Plan du chapitre

Matrices

Plan du chapitre

1

Opérations sur les matrices . . . .page 2 1.1Définition d’une matrice . . . page 2 1.2L’espace vectoriel(M_n,p(K),+, .) . . . page 2 1.2.1 Définition l’addition et de la loi externe. . . page 2 1.2.2 Etude de la base canonique deM_n,p(K). Matrices élémentaires . . . .page 3 1.3Produit de deux matrices . . . page 3 1.3.1 Définition du produit matriciel . . . page 3 1.3.2 Produit de deux matrices élémentaires . . . page 6 1.3.3 L’anneau(M_n(K),+,×) . . . page 7 1.3.4 Matrices carrées inversibles. Le groupe(GL_n(K),×) . . . page 8 1.3.5 Les pièges de la multiplication des matrices . . . page 10 1.4Transposée d’une matrice . . . page 11 1.5Quelques grands types de matrices . . . page 12 1.5.1 Matrices scalaires . . . page 12 1.5.2 Matrices diagonales . . . page 12 1.5.3 Matrices triangulaires . . . page 13 1.5.4 Matrices symétriques, matrices antisymétriques . . . page 14

2

Matrice d’une application linéaire relativement à deux bases . . . .page 15 2.1Définition de la matrice d’une famille de vecteurs dans une base (rappel) . . . page 15 2.2Définition de la matrice d’une application linéaire relativement à deux bases . . . page 16 2.3Ecriture matricielle d’une application linéaire . . . page 17 2.4Isomorphisme entreM_p,n(K)etL(E, F) . . . page 18 2.5Matrice d’une composée . . . page 19

3

Formules de changement de base. . . .page 21 3.1Matrices de passage . . . page 21 3.2La formule de changement de base . . . page 22 3.3Applications linéaires et changement de bases . . . page 24 3.4Matrices équivalentes. Matrices semblables . . . page 27

4

Calculs par blocs . . . .page 28

5

Rang d’une matrice . . . .page 30 5.1Définition du rang d’une matrice . . . page 30 5.2Lien avec le rang d’une famille de vecteurs . . . .page 30 5.3Lien avec le rang d’une application linéaire . . . page 31 5.4Une caractérisation du rang d’une matrice . . . page 31 5.5Transformations élémentaires ne modifiant pas le rang . . . .page 32 5.5.1 Rappel. Codage des transformations élémentaires . . . page 32 5.5.2 Interprétation en terme de calcul matriciel des opérations élémentaires . . . page 35 5.5.3 Matrices de permutations . . . page 37 5.5Matrices extraites. Une autre caractérisation du rang . . . page 39 5.6.1 Définition dune matrice extraite . . . .page 39 5.6.2 Caractérisation du rang comme le format maximal d’une matrice extraite inversible . . . page 39

6

Trace . . . .page 40 6.1Trace d’une matrice carrée . . . page 40 6.2Trace d’un endomorphisme . . . page 41

1 Opérations sur les matrices

1.1 Définition d’une matrice

On se donne deux entiers naturels non nulsnet p. La définition la plus propre d’une matrice à nlignes et pcolonnes à coefficients dansKest : « unematriceànlignes etpcolonnes à coefficients dansKest une application deJ1, nK×J1, pK dansKou encore une famille d’éléments deKindexée par J1, nK×J1, pK». Dans la pratique, une matrice est écrite sous une des formes suivantes (la notation avec des parenthèses étant de loin la plus utilisée) :

A= (a_i,j)16i6n, 16j6p=

















a_1,1 . . . a_1,j . . . a_1,p

... ... ...

a_i,1 . . . a_i,j . . . a_i,p

... ... ...

an,1 . . . an,j . . . an,p

















=

















a_1,1 . . . a_1,j . . . a_1,p

... ... ...

a_i,1 . . . a_i,j . . . a_i,p

... ... ...

an,1 . . . an,j . . . an,p















 .

Nous adopterons donc la définition suivante :

Définition 1.Pournetpentiers naturels non nuls donnés, unematriceànlignes etpcolonnes à coefficients dans Kest un tableau ànlignes etpcolonnes et donc ànpcases, chaque case contenant un élément deK. Dans ce cas, la matrice est deformat(n, p). L’ensemble des matrices ànlignes etpcolonnes à coefficients dansKse noteM_n,p(K).

Si de plusn=p, la matrice est ditecarrée. Dans ce cas,nest leformatou la taille de la matrice carrée. L’ensemble des matrices carrées ànlignes etncolonnes à coefficients dansKse noteM_n(K).

Une matrice àn lignes et1 colonne s’appelle unematrice colonne. L’ensemble des matrices colonnes ànlignes se noteMn,1(K).

Une matrice à1ligne etpcolonnes s’appelle unematrice ligne. L’ensemble des matrices lignes àpcolonnes se note M1,p(K).

Par exemple, la matrice

2 −1 4

5 0 1

est une matrice à deux lignes et trois colonnes,

cosθ −sinθ sinθ cosθ

est une matrice carrée de format2,

x₁ x2

est une matrice colonne et x1 x2

est une matrice ligne.

Un élément deM_1,1(K)est une matrice n’ayant qu’un seul coefficient ;A= (a_1,1). On a souvent l’habitude d’identifier une telle matrice et son unique coefficient :(a_1,1) =a1,1ou encoreM_1,1(K) =Kde même que dans les chapitres précédents, on a identifiéK¹etK.

SiA=

















a1,1 . . . a1,j . . . a1,p

... ... ...

ai,1 . . . ai,j . . . ai,p

... ... ...

a_n,1 . . . a_n,j . . . a_n,p

















,ai,j est le coefficient lignei, colonnej, deA,















 a1,j

... ai,j

... a_n,j

















est laj-ème colonne de

Asouvent notée C_jet ai,1 . . . ai,j . . . ai,p

est lai-ème ligne de Asouvent notéeL_i.

Quand Aest une matrice carrée, la diagonale principalede la matrice A est la diagonale formée par les coefficients ai,i, 16i6n. Elle démarre en haut à gauche et finit en bas à droite. Les coefficients de cette diagonale principale sont souvent appeléscoefficients diagonaux.

1.2 L’espace vectoriel (M

n,p

( K ), +, .)

1.2.1 Définition l’addition et de la loi externe

On définit surM_n,p(K)une addition et une loi externe de domaineK.

•Pour tout(A, B) =

(ai,j)(i,j)∈J1,nK×J1,pK,(bi,j)(i,j)∈J1,nK×J1,pK

∈(Mn,p(K))², on pose A+B= (a_i,j+bi,j)(i,j)∈J1,nK×J1,pK.

