Lycée Louis-Le-Grand,Paris 2020/2021 MPSI 4– Mathématiques
A. Troesch
Programme des colles de la semaine 27 (07/05 – 11/06)
Chapitre 25 : Matrices
1. Matrice d’une AL ; opérations matricielles
‚ L’ensemble des matrices de typepn, pq
˚ Définition d’une matrice à coefficients dans un corpsK. NotationMn,ppKq.
˚ Matrices carrées, notationMnpKq.
˚ Matrice-colonne, matrice-ligne
‚ Matrice d’une AL
˚ Matrice-colonne des coordonnées d’un vecteur dans une base. Matrice des coordonnées d’une famille de vecteurs dans une base.
˚ Définition de la matrice d’une AL relativement aux bases B (de l’espace de départ) etC (de l’espace d’arrivée).
˚ MatB,C est une bijection de LpE, Fq dans Mn,ppKq (avec p “ dimE, n “ dimF). On ne parle pas encore d’isomorphisme, puisque la définition de la structure d’ev deMn,ppKqn’est pas encore donnée à ce stade.
˚ Des exemples importants, notamment :
— la matrice relativement aux bases canoniques dansLpKp,Knq: on retrouveM telle quefpXq “M X (forme générale d’un élément deLpKp,Knqjustifiée lors du chapitre précédent)
— Matrice d’un endomorphisme nilpotent d’indice n, d’un espace lui-même de dimension n, dans une base bien choisie.
‚ Structure d’espace vectoriel deMn,ppKq.
˚ Définition de la somme de deux matrices et du produit par un scalaire, par transfert des opérations correspondantes dansLpE, Fq, après choix de bases fixées, via la bijectionMatB,C.
˚ Description par les coefficients, indépendance vis-à-vis du choix des espaces E etF et de leurs bases.
˚ Le théorème de transfert (déjà démontré avant) assure le transfert de la structure d’ev de LpE, Fqet le fait queMatB,C est alors un isomorphisme.
˚ Base canonique deMn,ppKq(directement ou par exemple par image de la basepui,jqdeLpE, Fqdéfinie par les basesBet CdeE et deF. Dimension deMn,ppKq.
‚ Produit matriciel
˚ Définition par transfert de la composition des AL. Description par CL des colonnes de la matrice de gauche. Indépendance vis-à-vis du choix deE,F et leurs bases.
˚ Par définition, on obtient le théorème relatif à la matrice associée à une composée (Matpf ˝ gq “ MatpfqMatpgqavec les bonnes bases pour chaque matrice)
˚ Propriétés transférés : associativité, distributivité. Le produit matriciel n’est pas commutatif
˚ Définition :In“MatB,BpidEqquel que soitEde dimensionnet une baseB. ConséquenceIn est neutre à gauche dansMn,ppKq, etIp est neutre à droite.
‚ Produit matriciel revisité
˚ Description coefficient par coefficient.
˚ Description comme combinaison linéaire des lignes de la matrice de droite.
˚ Produit de matrices Ei,j de la base canonique.
‚ Expression matricielle de l’évaluation.
˚ rfpXqsC “MatB,CpfqrXsB
˚ Comment trouver les coordonnées de vecteurs du noyau def, en cherchant des relations entre les colonnes deMatB,Cpfq.
‚ Transposition
˚ Définition, linéarité
˚ Transposée d’un produit.
˚ NB : la notion d’adjoint n’est pas au programme et n’a pas été évoquée, sauf au détour d’une question posée.
2. Matrices carrées
‚ L’algèbreMnpKq
˚ Matrice d’un endomorphisme (avec même base au départ et à l’arrivée), notation allégéeMatBpfq.
˚ Structure d’algèbre de MnpKq(par transfert de celle deLpEq). NeutreIn.
˚ Propriétés calculatoires découlant de la structure d’anneau : factorisation de Bernoulli, formule du bi- nôme. Attention à l’hypothèse de commutation.
˚ Exemple : calcul deAn par méthode du binôme
˚ Polynôme annulateur, existence d’un polynôme annulateur non nul. Polynôme minimal.
˚ Utilisation d’un polynôme annulateur pour le calcul de An.
‚ Matrices triangulaires, matrices diagonales
˚ Définitions. Décompositions de MnpKqen sommes directes associées aux matrices triangulaires, diago- nales, strictement triangulaires.
