^,^f^(x)=f(x+nT).

Or,x+nT−−−−−→

n→+∞ +∞etf(x)−−−−−→

x→+∞ 0.

Donc, par caractérisation séquentielle de la limite,f(x+nT)−−−−−→

n→+∞ 0.

Or, la suite¡

f(x+nT)¢

n∈Nest constante à égale àf(x), donc converge versf(x).

Par unicité de la limite,f(x)=0. Ceci est vérifié pour toutx∈R^{. Donc,}^f est la fonction nulle.

(12)

II. Opérations sur les limites

Pour démontrer les résultats de ce paragraphe et du suivant (à l’exception du théorème de la limite monotone), il suffit d’appliquer la caractérisation séquentielle de la limite et d’utiliser les opérations sur les limites de suites.

Notons qu’il est possible de démontrer ces résultats en revenant aux définitions de limites données précédemment et que les techniques sont les mêmes que celles utilisées dans le chapitre 10 : Suites numériques (je le fais pour certains résultats du paragraphe suivant).

Théorème 14.7

Soientf :I→R^et^g^:^I→Rdes fonctions,aun point ou une extrémité (finie ou infinie) deI et (_λ,_µ)∈R²^. Si f(x)−−−→_x

→a `1∈R^et^g(x)−−−→_x

→a `2∈R^{, alors} Ï λf(x)+µg(x)−−−→_x

→a λ`1+µ`2. Ï f(x)g(x)−−−→_x

→a `1`2. Ï |f(x)| −−−→_x

→a |`1|.

Ï si de plus_`₂,0, la fonction 1

g est bien définie au voisinage deaet 1 g(x)−−−→

x→a

1

`2

. Ï si de plus_`₂,0, la fonction f

g est bien définie au voisinage deaet f(x) g(x)−−−→

x→a

`1

`2

.

Théorème 14.8

Soientf :I→R^et^g^:^I→Rdes fonctions, etaun point ou une extrémité (finie ou infinie) deI.

Si f(x)−−−→_x

→a 0 et gest bornée au voisinage dea, alors f(x)g(x)‘−−−→_x

→a 0.

Théorème 14.9

Soient f :I→Rune fonction à valeurs dansJ un intervalle deR^et^aun point ou une extrémité (finie ou infinie) deI. Soientg:J→Rune fonction etbun point ou une extrémité (finie ou infinie) de J.

Si f(x)−−−→_x

→a betg(y)−−−→

y→b `, alors g◦f(x)−−−→_x

→a `.

Théorème 14.10

Ï Si f(x)−−−→

x→a +∞, alors 1

f est définie au voisinage deaet 1 f(x)−−−→

x→a 0.

Ï Si f(x)−−−→

x→a −∞, alors 1

f est définie au voisinage deaet 1 f(x)−−−→

x→a 0.

Ï Si f(x)−−−→

x→a 0 et est strictement positive au voisinage dea, alors 1 f(x)−−−→

x→a +∞. Ï Si f(x)−−−→

x→a 0 et est strictement négative au voisinage dea, alors 1 f(x)−−−→

x→a −∞.

(13)

Soientf :I→R^et^g^:^I→Rdes fonctions, etaune extrémité deIqui n’appartient pas àI.

Ï Si f(x)−−−→_x

→a +∞etgest minorée au voisinage dea, alors f(x)+g(x)−−−→_x

→a +∞. Ï Si f(x)−−−→_x

→a +∞etg(x)−−−→_x

→a `∈R∪{+∞}, alors f(x)+g(x)−−−→_x

→a +∞. Ï Si f(x)−−−→_x

→a −∞et sigest majorée au voisinage dea, alors f(x)+g(x)−−−→_x

→a −∞. Ï Si f(x)−−−→_x

→a −∞et sig(x)−−−→_x

→a `∈R∪{−∞}, alors f(x)+g(x)−−−→_x

→a +∞. Ï Si f(x)−−−→_x

→a +∞ et g est minorée par une constante strictement positive au voisinage de a, alors f(x)g(x)−−−→_x