•Pour toutA= (ai,j)(i,j)∈J1,nK×J1,pK∈Mn,p(K)et toutλ∈K, on pose λA= (λai,j)(i,j)∈J1,nK×J1,pK. On vérifie facilement que :

Théorème 1.(Mn,p(K),+, .)est unK-espace vectoriel.

L’élément neutre pour l’addition est lamatrice nulle notée0 ou 0n,p. C’est la matrice rectangulaire de format (n, p) dont tous les coefficients sont nuls.

L’opposéd’une matriceA= (a_i,j)(i,j)∈J×J1,pK est la matrice−A= (−a_i,j)(i,j)∈J×J1,pK. 1.2.2 Etude de la base canonique de M_n,p(K). Matrices élémentaires

Soientnet pdeux entiers naturels non nuls. Pour (i, j)∈J1, nK×J1, pK, on noteE_i,j la matrice rectangulaire de format (n, p)dont tous les coefficients sont nuls sauf le coefficient ligne i, colonnej, qui est égal à 1. Les matrices E_i,j sont les matrices élémentaires.

Pour(k, l)∈J1, nK×J1, pK, le coefficient lignek, colonnel de la matriceE_i,j, est donc égal à1si et seulement sik=iet l=jet est égal à0sinon. Le coefficient lignek, colonnel, est doncδ_k,i×δ_l,j. Ainsi,

∀(i, j)∈J1, nK×J1, pK, Ei,j=

























0 . . . 0 . . . 0

... ... ...

0

0 . . . 0 1 0 . . . 0 0

... ... ...

0 . . . 0 . . . 0

























j

i

ou aussi

∀(i, j)∈J1, nK×J1, pK, Ei,j = (δk,i×δl,j)(k,l)∈J1,nK×J1,pK. SiA= (ai,j)(i,j)∈J1,nK×J1,pK est une matrice donnée, alors

A= X

(i,j)∈J1,nK×J1,pK

ai,jEi,j.

Ceci montre que la famille(E_i,j)(i,j)∈J1,nK×J1,pKest génératrice deM_n,p(K). D’autre part, si(a_i,j)(i,j)∈J1,nK×J1,pK∈K^np X

(i,j)∈J1,nK×J1,pK

a_i,jE_i,j =0⇒(a_i,j)(i,j)∈J1,nK×J1,pK= (0)(i,j)∈J1,nK×J1,pK⇒∀(i, j)∈J1, nK×J1, pK, ai,j=0.

Donc, la famille de matrices(Ei,j)(i,j)∈J1,nK×J1,pK est libre. Finalement, la famille (Ei,j)(i,j)∈J1,nK×J1,pK est une base de M_n,p(K): c’est labase canoniquede l’espace vectoriel(M_n,p(K),+, .).

On en déduit que

Théorème 2.dim(Mn,p(K)) =np.

La famille(E_i,j)(i,j)∈J1,nK×J1,pK est une base deM_n,p(K) L’égalité(a_i,j)(i,j)∈J1,nK×J1,pK= X

(i,j)∈J1,nK×J1,pK

a_i,jE_i,j est fréquemment utilisée. Par exemple, 1 0 3

−1 1 0

=E1,1+3E1,3−E2,1+E2,2.

1.3 Produit de deux matrices

1.3.1 Définition du produit matriciel

On définit maintenant le produit de deux matrices. Pour des raisons qui apparaitront ultérieurement, on ne multipliera pas tout type de matrice par tout type de matrice. On effectuera un produitA×Buniquement dans le cas où le nombre de colonnes deA est le nombre de lignes deB. Plus précisément, si n, pet q sont trois entiers naturels non nuls et si A= (a_i,j)(i,j)∈J1,nK×J1,pK∈M_n,p(K)et B= (b_i,j)(i,j)∈J1,pK×J1,qK∈M_p,q(K), la matrice A×Best la matrice de format (n, q)dont le coefficient lignei, colonnej, où(i, j)∈J1, nK×J1, qK, est

Xp

k=1

ai,kbk,j. Ainsi,

∀

(a_i,j)(i,j)∈J1,nK×J1,pK,(b_i,j)(i,j)∈J1,pK×J1,qK

∈M_n,p(K)×M_p,q(K), A×B= Xp

k=1

a_i,kb_k,j

!

(i,j)∈J1,nK×J1,qK

.

On note que dans le cas général,× n’est pas une loi interne car les matrices que l’on multiplie n’appartiennent pas au même ensemble.

Ainsi, par exemple, le coefficient ligne1 colonne2, de la matriceAB est a_1,1b_1,2+a_1,2b_2,2+a_1,3b_3,2+. . .+a_1,pb_p,2. On dit que l’on a effectué leproduit scalaire usueldup-uplet(a_1,1, a_1,2, a_1,3, . . . , a_1,p)(constitué des coefficients de la ligne 1) par le p-uplet (b_1,2, b_2,2, b_3,2. . . , b_p,2) (constitué des coefficients de la colonne 2). Plus généralement, pour obtenir le coefficient lignei, colonnej, de la matriceA×B, on effectue le produit de la ligneipar la colonnej:

Xp

k=1

ai,kbk,j.

Exemple. Si A =

1 5 −2

1 3 2

et B =





3 −1 1

−5 −2 1

2 3 2



, la matrice A est de format (2, 3) et la matriceB est de format(3, 3). Donc, la matriceA×Best définie et de format(2, 3). De plus, son coefficient ligne2, colonne1, est obtenu de la façon suivante :

1 5 −2 1 3 2

×





3 −1 1

−5 −2 1

2 3 2



=

• • •

1×3+3×(−5)+2×2 • •

=

• • •

−8 • •

, et plus généralement,

1 5 −2

1 3 2

×





3 −1 1

−5 −2 1

2 3 2



=

−26 −17 2

−8 −1 8

.

❏ On donne maintenant les premières règles de calcul avec des produits de matrices.

Théorème 3.Soientn,p,q,r quatre entiers naturels non nuls.

∀(A, B, C)∈M_n,p(K)×M_p,q(K)×M_q,r(K),(AB)C=A(BC).

Démonstration. On poseA= (ai,j)_{(i,j)∈J1,nK×J1,pK},B= (bi,j)_{(i,j)∈J1,pK×J1,qK}etC= (ci,j)_{(i,j)∈J1,qK×J1,rK}.

A∈Mn,p(K)etB∈Mp,q(K). Donc le produitA×Best défini et est élément deMn,q(K). Ensuite,A×B∈Mn,q(K)etC∈Mq,r(K).

