Chapitre 4-Les matrices

Ch.4 : Matrices (3 séances)

Mouanis Hakima

Faculté des sciences Dhar Mahraz Fès hmouanis@yahoo.fr www.mouanis.wordpress.com

Définition 1.1

Soit K− un corps commutatif (K = R ou C) .

On appelle matrice à n lignes et à m colonnes (m, n) ∈ (N∗)2,un tableau rectangulaire à n lignes et à m colonnes contenant des éléments de K et noté : A=      a11 a12 ... a1m a21 a22 ... a2m .. . ... ... ... an1 an2 ... anm      ou A=      a11 a12 ... a1m a21 a22 ... a2m .. . ... ... ... an1 an2 ... anm     

En notation abrégée, A s’écrit : A = (aij)1≤i≤n 1≤j≤m

.

L’ensemble des matrices à n lignes et à m colonnes sera désigné par :Mn,m(K).

Si m = n, la matrice est dite carrée d’ordre

(n = nombre de lignes = nombre de colonnes ) ,et l’ensemble est noté

Définition 1.2

1 _{Une matrice de type (n, m) est dite uniligne ( resp. unicolonne )}

lorsque n = 1 (resp m = 1). noté :Mn,m(K).

2 _{La matrice uniligne (a}

i1. . . aij. . . aim)est la i-ième ligne de la

matrice A. 3 _{La matrice unicolonne C} j=         a1j .. . aij .. . anj        

est appelée la j-ième

Exemple 1.1 In=         1 0 . . . 0 0 1 0 . . . 0 .. . . .. ... ... ... .. . . .. ... 0 0 . . . 0 1         | {z } Matrice identit«e Θ=         0 0 . . . 0 0 0 0 . . . 0 .. . . .. ... ... ... .. . . .. ... 0 0 . . . 0 0         | {z } Matrice nulle aIn=         a 0 . . . 0 0 a 0 . . . 0 .. . . .. ... ... ... .. . . .. ... 0 0 . . . 0 a         | {z } Matrice scalaire         a1 0 . . . 0 0 a2 0 . . . 0 .. . . .. ... ... ... .. . . .. ... 0 0 . . . 0 an         | {z } Matrice diagonale

Exemple 1.2         a11 a12 . . . a1n 0 a22 a23 . . . a2n .. . . .. ... ... ... .. . . .. ... a(n−1)n 0 . . . 0 ann         | {z }

Matrice triangulaire sup„erieure

        a11 0 . . . 0 a21 a22 0 . . . 0 .. . . .. ... . .. ... .. . . .. . .. 0 an1 . . . an(n−1) ann         | {z }

Définition 1.3

Deux matrices A = (aij) ∈ Mn,m(K) et B = (bij) ∈ Mp,q(K) sont dites

égales si, et seulement si

1 _{elles sont de même type, c’est à dire n = p et m = q,} 2 _{pour tout 1 ≤ i ≤ n et 1 ≤ j ≤ m, on a a}

Opérations sur les matrices

Définition 1.4

Soient A = (aij) ∈ Mn,m(K) et B = (bij) ∈ Mn,m(K) deux matrices de

même type (n, m). On appelle matrice somme de A et B la matrice A+ B = (cij)de type (n, m) avec cij= aij+ bij.

On ne peut pas faire la somme de deux matrices de type différents.

Définition 1.5

Soit A = (aij) ∈ Mn,m(K) et α ∈ K.

Opérations sur les matrices

Proposition 1.1

L’ensemble Mn,m(K), muni de l’addition et de la multiplication par un

scalaire est unK-espace vectoriel de dimension nm.

La famille               1 0 . . . 0 0 0 . . . 0 .. . . .. ... ... 0 . . . 0      ,      0 1 . . . 0 0 0 . . . 0 .. . . .. ... ... 0 . . . 0 0      , . . .      0 . . . 0 0 0 . . . 0 .. . . .. ... ... 0 . . . 0 1               .