˚ Produit de deux matrices triangulaires. description des coefficients diagonaux.
˚ Produit de matrices diagonales.
˚ Structure d’algèbre de Dn, Tn`et Tn´.
˚ (HP) On a aussi évoqué les règles de produit de matrices deTn,k` pKq(matrices de type triangulaires avec première diagonale non nulle décalée).
˚ NB : contrairement aux années passées, la notion de drapeau n’a pas été évoquée, toutes les preuves ont été faites directement avec la description des coefficients.
‚ Matrices symétriques et antisymétriques
˚ Définitions. Diagonale d’une matrice antisymétrique
˚ Supplémentarité. Dimensions.
‚ Matrices inversibles
˚ Définition, caractérisation par la bijectivité d’un endomorphisme associé.
˚ CS : il suffit queA(carrée) soit inversible à gauche ou à droite.
˚ NotationGLnpKq, structure deGLnpKq.
˚ Inverse d’un produit. Inverse d’une transposée.
˚ CNS d’inversibilité pour les matrices triangulaires.
‚ Expression matricielle du pivot de Gauss
˚ Traduction des opérations sur les lignes par multiplication à gauche par certaines matrices inversibles de codage des opérations.
˚ Expression des inverses de ces matrices
‚ Calcul pratique de l’inverse d’une matrice
˚ Par résolution d’un système
˚ Par la méthode du pivot, en appliquant les mêmes opérations sur les lignes à la matrice identité. Lien entre les 2 méthodes.
˚ Inverse d’une matrice2ˆ2par la comatrice.
˚ Calcul de l’inverse à l’aide d’un polynôme annulateur.
3. Rang d’une matrice
‚ Image et noyau d’une matrice. Définition du rang d’une matrice. Théorème du rang pour les matrices.
‚ Rang d’une matrice échelonnée en lignes.
‚ Conservation du noyau (resp. de l’image) par multiplication à gauche (resp. à droite) par une matrice inversible. Conservation du rang par multiplication par une matrice inversible.
‚ Conservation du noyau (resp. de l’image) par opérations sur les lignes (resp. colonnes). Conservation du rang.
‚ Calcul du rang par la méthode du pivot.
‚ Trouver une base échelonnée de l’image, une base d’un supplémentaire, en échelonnant en colonnes.
‚ Rang d’une matrice échelonnée en colonnes
‚ Invariance du rang par transposition.
‚ Matrice extraite, comparaison de son rang avec celui de la matrice initiale.
‚ Caractérisation du rang par les matrices carrées inversibles extraites.
4. Changements de base
‚ Changements de base pour les applications linéaires
˚ Matrice de passage. Inversibilité.
˚ Caractérisation des bases par inversibilité de la matrice de la famille relativement à une base connue.
˚ Toute matrice inversible est une matrice de passage ; on peut même imposer soit la base de départ, soit la base d’arrivée.
˚ Effet d’un changement de base sur les coordonnées
˚ Formule de changement de base pour les applications linéaires. La plus importante de ce paragraphe.
Doit absolument être connue sans s’embrouiller dans les matrices de passage et leurs inverses.
‚ Matrices équivalentes
˚ Définition. L’équivalence matricielle est une relation d’équivalence.
˚ Les matrices d’une même AL dans des bases différentes sont équivalentes. La récirpoque est vraie, en fixant les bases de départ.
˚ Toute matrice deMn,ppKqde rangrst équivalente àIn,p,r.
˚ Description des classes d’équivalence matricielle : classification par le rang.
‚ Changements de base pour les endomorphismes
˚ Matrice d’un endomorphisme (avec même choix de base au départ et à l’arrivée)
˚ Expression de la formule de changement de base pour les endomorphismes (avec même changement de base au départ et à l’arrivée)
˚ Premier exemple de diagonalisation d’une matrice2ˆ2 (par analyse-synthèse)
‚ Matrices semblables
˚ Définition de la similitude. C’est une relation d’équivalence.
˚ Les matrices d’un même endomophisme dans différentes bases sont semblables.
˚ Vague commentaire sur la recherche de représentants privilégiés dans les classes de similitude, problème non trivial relié à la réduction.