Donc, le produit(AB)×Cest défini et est élément deMn,r(K). De même, le produitA×(BC)est défini et est élément deMn,r(K).

Pour(i, k)∈J1, nK×J1, qK, le coefficient lignei, colonnek, de la matriceA×Best Xp

l=1

ai,lbl,ket donc, pour(i, j)∈J1, nK×J1, rK, le coefficient lignei, colonnej, de la matrice(A×B)×Cest

Xq

k=1

Xp

l=1

ai,lbl,k

!

ck,j = X

16l6p 16k6q

ai,lbl,kck,j= X

16k^′6p 16l^′6q

ai,k^′bk^′,l^′cl^′,j.

De même, pour(i, j)∈J1, nK×J1, rK, le coefficient lignei, colonnej, de la matriceA×(B×C)est Xp

k=1

ai,k

Xp

l=1

bk,lcl,j

!

= X

16k6p 16l6q

ai,kbk,lcl,j.

Les matrices(A×B)×CetA×(B×C)ont les mêmes coefficients. Ces matrices sont donc égales.

❏ On noteI_nla matrice carrée de formatndont le coefficient lignei, colonnej,16i, j6n, vaut1sii=jet0sinon. Donc,

I_n= (δ_i,j)_16i,j6n=













1 0 . . . 0 0 . .. ... ...

... . .. ... 0 0 . . . 0 1











 .

Théorème 4.Soientnet pdeux entiers naturels non nuls.

∀A∈M_n,p(K),I_n×A=AetA×I_p=A.

Démonstration. On poseA= (ai,j)(i,j)∈J1,nK×J1,pK.

In∈M_n,n(K)et A∈M_n,p(K). Donc, le produitIn×Aest défini et est élément deM_n,p(K).

Soit(i, j)∈J1, nK×J1, pK. Le coefficient lignei, colonnej, de la matrice In×Aest Xn

k=1

δi,kak,j=ai,j(obtenu pourk=i).

Donc,In×A=A. De même,A×Ip=A.

❏ Théorème 5. ∀(A, B, C) ∈ M_n,p(K)×M_p,q(K)×M_p,q(K), A×(B+C) = AB+AC et ∀(B, C, A) ∈ M_n,p(K)× M_n,p(K)×M_p,q(K),(B+C)×A=BA+CA.

Démonstration. On poseA= (ai,j)_{(i,j)∈J1,nK}×J1,pK,B= (bi,j)_{(i,j)∈J1,pK}×J1,qKetC= (ci,j)_{(i,j)∈J1,pK}×J1,qK.

Aest dansMn,p(K)etB,CetB+Csont dansMp,q(K). Donc, les produitA×B,A×CetA×(B+C)sont définis et sont éléments deMn,q(K).

Soit(i, j)∈J1, nK×J1, qK. Le coefficient lignei, colonnej, deA×Best Xp

k=1

ai,kbk,j et le coefficient lignei, colonnej, deA×Cest Xp

k=1

ai,kck,j puis le coefficient lignei, colonnej, deA×B+A×Cest Xp

k=1

ai,kbk,j+ Xp

k=1

ai,kck,j = Xp

k=1

(ai,kbk,j+ai,kck,j) = Xp

k=1

ai,k(bk,j+ck,j),

qui est le coefficient lignei, colonnej, deA×(B+C). Donc,A×(B+C) =A×B+A×C.

L’autre égalité se démontre de la même manière.

❏ Théorème 6.∀λ∈K,∀(A, B)∈M_n,p(K)×M_p,q(K), (λA)×B=A×(λB) =λAB.

Démonstration. Soit(i, j)∈ J1, nK×J1, qK. Le coefficient ligne i, colonne j, de la matrice(λA)×B est Xn

k=1

(λai,k)bk,j =

λ Xn k=1

ai,kbk,j et celui de la matriceA×(λB)est Xn k=1

ai,k(λbk,j) =λ Xn k=1

ai,kbk,j. Dans les deux cas, on a trouvé le coefficient lignei, colonnej, de la matriceλAB

❏

Exercice 1.Pour θ∈R, on poseM(θ) =

cos(θ) −sin(θ) sin(θ) cos(θ)

. 1)CalculerM(θ)×M(θ^′)pour tout(θ, θ^′)∈R².

2)Calculer(M(θ))ⁿ pour toutθ∈Ret pour toutn∈N^∗(où(M(θ))ⁿ =

nfacteurs

z }| { M(θ)×. . .×M(θ)).

Solution 1.

1)Soit(θ, θ^′)∈R².

M(θ)×M(θ^′) =

cos(θ) −sin(θ) sin(θ) cos(θ)

cos(θ^′) −sin(θ^′) sin(θ^′) cos(θ^′)

=

cos(θ)cos(θ^′) −sin(θ)sin(θ^′) −sin(θ)cos(θ^′) −cos(θ)sin(θ^′) sin(θ)cos(θ^′) +cos(θ)sin(θ^′) cos(θ)cos(θ^′) −sin(θ)sin(θ^′)

=

cos(θ+θ^′) −sin(θ+θ^′) sin(θ+θ^′) cos(θ+θ^′)

=M(θ+θ^′).

2)Soitθ∈R. Montrons par récurrence que∀n∈N^∗,(M(θ))ⁿ=M(nθ).

• L’égalité est vraie pourn=1.

• Soitn>1. Supposons que(M(θ))ⁿ =M(nθ). Alors,

(M(θ))ⁿ⁺¹= (M(θ))ⁿ×M(θ)

=M(nθ)×M(θ) (par hypothèse de récurrence)

=M(nθ+θ) (d’après 1))

=M((n+1)θ).

Le résultat est démontré par récurrence.

1.3.2 Produit de deux matrices élémentaires

Théorème 7.∀(i, j, k, l)∈J1, nK×J1, pK×J1, pK×J1, qK,E_i,j×E_k,l=δ_j,kE_i,l.

Démonstration. Soit(u, v)∈J1, nK×J1, qK. Le coefficient ligneu, colonnev, deEi,j×Ek,l est

Xp

w=1

(δu,i δw,j)

| {z }

coef. ligneu, colonnew,

deE_i,j

(δw,k δv,l)

| {z }

coef. lignew, colonnev,

deE_k,l

=δu,iδv,l

Xn w=1

δw,jδw,k

=δj,kδu,iδv,l(obtenu pourw=j).

Ce coefficient est aussi celui deδj,kEi,lce qui démontre le résultat.