Définition 1.6

Le produit d’une matrice uniligne (a11. . . a1j. . . a1m)de type (1, m)

par une matrice unicolonne

        b11 .. . bi1 .. . bm1        

de type (m, 1) est défini par :

(a11. . . a1j. . . a1m) ·         b11 .. . bi1 .. . bm1         = (a11b11+ · · · + a1ibi1+ · · · + a1mbm1).

Définition 1.7

Produit d’une matrice A = (aij)de type (n, m) par une matrice

B= (bkl)de type (m, p) est la matrice C(cts), de type (n, p), définie par

A· B = (cts)1≤t≤n 1≤s≤p , avec cts= m X k=1 atkbks.

Remarques 1.1

1 _{Le produit BA de deux matrices n’est défini que si le nombre de}

colonnes de B est égal aux nombres de lignes de A.

2 _{Le produit n’est pas commutatif, car si BA est défini, AB ne l’est}

pas en général.

3 _{Cas particulier : Si A et B sont des matrices carrées d’ordre n, le}

produit AB est toujours défini, ainsi que BA, mais ces deux matrices ne sont pas égales en général comme le montre l’exemple suivant : A=  1 0 1 1  et B=  0 1 0 0  Alors : AB =  0 1 0 1  et BA=  1 1 0 0  .

Remarques 1.2

1 _{Si B et B}0 _{sont des matrices de M}

np(K) , A et A 0 des matrices de Mpm(K) , alors :  B+ B0A= BA + B0Aet BA+ A0= BA + BA0 2 _{Si C ∈ M} nm(K) , B ∈ Mmp(K) , et A ∈ Mpq(K) , alors : a. C(BA) = (CB) A.

Matrice d’une application linéaire

Notation

Soient E un K espace vectoriel non nul de dimension fini n et B= {e1, e2..., en} une base de E.

Soit a = a1e1+ a2e2+ ... + anenun vecteur de E (c’est à dire (a1, ..., an)

sont les composantes de a dans la base B). On note

I] (a)Ble vecteur (a1, a2, ..., an) ∈ Kn

II] [a]Bla matrice colonne

     a1 a2 .. . an     

Exemple :

Soit E = R2[X]et B = (1 + X, X + X2, 2 + X2)

1 _{Vérifier que B est une base de E.} 2 _{Soit P = a}

0+ a1X+ a2X2∈ E. Calculer (P)Bet [P]B.

Définition 2.1

Soient f une application linéaire d’un K-espace vectoriel E dans un K-espace vectoriel F,tous deux de dimensions finies;

B= {e1, . . . , en} une base de F et S = {ε1, . . . , εm} une base de E.

On appellematrice de f dans les bases B, Sla matrice de colonnes [f (ε1)]B, [f (ε2)]B, ..., [f (εm)]B. c’est à dire : M(f , B, S) =    [f (ε1)]B . . . [f (εi)]B . . . [f (εm)]B a11 . . . a1i . . . a1m .. . ... ... ... ... an1 . . . ami . . . anm   

avec f (εi) = a1ie1+ · · · + anien. Autrement dit [f (εi)]B =      a1i a2i .. . ani     

Proposition 2.1

Soient f une application linéaire d’un K-espace vectoriel E dans un K-espace vectoriel F,tous deux de dimensions finies;

B= {e1, . . . , en} une base de F et S = {ε1, . . . , εm} une base de E.

L’application :

ϕ : L (E, F) −→ Mnm(K)

f 7−→ ϕ (f ) = M(f , B, S) est bijective.

Preuve. ϕ est injective, en effet : Soit (f , g) ∈ (L (E, F))2 : ϕ (f ) = ϕ (g) ,alors M (f , B, S) = M (g, B, S) , d’où

(∀j ∈ {1, 2, ..., m}) f (ej) = g (ej), donc f = g.