→a +∞. Ï Si f(x)−−−→

x→a +∞etg(x)−−−→

x→a `∈R^?₊∪{+∞}, alors f(x)g(x)−−−→

x→a +∞. Ï Si f(x)−−−→

x→a +∞ et si g est majorée par une constante strictement négative au voisinage de a, alors f(x)g(x)−−−→_x

→a −∞. Ï Si f(x)−−−→_x

→a +∞etg(x)−−−→_x

→a `∈R^?₋∪{−∞}pour limite ena, alors f(x)g(x)−−−→_x

→a −∞. Ï Si f(x)−−−→_x

→a −∞ et g est minorée par une constante strictement positive au voisinage de a, alors f(x)g(x)−−−→

x→a −∞. Ï Si f(x)−−−→_x

→a −∞etg(x)−−−→_x

→a `∈R^?₊∪{+∞}, alors f(x)g(x)−−−→_x

→a −∞. Ï Si f(x)−−−→_x

→a −∞ et si g est majorée par une constante strictement négative au voisinage de a, alors f(x)g(x)−−−→

x→a +∞. Ï Si f(x)−−−→

x→a −∞etg(x)−−−→

x→a `∈R^?₋∪{−∞}pour limite ena, alors f(x)g(x)−−−→

x→a +∞. Théorème 14.13 – Passage à la limite

Soientf :I→R^et^g^:^I→Rdes fonctions etaun point ou une extrémité (finie ou infinie) deI.

On suppose quef(x)Ég(x) au voisinage dea.

Si f(x)−−−→

x→a `1∈R^et^g(x)−−−→

x→a `2∈R^{, alors}`1É`2.

Dans le théorème précédent, en remplaçant f(x)Ég(x) par f(x)<g(x) le résultat reste le même.

En passant à la limite, les inégalités strictes deviennent larges.

Par exemple, 1

x−−−−−→_x

→+∞ 0 et−1

x−−−−−→_x

→+∞ 0 mais, pour toutx>0,−1 x<1

x. Remarque 14.7

(14)

III. Théorèmes d’existence de limites

III.1. Théorème d’encadrement

Théorème 14.14 – Théorème d’encadrement

Soient f:I→R^, ^g^:Î→Rêt^h^:Î→Rdes fonctions,aun point ou une extrémité (finie ou infinie) deI et_`∈R^. On suppose que :

1. f(x)Ég(x)Éh(x) au voisinage dea; 2. f(x)−−−→_x

→a `; 3. h(x)−−−→_x

→a `. Alors, g(x)−−−→_x

→a `. Démonstration

Il y a 3 cas :a∈R^,^a= +∞eta= −∞.

Donnons la démonstration dans le cas oùa= +∞. Soitε>0.

Par 1., il existeA₁∈Rtel que, pour toutx∈I∩[A₁,+∞[,f(x)Ég(x)Éh(x).

Par 2., il existeA2∈Rtel que, pour toutx∈I∩[A2,+∞[,|f(x)−`| Éε.

Par 3., il existeA₃∈Rtel que, pour toutx∈I∩[A₃,+∞[,|h(x)−`| Éε. On noteA=max(A₁,A₂,A₃). On a alors, pour toutx∈I∩[A,+∞[,

`−εÉh(x)Ég(x)Éf(x)É`+ε. Donc, pour toutx∈I∩[A,+∞[,|g(x)−`| Éε.

Donc,g(x)−−−−−→

x→+∞ `.

Corollaire 14.1

Soientf :I→R^et^g^:^I→Rdes fonctions,aun point ou une extrémité (finie ou infinie) deI et_`∈R^. On suppose que :

Ï |f(x)−`| Ég(x) au voisinage dea; Ï g(x)−−−→_x

→a 0.

Alors, f(x)−−−→_x

→a `.