❏ Ainsi, dans le cas de matrices carrées de format n > 2, E_1,2 ×E_2,1 = E_1,1 et E_2,1 ×E_1,2 = E_2,2. En particulier, E_1,2×E_2,16=E_2,1×E_1,2. On note aussi queE_1,2×E_1,1=0 et pourtantE_2,16=0et E_1,16=0.

Exercice 2.SoitN=





0 1 0 0 0 1 0 0 0



. CalculerN²etN³. Solution 2.N=E_1,2+E_2,3. Ensuite,

N²= (E_1,2+E_2,3) (E_1,2+E_2,3) =E_1,2E_1,2+E_1,2E_2,3+E_2,3E_1,2+E_2,3E_2,3=E_1,3

=





0 0 1 0 0 0 0 0 0



, puis

N³=N×N²= (E_1,2+E2,3)E1,3

=0.

➱ Commentaire.

⋄ Quand des matrices contiennent beaucoup de0, on utilise fréquemment l’écriture de cette matrice à l’aide des matrices élémentaires pour effectuer des produits.

⋄ La matrice N de l’exercice 2 vérifieN6=0, N² 6=0et N³= 0. Une telle matrice est dite nilpotente d’indice 3. De manière générale, si A∈ Mn(K), A est nilpotente si et seulement si il existe un entier naturel non nul k tel que A^k =0. L’indice de nilpotencede A est alors p=Min

k∈N^∗, A^k=0 . Il existe une et une seule matrice nilpotente d’indice 1 à savoir la matrice nulle0.

1.3.3 L’anneau (M_n(K),+,×)

Le produit de deux matrices carrées de formatn est défini et est une matrice carrée de format n. Donc, ×est une loi interne surMn(K). Les théorèmes 1, 3, 4 et 5, ainsi que les calculs précédant l’exercice 2, fournissent immédiatement

Théorème 8.Pour toutn>1,(Mn(K),+,×)est un anneau. Cet anneau est non commutatif pour n>2.

On note que l’élément neutre de× est In. D’autre part, comme dans tout anneau, l’élément neutre pour+, à savoir la matrice nulle0n, est absorbant pour la multiplication :∀A∈M_n(K),A×0n=0n×A=0n.

Comme dans tout anneau, on peut définir les exposants : pourA∈M_n(K) etp∈N^∗, on poseA^p =A×. . .×A

| {z }

pfacteurs

et on adopte la conventionA⁰ = In (convention douteuse faisant parfois commettre quelques erreurs, la notation A⁰ n’étant réellement cohérente que quandAest inversible pour×).

On a alors les règles de calculs usuelles sur les exposants :

-∀A∈Mn(K),∀(p, q)∈N²,A^p×A^q=A^p+q et(A^p)^q=A^pq.

-∀(A, B)∈(Mn(K))²,∀p∈N,siAet Bcommutent, alors(AB)^p=A^pB^p.

Comme dans tout anneau, on a aussi la formule du binôme deNewtonet l’identitéA^p−B^p=. . .: Théorème 10.Soitn>1.

•(formule du binôme de Newton)∀(A, B)∈(M_n(K))²,si AetB commutent

∀p∈N, (A+B)^p= Xp

k=0

p p

A^kB^p−k.

• ∀(A, B)∈(M_n(K))², siAetB commutent

∀p∈N^∗, A^p−B^p= (A−B)

p−1X

k=0

A^kB^p−1−k.

SiAetBne commutent pas, on a par exemple(A+B)²= (A+B)(A+B) =A²+AB+BA+B² et pas mieux.

Il est donc temps de s’intéresser aux matrices carrées qui commutent avec toutes les matrices carrées : Exercice 3.Soitn>2. Déterminer les matricesA∈Mn(K)telles que∀B∈Mn(K),AB=BA.

Solution 3.PosonsA= (a_i,j)_16i,j6n. SiAest solution du problème, alors∀(i, j)∈J1, nK²,AE_i,j=E_i,jA. Or,

AEi,j= X

16k,l6n

ak,lEk,lEi,j= Xn

k=1

ak,iEk,j

=a1,iE1,j+a2,iE2,j+. . .+ai,iEi,j+. . .+an,iEn,j, et

Ei,jA= X

16k,l6n

ak,lEi,jEk,l= Xn

l=1

aj,lEi,l

=aj,1Ei,1+aj,2Ei,2+. . .+aj,jEi,j+. . .+aj,nEi,n.

Puisque la famille(E_i,j)_16i,j6n est libre, on peut identifier les coefficients et on obtient : pour tout(i, k)∈J1, nK²tel que i6=k,ai,k=0et pour tout(i, j)∈J1, nK², ai,i=aj,j.

Ainsi, siAcommutent avec toutes les matrices, alorsAest nécessairement de la forme A=













λ 0 . . . 0 0 . .. ... ...

... . .. 0 0 . . . 0 λ













=λI_n

oùλ∈K. Réciproquement, pourλ∈Ket B∈M_n(K),B×(λI_n) =λB= (λI_n)×B.

Les matrices qui commutent avec toutes les matrices carrées sont les matrices de la formeλI_n,λ∈K.

Exercice 4.

1)SoitN=





0 1 0 0 0 1 0 0 0



. CalculerN^k pourk∈N.

2)SoitA=





2 −1 0

0 2 −1

0 0 2



. CalculerAⁿ pourn∈N. Solution 4.

1)N⁰=I₃ etN¹=N. On a vu dans l’exercice n^o2 que N²=E_1,3 puisN³=0. On en déduit que pourk>3 (de sorte quek−3>0),N^k=N^k−3×N³=N^k−3×0=0.

2)A⁰=I3et A¹=A. Soitn>2. A=2I3−N et puisque les matricesAet −2I_n commutent, la formule du binôme de Newtonpermet d’écrire

Aⁿ = (2I₃−N)ⁿ= Xn

k=0

n k

(2I₃)^n−k(−N)^k

= n

0

(2I₃)ⁿ(−N)⁰+ n

1

(2I₃)ⁿ⁻¹(−N)¹+ n

2

(2I₃)ⁿ⁻²(−N)² (car pourk>3, N^k=0)

=2ⁿI3−n2ⁿ⁻¹N+n(n−1)2ⁿ⁻³N²

=





2ⁿ −n2ⁿ⁻¹ n(n−1)2ⁿ⁻³

0 2ⁿ −n2ⁿ⁻¹

0 0 2ⁿ



, ce qui reste vrai pourn=0 oun=1. Donc,

∀n∈N, Aⁿ=





2ⁿ −n2ⁿ⁻¹ n(n−1)2ⁿ⁻³

0 2ⁿ −n2ⁿ⁻¹

0 0 2ⁿ



.

➱ Commentaire. Quand on écritAⁿ= Xn k=0

n k

!