ϕestsurjective, en effet : Soit A ∈ M(K) de terme général aij.Alors,

on considère l’application linéaire f de E dans F définie par : (∀j ∈ {1, 2, ..., m}) f (εj) =

n

X

i=1

Proposition 2.2

Soient E et F deux espaces vectoriels de dimensions finis ; S une base de E et B une base de F. Soient f et g deux applications de E dans F . Alors

1 _{M(f + g, B, S) = M(f , B, S) + M(g, B, S)} 2 _{Pour tout λ ∈ K, M(λf , B, S) = λM(f , B, S)}

Proposition 2.3

Soient E, F et G des espaces vectoriels de dimensions finis ; S une base de E, B une base de F et C une base de G. Soient f une application de E dans F et G une application de F dans G. Alors,

M(gof , C, S) = M(g, C, B)M(f , B, S) Preuve.Posons f (εi) = n X j=1 ajiejet g(ei) = s X k=1 bkjdkavec

S= {ε1, .., εm} une base de E, B = {e1, .., en} une base de F

et C = {d1, .., ds} une base de G. Alors,

gof(εi) = s X k=1 ( n X j=1 bkjaji)dk

Proposition 2.4

Soit u ∈ L (E, F) où E et F sont deux K−espaces vectoriels de dimension finie de bases respectives S et B. Si M = M(u, B, S),

[x]_S= X =      x1 x2 .. . xm     

sont les composantes d’un x ∈ E dans la base S

et [u (x)]_B= Y =      y1 y2 .. . yn     

sont les composantes de u(x) dans la base

B,alors

Preuve. Soient S = (ε1, ε2, ..., εm)une base de E et B = (e1, e2, ..., en)

une base de F. Soit M = (aij)1≤i≤n 1≤j≤m . Soit x = m X j=1 xjεjde E,, alors u(x) = m X j=1 xju(εj) = m X j=1 xj n X i=1 aijei ! = n X i=1   m X j=1 aijxj  ei. On a [x]S= X =      x1 x2 .. . xm      et [u (x)]_B= Y =      y1 y2 .. . yn     

Suite de la preuve

Donc Y =               m X j=1 a1jxj m X j=1 a2jxj .. . m X j=1 anjxj               D’où      y1 y2 .. . yn      =      a11 a12 ... a1m a21 a22 ... a2m .. . ... ... ... an1 an2 ... anm      .      x1 x2 .. . xm      .

Proposition 2.5

Soient E et F deux K-espaces avec

1 _{dimension de E c’est m, S = {ε} 1, .., εm} et S 0 = {ε0₁, .., ε0_m} sont deux bases de E. 2 _{dimension de F c’est n, B = {e} 1, .., en} et B 0 = {e0₁, .., e0_n}sont deux bases de F.

3 _M ∈ M_{n,m(K) et u, u}0 ∈ L(E, F) tels que

M = M(u, B, S) = M(u0, B0, S0) Alors

Preuve.On considère l’application linéaire h : F −→ F définie par :

(∀i ∈ {1, 2, ..., n}) h (ei) = e

0

i.

Alors, h est un isomorphisme de F ( car l’image de la base B par h est la base B0). D’autre part, on a ∀j ∈ {1, 2, ..., m}) , u (εj) = n X i=1 aijei=⇒ h (u (εj)) = n X i=1 aije 0 i = u 0 ε0_j.

ce qui montre que hou(E) = u0(E). Posons, h0 = h |u(E), alors

h0 : u(E) −→ u0(E)est surjective par construction et injective car h l’est aussi, donc c’est un isomorphisme. Donc, puisque dim(u(E)) et dim(u0(E))sont finis, on trouve

dim(u(E)) = dim(u0(E)) ce qui montre que rg(u) = rg(u0).

Définition 2.2

Soit M ∈ Mnm(K). On appelle le rang de M, qu on note par rg(M), le

rang de l’application linéaire associée à M pour des bases quelconques de E et F, avec E et F deux K-espaces vectoriels quelconques de dimensions finis respectivement m et n

Propriété 2.1

Soit M ∈ Mnm(K).

Rang d’une matrice

Proposition 2.6

Soit M = (aij) ∈ Mn,m(K).

