Chapitre 1
Syst` emes lin´ eaires et matrices
Voir le chapitre 7 du cours polycopi´e.
1.1 Op´ erations sur les matrices
D´efinition des matrices, notation M at(m×n,K) (K´egal `a Rou C).
Op´erations sur les matrices, propri´et´es.
Matrices carr´ees inversibles. Formule pour les matrices carr´es 2×2.
Ecriture matricielle d’un syst`eme lin´eaire, cas o`u la matrice est inversible.
1.2 La m´ ethode du pivot
Op´erations ´el´ementaires sur les syst`emes, notations :Li ←Li+αLi,Li ↔Lj,Li ←αLi
avec α6= 0.
Les op´erations ´el´ementaires conservent l’´equivalence.
Op´erations ´el´ementaires sur les lignes d’une matrice ; lien avec la multiplication `a gauche par les matrices ´el´ementaires.
Matrice ´echelonn´ee, pratique de la m´ethode du pivot.
Discussion des syst`emes ´echelonn´es.
fin du cours du 23/01 M´ethode pratique d’inversion des matrices.
1.3 Notions sur le d´ eterminant
Th´eor`eme 1.3.1 (admis). Il existe une unique application det : Mat(n×n,K)→K ,
1
telle que :
1. Si T est triangulaire, alors det(T) est le produit de ses termes diagonaux.
2. Si B est obtenu `a partir de A par une transformation ´el´ementaire sur les lignes, alors :
det(B) = det(A) pour une transformation Li ←Li+αLj; det(B) = −det(A) pour une transformation Li ↔Lj; det(B) = αdet(A) pour une transformation Li ←αLi. Pour une matrice 2×2, on a
det
Ç a b c d
å
=
a b c d
=ad−bc . Proposition 1.3.2. Pour un matrice 3×3 :
A =
Ö a a′ a′′
b b′ b′′
c c′ c′′
è
on a :
det(A) = a
b′ b′′
c′ c′′
−b
a′ a′′
c′ c′′
+c
a′ a′′
b′ b′′
.
Proposition 1.3.3. Une matrice carr´ee est inversible si et seulement si son d´eterminant est non nul.
2