(2I3)^n−k(−N)^k, on remplace le problème du calcul des puissances successives de A par le calcul des puissances successives de la matrice 2I3 et de la matrice −N. Si l’on n’était pas capable de calculer ces puissances, utiliser le binôme ne présente plus aucun intérêt. Cette mentalité est la même dans l’exercice suivant.

Exercice 5.

1)SoitJ=





1 1 1 1 1 1 1 1 1



. CalculerJ². En déduireJ^k pourk∈N^∗.

2)SoitA=





2 1 1 1 2 1 1 1 2



. CalculerAⁿ pour n∈N. Solution 5.

1) J² =





1 1 1 1 1 1 1 1 1









1 1 1 1 1 1 1 1 1



 =





3 3 3 3 3 3 3 3 3



 = 3J. Montrons alors par récurrence que pour tout k ∈ N^∗, J^k=3^k−1J.

• 3¹⁻¹J=J=J¹ et donc, la formule est vraie quandk=1.

• Soitk>1. SiJ^k=3^k−1J, alors

J^k+1=J^k×J=3^k−1J×J=3^k−1×3J=3^(k+1)−1J.

On a montré par récurrence que∀k∈N^∗,J^k =3^k−1J. D’autre part, J⁰=I₃ (et en particulierJ⁰6=3⁰⁻¹J).

2) A⁰ = I₃. Soitn>1. Puisque A=I₃+J et que les matrices I₃ et J commutent, la formule du binôme de Newton fournit

Aⁿ = (I₃+J)ⁿ= Xn

k=0

n k

I^n−k₃ J^k=I3+ Xn

k=1

n k

I^n−k₃ J^k

=I₃+ Xn

k=1

n k

3^k−1J=I₃+ Xn

k=1

n k

3^k−1

! J

=I3+1 3

Xn

k=1

n k

3^k

!

J=I3+1 3

Xn

k=0

n k

3^k1^n−k−1

! J

=I3+1

3((3+1)ⁿ−1)J=I3+ 4ⁿ−1 3 J

=





1 0 0 0 1 0 0 0 1



+4ⁿ−1 3





1 1 1 1 1 1 1 1 1



= 1 3





4ⁿ+2 4ⁿ−1 4ⁿ−1 4ⁿ−1 4ⁿ+2 4ⁿ−1 4ⁿ−1 4ⁿ−1 4ⁿ+2



, ce qui reste vrai quandn=0. Donc,

∀n∈N, Aⁿ= 1 3





4ⁿ+2 4ⁿ−1 4ⁿ−1 4ⁿ−1 4ⁿ+2 4ⁿ−1 4ⁿ−1 4ⁿ−1 4ⁿ+2



.

1.3.4 Matrices carrées inversibles. Le groupe (GL_n(K,×)

On rappelle qu’une matrice carrée A ∈ M_n(K) est inversible pour × si et seulement si il existe une matrice carrée B ∈ M_n(K) telle que A×B = B×A = In. Dans ce cas, la matrice B est unique et se note A⁻¹. On note GLn(K) l’ensemble des matrices carrées inversibles pour×. GLn(K)est l’ensemble des inversibles de l’anneau (M_n(K),+, .)et à ce titre :

Théorème 11.Soitn>1.(GL_n(K),×)est un groupe.

En particulier,In ∈GLn(K), si(A, B)∈(GLn(K))², alorsAB∈GLn(K)(et(AB)⁻¹=B⁻¹A⁻¹) et siA∈GLn(K), alors A⁻¹∈GL_n(K)(et A⁻¹−1

=A).

Théorème 12.Soit(n, p)∈(N^∗)².

∀A∈GLn(K),∀(B, C) (Mn,p(K)²,AB=AC⇒B=C.

∀A∈GL_n(K),∀(B, C) (M_p,n(K))², BA=CA⇒B=C.

Démonstration. SoientA∈GLn(K)et(B, C) (Mn,p(K)².

AB=AC⇒A⁻¹AB=A⁻¹AC⇒InB=InC⇒B=C.

Et de même pour l’autre implication.

❏

SiA∈GLn(K), on peut définirA^p pourp∈Z:∀p∈Z,A^p=

















pfacteurs

z }| {

A×. . .×A sip>1 Insip=0

A⁻¹×. . .×A⁻¹

| {z }

−pfacteurs

sip6−1

. Avec cette définition, on

a les règles de calcul usuelles sur les exposants :

• ∀A∈GLn(K),∀(p, q)∈Z²,A^p×A^q=A^p+q et(A^p)^q=A^pq.

• ∀(A, B)∈(GL_n(K))²,∀p∈Z, si AetBcommutent,(AB)^p=A^pB^p.

Au fur et à mesure du cours, nous rencontrerons de nombreuses méthodes, à utiliser en fonction des circonstances, pour montrer qu’une certaine matrice carrée est inversible et déterminer son inverse. La première méthode est fournie par la définition de l’inversibilité et de l’inverse. Cette méthode est mise en œuvre dans les deux exercices qui suivent.

Exercice 6.SoientA=





1 −1 0

0 1 −1

0 0 1



 etN=





0 1 0 0 0 1 0 0 0



.

1)ExprimerAen fonction deI3 etN.

2)CalculerN³.

3)En déduire queA∈GL₃(R)et préciserA⁻¹. Solution 6.

1)A=





1 −1 0

0 1 −1

0 0 1



=





1 0 0 0 1 0 0 0 1



−





0 1 0 0 0 1 0 0 0



=I₃−N.

2)On a vu dans l’exercice 2 queN³=0.

3)Puisque les matricesI₃etNcommutent,(I₃−N) I₃+N+N²

=I₃−N³=I₃et de même, I₃+N+N²

(I₃−N) = I₃−N³=I₃. Donc,Aest inversible etA⁻¹=I₃+N+N². Plus précisément,

A⁻¹=





1 0 0 0 1 0 0 0 1



+





0 1 0 0 0 1 0 0 0



+





0 0 1 0 0 0 0 0 0



=





1 1 1 0 1 1 0 0 1



.

Exercice 7.SoientA=





2 1 1 1 2 1 1 1 2



etJ=





1 1 1 1 1 1 1 1 1



.

1)ExprimerAen fonction deI₃ etJ.

2)CalculerJ². En déduire une égalité du type αA²+βA+γI2oùα,βetγsont trois réels,αétant non nul.

3)En déduire queA∈GL₃(R)et préciserA⁻¹. Solution 7.

1)A=I3+J.