Pour tout i = 1, . . . , m, on pose Ci= (a1i. . . ani)les vecteurs colonnes

de M

Le rang de Mest égale à la dimension du sous espace de Km

engendré par les vecteurs colonnes C1, . . . , Cmde M

qu’est aussi le rang de la famille des vecteurs {C1, . . . , Cm}.

rg(M) = rg(C1, . . . , Cm)

.

Preuve.D’après la démonstration de la proposition 3.5, on a

Définition 3.1

Soit A une matrice à n lignes et à m colonnes, de terme général aij.

La matrice transposée de A, notéet_{A est la matrice à m lignes et à n}

colonnes, de terme général bijdéfini par :

bij= aji autrement dit si : A=      a11 a12 ... a1m a21 a22 ... a2m .. . ... ... ... an1 an2 ... anm      alors tA=      a11 a21 ... an1 a12 a22 ... an2 .. . ... ... ... a1m a2m ... anm     

(les lignes deviennent des colonnes et les colonnes deviennent des lignes).

Exemple 3.1 Si A=  a11 a12 a13 a21 a22 a23  alors tA=   a11 a21 a12 a22 a13 a23   Proposition 3.1

Si A et B sont deux matrices, alors :

1 t₍t_{(A)) = A.}

2 t_{(A + B) =} t_A+ t_B.

3 _{Pour tout λ ∈ K}t_{(λ.A) = λ.}t_A.

Définitions 3.1

Soit A ∈ Mn(K) .

1 _{Aest dite symétrique si, et seulement si,}t_{A= Ac’est à dire}

∀ (i, j) ∈ ({1, 2, ..., n})2aij= aji.

2 _{Aest dite antisymétrique si, et seulement si,}t_{A= −Ac’est à dire}

∀ (i, j) ∈ ({1, 2, ..., n})2aij= −aji.

Si A est antisymétrique, alors ∀i ∈ {1, 2, ..., n} aii= 0; qui est aussi vrai

pour tout corps de caractéristique différente de 2.

Définitions 3.2

On désigne par Snl’ensemble des matrices symétriques d’ordre n et

Proposition 3.2

Soit A une matrice. Alors

rg(A) = rg(tA)

Corollaire 3.1

Soit A ∈ Mnm, avec L1, .., Lnses lignes et C1, .., Cmses colonnes.

Alors

Définition 4.1

Soit A une matrice carrée d’ordre n, la matrice A est inversible si, et seulement si , il existe B une matrice carrée d’ordre n telle que :

A.B = B.A = In

où Inest la matrice carrée unité d’ordre n, dont tous les éléments sont

nuls sauf ceux de la diagonale principale qui sont égaux à 1.

In =      1 0 0 ... 0 0 1 0 ... 0 .. . ... ... ... ... 0 0 ... 0 1     

.La matrice B est notée A−1_{et s’appelle}

Exercice 4.1

Soit A une matrice carrée d’ordre n vérifiant l’équation A3_{+ 3A − 2I}

n= 0n.

Proposition 4.1

Si A et B sont deux matrices inversibles de Mn(K) alors

(A.B)−1= B−1.A−1.

Proposition 4.2

L’ensemble des matrices inversibles de Mn(K) est un groupe non

Proposition 4.3

Soit A une matrice A de Mn(K) . Les assertions suivantes sont

équivalentes :

1 _{Aest inversible,} 2 _{il existe A}0∈ M

n(K) tel que AA0= In,

Preuve. 1) ⇒ 2) : évident.

2) ⇒ 3) : Soit A, A0 deux matrices carrées d’ordre n tel que AA0 _{= I} n.

Si E est un espace vectoriel de dimension n de base B= (e1, e2, ...en, ).