˚ problème plus facile : trouver des CN pour que deux matrices soient semblables, sous forme d’invariants de similitude (une certains quantité doit prendre la même valeur). Cela permet parfois de répondre facilement à la négative à la question de savoir si deux matrices sont semblables. Le plus simple des invariants de similitude est exposé dans le paragraphe suivant.
‚ Trace d’une matrice, d’un endomorphisme
˚ Définition, linéarité, invariance par transpositionn.
˚ Invariance par commutation interne. Mise en garde : on ne peut effectuer que des permutations circulaires des termes à l’intérieur de la trace.
˚ Invariance de la trace par similitude.
˚ Définition de la trace d’un endomorphisme. Cas d’un projecteur.
‚ Introduction rapide à la réduction des endomorphismes
Au fil du cours et dans les devoirs, les élèves ont rencontré la notion de valeur propre, vecteur propre, un peu de diagonalisation, et ont eu un aperçu de la jordanisation. Les éléments propres peuvent éventuellement intervenir dans les exercices, mais cela ne doit pas constituer le coeur de l’exercice. Il ne s’agit pas d’un chapitre centré sur la réduction.
5. Calcul matriciel par blocs
‚ Théorème de produit par blocs. Nous n’en avons donné en cours que la déminstration directe par les coefficients, pas la version vectorielle (donnée en polycopié). Aucune des deux démonstrations n’est exigible.
‚ Exemple important : Produit de deux matrices diagonales par blocs (avec blocs de même taille). Cas des puissances d’une matrice diagonale par blocs. Par exemple une réduite de Jordan.
Chapitre 26 : Déterminants
PAS ENCORE D’EXERCICES SUR CE CHAPITRE 1. Définition des déterminants
‚ Formes multilinéaires
˚ Application multilinéaire, forme,n-linéarité généralisée.
˚ Espace des applicationsn-linéaires.
˚ Propriété de rigidité (détermination sur les n-uplets de vetceurs de bases)
‚ Formesn-linéaires antisymétriques et alternées
˚ Définition d’une forme antisymétrique, alternée
˚ Caractérisation de l’antisymétrie par l’effet d’une transpositions.
˚ Les formes alternées sont antisymétriques
˚ Les formes antisymétriques sont alternées en caractéristique différente de 2.
‚ Déterminant d’une famille de vecteurs
˚ Existence et unicité d’une forme n-linéaire alternée surE de dimensionn.
˚ Déterminant d’une famille de vecteurs
˚ Exrpession avec les coefficients, comme somme surSn.
˚ Effet d’un isomorphisme sur le déterminant
˚ Effet d’un changement de base sur le déterminant
˚ Caractérisation des bases.
‚ Orientation d’un espace
˚ Les 2 classes d’équivalences d’orientation
˚ Effet d’une permutation des vecteurs sur l’orientation.
‚ Déterminant d’un endomorphisme
˚ Définition
˚ Caractérisation par le déterminant de l’image d’une base.
˚ Déterminant d’une composée
˚ Caractérisation des automophismes pardet.
‚ Déterminant d’une formule carrée
˚ Définition par l’endomorphisme canoniquement associé.
˚ Déterminant d’un produit
˚ Invariance vis-à-vis du choix de la base du déterminant de la matrice def.
˚ Expression par les coefficients (somme sur S)
˚ Cas des déterminants 2ˆ2 et3ˆ3(Sarrus)
˚ Déterminant d’une transposée.
2. Calcul des déterminants
‚ Opérations sur les lignes et colonnnes
˚ Déterminant d’une matrice triangulaire
˚ Déterminant des matrices de codage d’opération
˚ Effet des opérations élémentaires sur les lignes et les colonnes sur le déterminant.
˚ Calcul du déterminant par la méthode du pivot de Gauss.
‚ Calcul par blocs
˚ Déterminant d’une matrice triangulaire par blocs.
‚ Développements
˚ Formule de développement suivant une colonne
˚ Formule de développement suivant une ligne
˚ Expression de l’inverse par la comatrice (formule de Cayley)
˚ Formules de Cramer
‚ Caractère polynomial du déterminant
˚ Rien de très formel dessus, mais être conscient de ce caractère polynomial pour exploiter des méthodes polynomiales liées à la rigidité, ou pour exploiter une propriété de continuité surRouC, afin de récupérer certains cas particuliers par passage à la limite.
‚ Déterminant de Vandermonde
˚ Par opérations sur les lignes/colonnes
˚ Par méthode polynomiale.