2)J²=





1 1 1 1 1 1 1 1 1









1 1 1 1 1 1 1 1 1



=





3 3 3 3 3 3 3 3 3



=3





1 1 1 1 1 1 1 1 1



=3J, puis J²=3J⇒(A−I3)²=3(A−I3)⇒A²−5A+4I3=0.

3)A²−5A+4I3=0⇒I3= 1

4 −A²+5A . Donc, A×1

4(−A+5I3) =I3= 1

4(−A+5I3)×A.

Par suite,A∈GL3(R)et

A⁻¹= 1

4(−A+5I3) = 1 4





3 −1 −1

−1 3 −1

−1 −1 3



.

1.3.5 Les pièges de la multiplication des matrices

Les pièges du produit des matrices sont les mêmes que les mêmes que les pièges de la composition des applications linéaires.

• Il est possible queA×B6=B×A. Par exemple,E_1,1×E_1,2=E_1,26=0 etE_1,2×E_1,1=0.

• Il est possible queA6=0,B6=0etA×B=0ou encore un produit de facteurs peut être nul sans qu’aucun de ses facteurs ne soit nul. Par exemple,E1,16=0, E1,26=0 etE1,2×E1,1=0.

• Il est possible queA×B=0et B×A6=0. Par exemple,E1,1×E1,26=0et E1,2×E1,1=0.

• Il est possible queA×B=A×Cet B6=C. Par exemple, E_1,2×E_1,1=0×E_1,1 maisE_1,26=0.

• Il est possible que(A×B)²6=A²×B². Par exemple,(E_1,2E_2,1)²= (E_1,1)²=E_1,1 maisE²_1,2E²_2,1=0.

• Il est possible que(A+B)²6=A²+2AB+B².

Par exemple,(E_1,2+E_2,1)²= (E_1,2+E_2,1) (E_1,2+E_2,1) =E²_1,2+E_1,2E_2,1+E_2,1E_1,2+E²_2,1=E_1,1+E_2,2 mais E²_1,2+2E_1,2E_2,1+E²_2,1=2E_1,1.

1.4 Transposée d’une matrice

Définition 2.Soit(n, p)∈(N^∗)². SoitA= (a_i,j)(i,j)∈J1,nK×J1,pK∈M_n,p(K).

Latransposée de la matriceA, notée ^tA, est la matrice élément de M_p,n(K) dont le coefficient lignei, colonnej, (i, j)∈J1, pK×J1, nK, est le coefficient de la matriceAsitué lignej, colonneiou encore

tA= a_i,j^′

(i,j)∈J1,pK×J1,nK où∀(i, j)∈J1, pK×J1, nK, a_i,j^′ =a_j,i. Par exemple, siA=





1 3

−1 5

4 0



, alors^tA=

1 −1 4

3 5 0

. Les propriétés usuelles de calcul de la transposition sont :

Théorème 13.

1)∀A∈Mn,p(K),^t(^tA) =A.

2)∀(A, B)∈(Mn,p(K))²,∀(λ, µ)∈K²,^t(λA+µB) =λ^tA+µ^tB.

3)∀(A, B)∈M_n,p(K)×M_p,q(K),^t(AB) =^tB^tA.

4)∀A∈M_n(K),^tA∈GL_n(K)⇔A∈GL_n(K). De plus, en cas d’inversibilité,(^tA)⁻¹=^t A⁻¹ . Démonstration.

1)On poseA= (ai,j)(i,j)∈J1,nK×J1,pK.^tAest la matrice de format(p, n)dont le coefficient lignei, colonnej,(i, j)∈J1, pK×J1, nK, estai,j^′ =aj,i.^{t t}A

est la matrice de format(n, p)dont coefficient lignei, colonnej,(i, j)∈J1, nK×J1, pK, estai,j^′′ =aj,i^′ =ai,j. Donc,^{t t}A

=A.

2)On poseA= (ai,j)_{(i,j)∈J1,nK}×J1,pKetB= (bi,j)_{(i,j)∈J1,nK}×J1,pK.

Soit(i, j)∈J1, nK×J1, pK. Le coefficient lignei, colonnej, de la matrice^t(λA+µB)estλaj,i+µbj,iet est aussi le coefficient ligne i, colonnej, de la matriceλ^tA+µ^tB. Donc,^t(λA+µB) =λ^tA+µ^tB.

3)On poseA= (ai,j)_{(i,j)∈J1,nK×J1,pK}etB= (bi,j)_{(i,j)∈J1,pK×J1,qK}puis^tA= ai,j^′

(i,j)∈J1,pK×J1,nKet^tB= bi,j^′

(i,j)∈J1,qK×J1,pK.

•ABest un élément deMn,q(K)et donc^t(AB)est un élément deMq,n(K). Soit(i, j)∈J1, qK×J1, nK. Le coefficient lignei, colonne j, de la matrice^t(AB)est encore le coefficient lignej, colonnei, de la matriceABc’est-à-dire

Xp

k=1

aj,kbk,i.

• ^tA est un élément de Mp,n(K) et ^tB est un élément de Mq,p(K). Donc, ^tB^tA est défini et est un élément de Mq,n(K). Soit (i, j)∈J1, qK×J1, nK. Le coefficient lignei, colonnej, de la matrice^tB^tAest le « produit » de la ligneide^tBpar la colonnejde

tAc’est-à-dire

Xp

k=1

bi,k^′ ak,j^′ = Xp

k=1

aj,kbk,i. Donc,^t(AB) =^tB^tA.

4) SiA∈ GLn(K), alors^tA×^t A⁻¹

= ^t A⁻¹A

= ^tIn = In et ^t A⁻¹

×^tA =^t AA⁻¹

= ^tIn = In. Donc,^tA ∈GLn(K) et

tA−1

=^t A⁻¹ .

En appliquant ce résultat à la matrice^tA, on obtient : si^tA∈GLn(K), alorsA=^{t t}A

∈GLn(K).

❏

Exercice 6.SoientU=





 u₁

... u_n





 etV=





 v₁

... v_n





deux éléments deM_n,1(K). Calculer^tUV etU^tV.

Solution 6.

• ^tU est une matrice de format(1, n) et V est une matrice de format (n, 1). Donc, ^tUV est définie et de format (1, 1).

tUV est le nombre :

tUV = u₁ . . . u_n





 v₁

... v_n





=u₁v₁+. . .+u_nv_n.

•Uest une matrice de format(n, 1)etV est une matrice de format (1, n). Donc, U^tV est définie et de format(n, n). Si (i, j)∈J1, nK², le coefficient lignei, colonnej, estu_iv_jet donc

U^tV=





 u1

... un





 v1 . . . vn

=

















u1v1 . . . u1vj . . . u1vn

... ... ...

uiv1 . . . uivj . . . uivn

... ... ...

unv1 . . . unvj . . . unvn

















= (uivj)_16i,j6n.