Alors, la matrice A est associée à un endomorphisme u de E , et A0 est associée à un endomorphisme v de E, et on a : A.A0= In,

et puisque l’application associée à A.A0est uov et l’application associée à Inest idEalors u ◦ v == idE,

ce qui montre que u est injective donc un isomorphisme et par suite rg(u) = dim E = rg(A)

3) ⇒ 1) : Si rg(A) = n alors rg(u) = n = dim E, ce qui est équivalent à dire que u est un isomorphisme. Soit B la matrice associée à u−1

alors A.B est associée à uou−1_{, et B.A est associée à u}−1_oudonc

Définition 4.2

Une matrice A ∈ Mnm(K) est dite échelonnée si, et seulement si,

1 _{Toute ligne nulle n’est suivie que de lignes nulles.}

2 _{L’indice de colonne du premier terme non nul de toute ligne non}

nulle est supérieur à l’indice de colonne du premier terme non nul de la ligne qui la précède.

Exemples 4.1

Les deux matrices suivantes sont échelonnées :

1 A=     1 3 −1 0 0 0 2 1 4 1 0 0 0 4 −3 0 0 0 0 2     2 B=       1 1 −1 0 0 0 0 1 4 1 0 0 0 0 −3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0      

Matrice échelonnée réduite canonique

Définition 4.3

Une matrice A ∈ Mn,m(IK)est dite à lignes échelonnées réduite et on

note m.l.e.r si

1 _{A est m.l.e.}

2 _{Le premier élément non nul de toute ligne (Le pivot) est égal à 1.}

Définition 4.4

Une matrice A ∈ Mn,m(IK)est dite à lignes échelonnées réduite

canonique et on note m.l.e.r.c si

1 _{A est m.l.e.r}

Matrice échelonnée réduite canonique

Exemple A=   1 0 0 0 1 0 0 0 1  

Matrice échelonnée réduite canonique B=     0 1 −3 0 0 2 0 0 1 0 0 0    

Matrice échelonnée réduite canonique

Exemple C=     1 0 0 0 1 2 0 0 1 0 0 0    

Matrice échelonnée réduite mais elle n’est pas échelonnée réduite canonique D=   1 0 6 0 1 3 0 0 0  

Proposition 4.4

Le rang d’une matrice échelonnée égale au nombre de ses lignes non nuls

Preuve. Dans une matrice échelonnée les lignes formes un système

libre. Exemple Le rang de       1 3 −1 0 0 0 2 1 4 1 0 0 0 4 −3 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0       égale à 4

1 _{Permutation Lijou Li}↔ Lj

Soit A une matrice, en permutant la ligne Lide A avec la ligne Lj

de A on obtient une nouvelle matrice dite équivalente à A. Cette opération est notée Lijou Li↔ Lj

2 _{l’opération : Li}→

n P t=1

αt· Lt, avec αi6= 0.

Cette opération consiste à remplacer la ligne Lide A par n

P

t=1

αt· Lt. La matrice qu’on trouve par cette opération est dite équivalente à A.

ces opérations sont appeléesopérations élémentaires sur A (ou bien transformations élémentaires de Gauss)

Proposition 5.1

1 _{Soit A}0 _{une matrice obtenu à partir de A par des transformations}

élémentaires. Alors, rang(A0) = rang(A)

2 _{Soient B et C deux formes échelonnées d’une matrice A. Alors}

rang(B) = rang(C) = rang(A).

Preuve. 1) Posons L1, L2, ..Ln les lignes de A et A1une matrices

obtenue apartir de A en remplaçons la ligne Lipar

L0i= αLi+ n

P

t=1

αt· Lt, avec αi6= 0 alors

rang(A) = dim(vect(L1, .., Li, .., Ln)) = dim(vect(L1, .., L

0

i, .., Ln) = rang(A

0 ) Par le même raisonnement, le rang ne change pas si on applique des permutations ou d’autres opérations élémentaires.

Conséquence 5.1

Le rang d’une matrice A est égale au rang d’une forme échelonnée de A.

App : Matrice inversible

Méthode de calcule

1 _{Calcule du rang d’une Matrice:}

Calculer le rang de la matrice A =     2 3 −1 0 0 0 2 1 4 1 1 0 0 4 −3 2 −1 1 2 2     .