III.2. Théorème de majoration et théorème de minoration

Théorème 14.15 – Théorème de majoration

Soientf :I→R^et^g^:^I→Rdes fonctions,aune extrémité deIqui n’appartient pas àI. On suppose que :

1. f(x)Ég(x) au voisinage dea; 2. g(x)−−−→

x→a −∞. Alors, f(x)−−−→

x→a −∞. Démonstration

(15)

Il y a 3 cas :a∈R^,^a= +∞eta= −∞.

Donnons la démonstration dans le cas oùa∈R^. SoitA∈R^.

Par 1., il existeη1>0 tel que, pour toutx∈I∩]a−η1,a+η1[,f(x)Ég(x).

Par 2., il existeη2>0 tel que, pour toutx∈I∩]a−η2,a+η2[,g(x)ÉA.

On noteη=min(η1,η2)>0. On a, pour toutx∈I∩]a−η,a+η[,f(x)Ég(x)ÉA.

Donc,f(x)−−−→

x→a −∞.

Théorème 14.16 – Théorème de minoration

Soientf :I→R^et^g^:^I→Rdes fonctions,aune extrémité deIqui n’appartient pas àI. On suppose que :

1. f(x)Ég(x) au voisinage dea; 2. f(x)−−−→_x

→a +∞. Alors, g(x)−−−→_x

→a +∞. Démonstration

Il y a 3 cas :a∈R^,^a= +∞eta= −∞.

Donnons la démonstration dans le cas oùa= −∞. SoitA∈R^.

Par 1., il existeB₁∈Rtel que, pour toutx∈I∩]− ∞,B₁],f(x)Ég(x).

Par 2., il existeB₂∈Rtel que, pour toutx∈I∩]− ∞,B₂],f(x)ÊA.

On noteB=min(B₁,B₂)∈R. On a, pour toutx∈I∩]− ∞,B],g(x)Êf(x)ÊA.

Donc,g(x)−−−→_x

→a +∞.

III.3. Théorème de la limite monotone

Théorème 14.17 – Théorème de la limite monotone

Soienta∈R∪{−∞}etb∈R∪{+∞}aveca<b, et f :]a,b[→Rune fonction.

Ï On suppose que f est croissante.

• Si f est minorée parm∈R^{, alors} ^f admet une limite finie_`enaetmÉ`.

• Si f n’est pas minorée, alorsf admet−∞pour limite ena.

• Si f est majorée parM∈R^{, alors} ^f admet une limite finie_`enbet_`ÉM.

• Si f n’est pas majorée, alorsf admet+∞pour limite enb.

Ï On suppose que f est décroissante.

• Si f est minorée parm∈R^{, alors} ^f admet une limite finie_`enbetmÉ`.

• Si f n’est pas minorée, alorsf admet−∞pour limite enb.

• Si f est majorée parM∈R^{, alors} ^f admet une limite finie_`enaet_`ÉM.

• Si f n’est pas majorée, alorsf admet+∞pour limite ena.

Démonstration

On donne la démonstration dans le cas oùf est croissante majorée, puis croissante non majorée. Les autres cas se traitent de manière similaire.

Supposons f croissante majorée.

Dans ce cas, l’ensemblef(]a,b[) est non vide (cara<b) et majoré carf est majorée. Donc,f(]a,b[) possède une borne supérieure notée

`.

Soitε>0 quelconque. Par définition de la borne supérieure,`−εn’est pas un majorant def. Donc, il existec∈]a,b[ tel que`−εÉf(c).

(16)

Or,f est croissante et`majoref(]a,b[). Donc, pour toutx∈[c,b[, on a :

`−εÉf(c)Éf(x)É`É`+ε.

Deux cas se présentent.

• Cas 1 :b∈R^{. Posons}η=b−c>0. Pour toutx∈]a,b[, si|x−b| Éη, alorsx∈[c,b[, donc|f(x)−`| Éε. Donc, f(x)−−−→

x→b `.

• Cas 2 :b= +∞. PosonsB=c∈R. Pour toutx∈]a,b[, sixÊB, alorsx∈[c,b[, donc|f(x)−`| Éε. Donc, f(x)−−−→

x→b `.