1.5 Quelques grands types de matrices

1.5.1 Matrices scalaires

Définition 3.Une matrice scalairede formatn∈N^∗ est une matrice de la forme













λ 0 . . . 0 0 . .. ... ...

... . .. ... 0 0 . . . 0 λ













=λIn.

➱ Commentaire.

⋄ On a vu dans l’exercice 3, page 7, que les matrices carrées qui commutent avec toutes les matrices carrées sont exactement les matrices scalaires.

⋄ L’ensemble des matrices scalaires de formatnest un sous-espace vectoriel deMn(K)de dimension1. Une base de ce sous-espace est (In). L’espace des matrices scalaires étant de dimension1, il est isomorphe à K¹=K l’espace des scalaires, un isomorphisme étantλ7→λIn. Ceci motive la dénomination « matrices scalaires ».

1.5.2 Matrices diagonales

Définition 4.SoitA= (a_i,j)_16i,j6n∈M_n(K).Aest unematrice diagonalesi et seulement si∀i6=j, ai,j=0.

Une matrice diagonale est donc une matrice de la forme :D=













λ₁ 0 . . . 0 0 . .. ... ...

... . .. ... 0 0 . . . 0 λn













où(λ₁, . . . , λ_n)∈Kⁿ. Une telle

matrice se noteD=diag(λ₁, . . . , λ_n) =diag(λ_i)_16i6n. L’ensemble des matrices diagonales se noteD_n(K).

Théorème 14.D_n(K)est un sous-espace deM_n(K)de dimensionn. Une base deD_n(K)est (E_i,i)_16i6n.

Démonstration. Pour tout (λ1, . . . , λn) ∈ Kⁿ, diag(λ1, . . . , λn) = Xn i=1

λiEi,i. Par suite, Dn(K) = Vect(Ei,i)_16i6n et en particulier,Dn(K)est un sous-espace deMn(K).

De plus, la famille(Ei,i)_16i6n est génératrice deDn(K) et libre en tant que sous-famille d’une famille libre. Finalement, la famille (Ei,i)_16i6n est une base deDn(K)et en particulier, dim(Dn(K)) =card

(Ei,i)_16i6n

=n. ❏

On donne maintenant les règles de calcul sur les matrices diagonales. Elles sont remarquablement simples :

Théorème 15.

1)∀

(λ_i)_16i6n,(µ_i)_16i6n

∈(Kⁿ)²,∀(α, β)∈K²,αdiag(λ_i)_16i6n+βdiag(µ_i)_16i6n =diag(αλ_i+βµ_i)_16i6n. 2) a)∀

(λ_i)_16i6n,(µ_i)_16i6n

∈(Kⁿ)², diag(λ_i)_16i6n×diag(µ_i)_16i6n=diag(λ_iµ_i)_16i6n. b)∀(λ_i)_16i6n ∈Kⁿ,∀k∈N,

diag(λ_i)_16i6nk

=diag λ^k_i

16i6n. 3) a)∀(λ_i)_16i6n ∈Kⁿ,

diag(λ_i)_16i6n ∈GL_n(K)⇔∀i∈J1, nK, λi6=0

et dans ce cas

diag(λi)_16i6n−1

=diag 1

λ_i

16i6n

.

b)Pour (λ_i)_16i6n ∈Kⁿ tel que pour touti∈J1, nK,λ_i6=0,∀k∈Z,

diag(λ_i)_16i6nk

=diag λ^k_i

16i6n. Démonstration.

1)Immédiat.

2) a)diag(λi)_16i6n×diag(µi)_16i6n= Xn i=1

λiEi,i

!

 Xn j=1

µjEj,j



= X

16i,j6n

λiµjEi,iEj,j= Xn i=1

λiµiEi,i=diag(λiµi)_16i6n. b)Se déduit immédiatement du a) par récurrence surk.

3) a)Si tous lesλi,16i6n, sont non nuls, alors diag(λi)_16i6n×diag

1 λi

16i6n

=diag

λi× 1 λi

16i6n

=diag(1)_16i6n=In

et de même, diag 1

λi

16i6n

×diag(λi)_16i6n=In. Dans ce cas, diag(λi)_16i6n ∈GLn(K)et

diag(λi)_16i6n−1

=diag 1

λi

16i6n

. Si l’un des λi est nul, soit i0 ∈ J1, nKtel que λi₀ = 0. Alors, pour toute matrice A ∈ Mn(K), la i0-ème colonne de la matrice A×diag(λi)_16i6n est nulle. En particulier, pour toute matriceA∈Mn(K),A×diag(λi)_16i6n 6=In. Ceci montre que la matrice diag(λi)_16i6n n’est pas inversible.

b)Le résultat est acquis pourk>0et sik < 0, diag(λi)_16i6nk

=

diag(λi)_16i6n−1−k diag

λ⁻¹i

16i6n

−k

=diag

λ⁻¹i

−k

16i6n

=diag λ^ki

16i6n.

❏

1.5.3 Matrices triangulaires

Commençons par analyser différentes « régions » dans une matrice carrée. La diagonale principale est constituée des coefficientsa_i,j tels quej=i.

Un coefficienta_i,j situé strictement au-dessous cette diagonale a un numéro de colonnejstrictement inférieur au numéro de ligneiet un coefficientai,jsitué strictement au-dessus cette diagonale a un numéro de colonnejstrictement supérieur au numéro de lignei. On peut résumer ceci avec le graphique :



















 . ..

. .. j > i i=j

j < i . ..

. ..



















 .

On peut maintenant donner la définition d’une matrice triangulaire :

Définition 5.Soit A= (ai,j)_16i,j6n ∈ Mn(K). A est une matrice triangulaire supérieure(resp. triangulaire inférieure) si et seulement si∀(i, j)∈J1, nK²,(i > j⇒ai,j=0)(resp.(i < j⇒ai,j=0).

Une matrice triangulaire supérieure est donc une matrice de la forme :T =













a1,1 . . . a1,n

0 . .. ... ... . .. ... ... 0 . . . 0 a_n,n













et une matrice

triangulaire inférieure est une matrice de la forme :T =













a1,1 0 . . . 0 ... . .. ... ...

... . .. 0

an,1 . . . an,n











 .

L’ensemble des matrices triangulaires supérieures (resp. inférieures) se noteT_n,s(K)(resp.T_n,i(K)).