2 _{Calcule de l’inverse d’une matrice:}

Montrer que la matrice B =   2 3 −1 0 2 1 1 0 0  est inversible et calculer son inverse.

La forme matricielle

Définition 6.1 Soit Σ le système Σ :          a11x1 + a12x2 + . . . a1pxp = b1 a21x1 + a22x2 + . . . a2pxp = b2 .. . ... ... ... an1x1 + an2x2 + . . . anpxp = bn

où x1, . . . , xpsont les inconnus et les nombres aijsont les coefficients

du système.

Σpeut aussi s’écrire sousla forme matricielle: AX = b avec

A=      a11 . . . a1p a21 . . . a2p .. . ... ... an1 . . . anp      , X =      x1 x2 .. . xp      et b =      b1 b2 .. . bn     

1 _{Aest appelé la matrice associer au système Σ.} 2 _{la matrice élargie (A|b) ∈ M}

Théorème 6.1

Soient Σ le système d’équations linéaires de matrice élargie (A|b) et Σ0 le système d’équations linéaires de matrice élargie (A0_|b0_).

Si (A|b) est équivalentes à (A0_|b0_{)par les transformations de Gauss}

alors Σ est équivalent à Σ0_.

Corollaire 6.1

Soient Σ et Σ0deux systèmes d’équations linéaireshomogènees de

matrices A et A0. Alors

Théorème 6.2

Soit Σ un sysème de matrice élargie (A|b) =      a11 . . . a1p b1 a21 . . . a2p b2 .. . ... ... an1 . . . anp bn      .

1 _{Si rg A < rg (A|b) alors le système n’admet pas de solution.} 2 _{Si rg A = rg (A|b) = le nombre des inconnus = p alors le}

système admetune solution unique.

3 _{Si rg A = rg (A|b) < le nombre des inconnus = p alors le}

Système de Cramer

Définition 6.2

Soit Σ un système à n équations linéaires et à n inconnues.

Si Σ admetune solution et une seuleon dit que c’estun système de Cramer.

Système de Cramer

Théorème 6.3

Soit Σ un système de n équations et n inconnues et de matrice

élargie (A|b) où b =      b1 b2 .. . bn      .

Σest un système de Cramer si et seulement si A est inversible et dans ce cas si (x1, ..., xn)est la solution de Σ alors

     x1 x2 .. . xn      = A−1      b1 b2 .. . bn     

Exemples

Exemple 6.1

Résoudre les systèmes suivants Σ    x+ 3y − z = 9 3x − y + z = −1 −2x + y − 3z = 6 L    x+ 3y − z = 9 3x + 9y − 3z = −1 −2x + y − 3z = 6 L0    x+ 3y − z = 9 3x + 9y − 3z = 27 −2x + y − 5z = 10

Exemple 6.2

Résoudre le système suivant :    mx + y + mz = 2m x + my + mz = 2 mx + y − mz = 0

Matrices équivalentes et matrices semblables

Définitions 7.1

1 _{Deux matrices A et B de M}

nm(K) sont dites équivalentes s’il

existe deux matrices carrées inversibles P et Q telles que B= P.A.Q;

Pest une matrice carrée d’ordre n et Q étant une matrice carrée d’ordre m;

2 _{Deux matrices A et B M}

n(K) sont dites semblables s’il existe

Proposition 7.1

Soient E un espace vectoriel de dimension n de base B= (e1, e2, ..., en) , uune application linéaire de E dans E et

M= M(u, B)la matrice associée à u relativement à la base B. Pour tout i ∈ {1, 2, ..., n} posons B0 = {e0₁, .., e0_n} avec e0_i = u (ei) .Alors, les

propriétés suivantes sont équivalentes :

1 _{La famille B}0 _{= (e}0

i)1≤i≤nforme une base de E,

2 _{rg(u) = n,}

3 _{uest un isomorphisme,} 4 _{rg(M) = n,}

5 _{M est inversible,} 6 _{u(E) = E.}

Définition 7.1

En adoptant les notations de la proposition précédente. Si la famille B0 forme une base de E alors M(u, B) est appelée la matrice de passage de B à B0 et on la note P_BB0 ou P(B, B