Supposons f non majorée.

SoitA∈Rquelconque. Commef est non majorée, il existec∈R^{tel que,}^f^(c)ÊA.

Orf est croissante, donc, pour toutx∈[c,b[, on a :

f(x)Êf(c)ÊA.

Deux cas se présentent.

• Cas 1 :b∈R^{. Posons}η=b−c>0. Pour toutx∈]a,b[ , si|x−b| Éη, alorsx∈[c,b[, doncf(x)ÊA. Donc,f(x)−−−→

x→b +∞.

• Cas 2 :b= +∞. PosonsB=c∈R. Pour toutx∈]a,b[, sixÊB, alorsx∈[c,b[, doncf(x)ÊA. Donc, f(x)−−−→

x→b +∞.

Dans le cas où f est croissante minorée on a : lim

x→af(x)=inf {f(x)|x∈]a,b[}.

Dans le cas où f est croissante majorée on a : lim

x→bf(x)=sup {f(x)|x∈]a,b[}.

Dans le cas où f est décroissante minorée on a : lim

x→bf(x)=inf {f(x)|x∈]a,b[}.

Dans le cas où f est décroissante majorée on a : lim

x→af(x)=sup {f(x)|x∈]a,b[}.

Remarque 14.8

Corollaire 14.2

Soientf :I→Rune fonction eta∈I un point qui n’est pas une extrémité deI.

Ï On suppose que f est croissante. Alors, f possède des limites finie à droite et à gauche enaet

xlim→a⁻f(x)Éf(a)É lim

x→a⁺f(x).

Ï On suppose que f est décroissante. f possède des limites finie à droite et à gauche enaet lim

x→a⁺f(x)Éf(a)É lim

x→a⁻f(x).

Démonstration

Supposonsf croissante (le casf décroissante se traite de la même manière).

La fonctionf_{I∩]−∞,a[}est croissante majorée parf(a). Donc, par le théorème de la limite monotone,f_{I∩]−∞,a[}possède un limite finie` enaet`Éf(a).

De plus, par définition,`= lim x→a⁻f(x).

De même,f_I_∩_]a,_+∞_[est croissante minorée parf(a).

Donc, par le théorème de la limite monotone,f(a)É lim x→a⁺f(x).

Le corollaire précédent ne dit pas que f admet une limite ena.

En effet, on peut avoir lim

x→a⁻f(x)< lim

x→a⁺f(x). Par exemple, lim

x→0⁻bxc = −1<0= lim

x→0⁺bxcet la fonction partie ne possède pas de limite en 0.

Remarque 14.9

(17)

Exercice 14.2 – À traiter après le chapitreCONTINUITÉ

Soit f:R^?₊→Rune fonction croissante. On suppose queg:x7→ f(x)

x est décroissante surR^?₊. Montrer que f est continue surR^?₊^.

Résolution

Soita∈R^?₊^.

Commef est croissante, par le théorème de la limite monotone,f possède des limites finies à droite et à gauche enaet x→alim⁻f(x)Éf(a)É lim

x→a⁺f(x).

De même, commegest décroissante, par le théorème de la limite monotone,gpossède des limites finies à droite et à gauche enaet xlim→a⁺g(x)Ég(a)É lim

x→a⁻g(x).

Or,a,0 et, pour toutx∈R^?₊^,^g(x)= f(x)

x , donc par opérations sur les limites, lim

x→a⁺g(x)=

xlim→a⁺f(x)

a et lim

x→a⁻g(x)=

xlim→a⁻f(x)

a .

D’où,

lim x→a⁺f(x)

a Éf(a) a É

x→alim⁻f(x)

a .

Or,a>0, donc

xlim→a⁺f(x)Éf(a)É lim x→a⁻f(x).

Donc, lim

x→a⁻f(x)=f(a)= lim x→a⁺f(x).

On en déduit quef est continue ena. Ceci est vérifié pour touta∈R^?₊^{. Donc,}^f est continue surR^?₊^.