On note que T_n,s(K)∩T_n,i(K) = D_n(K). On note aussi que la transposée d’une matrice triangulaire inférieure est une matrice triangulaire supérieure et que la transposée d’une matrice triangulaire supérieure est une matrice triangulaire inférieure

Théorème 16. T_n,s(K) et T_n,i(K) sont des sous-espaces de M_n(K) de dimension n(n+1)

2 . Une base de T_n,s(K) (resp.T_n,i(K)) est(E_i,j)_16i6j6n (resp.(E_i,j)_16j6i6n).

Démonstration. Par la même démarche que pourDn(K), il est clair queTn,s(K) =Vect(Ei,j)_16i6j6n (et doncTn,s(K)est un sous-espace deMn(K)) puis que(Ei,j)_16i6j6n est une base deTn,s(K). Par suite,

dim(Tn,s(K)) =card

(Ei,j)_16i6j6n

=n+ (n−1) +. . .+2+1= n(n+1)

2 .

❏

Exercice 7.Montrer que le produit de deux matrices triangulaires supérieures est une matrice triangulaire supérieure.

Solution 7. Soient A = (a_i,j)_16i,j6n et B = (b_i,j)_16i,j6n deux matrices triangulaires supérieures. Donc, pour tout (i, j)∈J1, nK², sii > j, alorsa_i,j=0et b_i,j=0.

Soit(i, j)∈J1, nK² tel quei > j. Le coefficient lignei, colonnej, de la matriceABest Xn

k=1

a_i,kb_k,j.

Dans cette somme, sik > j, alorsb_k,j=0puisa_i,kb_k,j=0et sik6j, alorsi > j>ket en particulieri > kde sorte que a_i,k=0 puisa_i,kb_k,j=0. Finalement, tous les termes de la somme sont nuls puis la somme est nulle.

En résumé, pour tout(i, j)∈J1, nK² tel quei > j, on a Xn

k=1

ai,kbk,j=0. Ceci montre que la matriceAB est triangulaire supérieure.

1.5.4 Matrices symétriques, matrices antisymétriques Définition 6.SoitA= (a_i,j)_16i,j6n∈Mn(K).

Aest une matricesymétrique⇔^tA=A⇔∀(i, j)∈J1, nK²,a_j,i=a_i,j.

Aest une matriceanti-symétrique⇔^tA= −A⇔∀(i, j)∈J1, nK²,aj,i= −ai,j.

L’ensemble des matrices symétriques se noteS_n(K)et l’ensemble des matrices anti-symétriques se note A_n(K).

Théorème 17.

•S_n(K)etA_n(K)sont des sous-espaces deM_n(K).

•M_n(K) =S_n(K)⊕A_n(K). De plus, la décomposistion d’un élémentAdeM_n(K)relativement à cette décomposition deM_n(K)est :

A= 1

2 A+^tA +1

2 A−^tA .

•dim(S_n(K)) = n(n+1)

2 et dim(A_n(K)) = n(n−1)

2 .

Démonstration. Soit ϕ : Mn(K) → Mn(K)

A 7→ ^tA

.

-ϕ∈L(Mn(K))etϕ²=IdM_n(K) d’après le théorème 13, page 11.

-ϕest donc une symétrie et on sait queMn(K) =Ker ϕ−IdM_n(K)

⊕Ker ϕ+IdM_n(K)

. Maintenant, pourA∈Mn(K), A∈Ker ϕ−IdM_n(K)

⇔ϕ(A) −A=0⇔^tA=A⇔A∈Sn(K), et de même

A∈Ker ϕ+IdM_n(K)

⇔ϕ(A) +A=0⇔^tA= −A⇔A∈An(K).

Finalement,Sn(K) = Ker ϕ−IdM_n(K)

est un sous-espace vectoriel deMn(K et An(K) = Ker ϕ+IdM_n(K)

. Enfin, Mn(K) = Sn(K)⊕An(K).

- SoientA∈Mn(K)puisB= 1

2 A+^tA

etC= 1

2 A−^tA .

•B+C=A.

•^tB= 1 2

tA+A

=Bet doncB∈Sn(K).

•^tC=1 2

tA−A

= −Cet doncC∈An(K).

- Déterminons maintenant la dimension deSn(K). SoitA= (ai,j)_16i,j6n∈Sn(K).

A= X

16i,j6n

ai,jEi,j= Xn

i=1

ai,iEi,i+ X

16i<j6n

ai,j(Ei,j+Ej,i) (∗).

Ceci montre que toute matrice symétrique est combinaison linéaire de la famille (Ei,i)_16i6n ∪(Ei,j+Ej,i)_16i<j6n. (∗) montre aussi qu’une combinaison linéaire de la famille(Ei,i)_16i6n∪(Ei,j+Ej,i)_16i<j6n est une matrice symétrique et finalementSn(K) = Vect

(Ei,i)_16i6n∪(Ei,j+Ej,i)_16i<j6n

. D’autre part, cette famille est libre car si Xn i=1

λi,iEi,i+ X

16i<j6n

λi,j(Ei,j+Ej,i) =0, alors X

16i,j6n

λi,jEi,j où on a poséλi,j=λj,ipouri > j, et donc tous les coefficients sont nuls.

Finalement,(Ei,i)_16i6n∪(Ei,j+Ej,i)_16i<j6n est une base deSn(K). Parmi cesn²couples(i, j)deJ1, nK², il y en antels quei=j et il y a autant de couples(i, j) tels quei < jque de couples (i, j) tels quei > j. Le nombre de couples (i, j) tels quei < jest

n²−n

2 = n(n−1) 2 puis

dim(Sn(K)) =card

(Ei,i)_16i6n∪(Ei,j+Ej,i)_16i<j6n

=n+n(n−1)

2 = n(n+1)

2 .

❏

2 Matrice d’une application linéaire relativement à deux bases

2.1 Définition de la matrice d’une famille de vecteurs dans une base (rappel)

On rappelle la définition de la matrice d’une famille finie (u₁, . . . , up) de vecteurs d’un K-espace E de dimension finie n ∈N^∗, dans une base B = (e₁, . . . , en) donnée de cette espace : MatB(u₁, . . . , up)est l’élément de M_n,p(K) dont le coefficient lignei, colonnej,(i, j)∈J1, nK×J1, pK, est lai-ème coordonnée deu_jdans la baseB.

Laj-ème colonne,16j6p, de M_n,p(K)est constituée des coordonnées du vecteur u_jdans la baseBet la i-ème ligne, 16i6n, de M_n,p(K)est constituée desi-èmes coordonnées des vecteursu₁, . . . ,updans la baseB.

On peut condenser les notations. Pouri∈J1, nK, on pose :