0 )

Propriété 7.1

Soient E un espace vectoriel de dimension n, B = (ei)1≤i≤net

B0 = (e0_i)1≤i≤ndeux bases de E et PBB0 la matrice de passage de B à

B0. Alors 1 P_BB0 =   [e0₁]B [e 0 2]B . . . [e 0 n]B . . . . . . . . . . . .   2 _P BB0 = M(idE, B, B 0 ) 3 _P BB0 est inversible et (PBB0) −1_{= P} B0B la matrice de passage de B 0 à B

Exercice

II]

1 _{Vérifier que S = {ε}

1= (1, 0, 1), ε2= (1, 1, 0), ε3= (0, 0, 1)} est

une base de R3_.

2 _{Donner PBSla matrice de passage de la base canonique de R}3_à

la base S.

3 _{Calculer P}

SBla matrice de passage de la base S à la base

canonique B = {e1= (1, 0, 0), e2= (0, 1, 0), e3= (0, 0, 1)}. II]Soit B = {1, X} la base canonique de R1[X]et B

0

= {2X + 1, X + 1} une famille de polynôme de R1[X].

1 _{Montrer que B}0 _{est une base de R1[X].} 2 _{Calculer P}

Théorème 7.1

Soient E un K-espace vectoriel de dimension fini n , B et B0 deux

bases de E. Soient v ∈ E tel que [v]B=

     x1 x2 .. . xn      et [v]_B0 =      x0₁ x0₂ .. . x0_n      et

P_BB0 = (a_ij)est la matrice de passage de B à B0. Alors, [v]B = PBB0[v]B0 c 0_{est dire}    x1 .. . xn    | {z }

coordonn´ees de v dans B =    a11 . . . ann .. . ... ... an1 . . . ann    | {z } matrice de passage ·    x0₁ .. . x0_n    | {z }

Preuve. On a PBB0 = M(id_E, B, B0). Soit v = n X i=1 xiei= n X i=1 x0_ie0_i, On a : [v]B = [idE(v)]Bd’où [v]B= PBB0.[v]B0,et alors

[v]B0 = (P_BB0)−1.[v]_B= P

B0B.[v]B

Théorème 7.2

Soient E et F deux K-espaces vectoriels de dimensions finies, B, B0 deux bases de F, S, S0 deux bases de E, f une application linéaire de Edans F,

M(f , B0, S0)la matrice de f dans les bases B0 et S0, M(f , B, S)la matrice de f dans les bases B et S, Q= P_BB0 la matrice de passage de B à B 0 et P = P_SS0 la matrice de passage de S à S0. On a alors M(f , B0, S0) = P−1 BB0 M(f , B, S) PSS0 = Q −1_{M(f , B, S) P} (E, S) →f (F, B) P↓ ↓ Q (E, S0) →f (F, B0)

Preuve. Soient X = [x]S=      x1 x2 .. . xn      et X0 = [x]S0 =      x0₁ x0₂ .. . x0_n      les

composantes dans S et S’ respectivement d’un vecteur x de E,

Y= [u (x)]_B = M.X =      y1 y2 .. . yn      et Y0 = [u(x)]_B0 = M 0 .X0 =      y0₁ y0₂ .. . y0n      les

composantes de son image dans B et B0 respectivement, avec M= M(u, B, S)et M0 = M(u, B0, S0)Alors :

Suite de le preuve

     X= P_SS0 1X 0 Y = P_BB0Y 0 Y = M.X =⇒ P_BB0Y 0 = M.P_SS0X 0 =⇒ Y0 = P−1 BB0M.PSS0X 0 . Or Y0 = M0.X0,donc M0 = P−1_BB0.M.PSS0.

Effet de changement de base sur la matrice d’une

application linéaire

Cas particulier Lorsque E = F, B = S et B0= S0 on a P_SS0 = P BB0 = Pet M(f , B0) = P−1M(f , B) P.