Matrices
Herv ´e Hocquard
Universit ´e de Bordeaux, France
28 ao ˆut 2019
D ´efinitions
Matrice
On appelle matrice de taillen×p `a coefficients dansR(K=R ouC) toute familleAdenp ´el ´ements deRpr ´esent ´ee sous la forme d’un tableau
a11 a12 . . . a1p
a21 a22 . . . a2p
... . .. ...
an1 an2 . . . anp
not ´eA= (aij)1≤i≤n
1≤j≤p o `u aij∈R(ouC...on se limitera aux matrices `a coefficients r ´eels).
Pour tout(i,j)∈J1,nK×J1,pK, le scalaireaij est appel ´e
coefficient deAde position(i,j), la matrice
a1j a2j ... anj
est appel ´ee
la j`emecolonne deAet la matrice ai1 ai2 . . . aip
sa i`eme ligne.
D ´efinitions
L’ensemble des matrices de taillen×p `a coefficients dans Rest not ´eMn,p(R).
Lorsquen=p, on dit queAest carr ´ee et la famille (a11,a22, . . . ,ann)est appel ´ee diagonale deA. L’ensemble des matrices carr ´ees de taillen×n(oun) `a coefficients dansRest not ´eMn(R).
Pourp=1, on parle de matrices colonnes de taillen.
Pourn=1, on parle de matrices lignes de taillep.
Matrices
Remarque
Une matrice de taillen×p `a coefficients dansRn’est rien de plus qu’un ´el ´ement deRnp,i.e.une famille denp ´el ´ements de R, mais qu’on pr ´ef `ere ´ecrire sous la forme d’un tableau `an lignes etpcolonnes. Ainsi, en r ´ealit ´e :
Mn,p(R) =Rnp
Question
Pourquoi introduire les matrices dans ce cas ?
Matrices
Remarque
Une matrice de taillen×p `a coefficients dansRn’est rien de plus qu’un ´el ´ement deRnp,i.e.une famille denp ´el ´ements de R, mais qu’on pr ´ef `ere ´ecrire sous la forme d’un tableau `an lignes etpcolonnes. Ainsi, en r ´ealit ´e :
Mn,p(R) =Rnp Question
Pourquoi introduire les matrices dans ce cas ?
Structure d’espace vectoriel
R ´eponse
Nous allons introduire une loi interne de produit sur les matrices...et vous verrez qu’il est plus pratique d’ ´ecrire les matrices comme des tableaux et non comme des familles.
D ´efinition
Muni de la structure vectorielle naturelle deRnp ,Mn,p(R)est unR-espace vectoriel de dimensionnp.
Pour tousA,B∈Mn,p(R)etλ,µ∈R:
λA+µB=
λa11+µb11 λa12+µb12 . . . λa1p+µb1p λa21+µb21 λa22+µb22 . . . λa2p+µb2p
... ... ...
λan1+µbn1 λan2+µbn2 . . . λanp+µbnp
Structure d’espace vectoriel
R ´eponse
Nous allons introduire une loi interne de produit sur les matrices...et vous verrez qu’il est plus pratique d’ ´ecrire les matrices comme des tableaux et non comme des familles.
D ´efinition
Muni de la structure vectorielle naturelle deRnp ,Mn,p(R)est unR-espace vectoriel de dimensionnp.
Pour tousA,B∈Mn,p(R)etλ,µ∈R:
λA+µB=
λa11+µb11 λa12+µb12 . . . λa1p+µb1p λa21+µb21 λa22+µb22 . . . λa2p+µb2p
... ... ...
λan1+µbn1 λan2+µbn2 . . . λanp+µbnp
Matrice ´el ´ementaire
D ´efinition et propri ´et ´es
Une matrice ´el ´ementaire deMn,p(R)est une matrice dont tous les coefficients sont nuls sauf un qui vaut 1. Il y a doncnpmatrices ´el ´ementaires dansMn,p(R).
On note pour tout(i,j)∈J1,nK×J1,pK,Ei,j la matrice
´el ´ementaire dont le coefficient de position(i,j)est ´egal `a 1 et dont tous les autres sont nuls.
Alors(Ei,j)1≤i≤n
1≤j≤p
est une base deMn,p(R), appel ´ee sa base canonique.
Matrice ´el ´ementaire
D ´efinition et propri ´et ´es
Une matrice ´el ´ementaire deMn,p(R)est une matrice dont tous les coefficients sont nuls sauf un qui vaut 1. Il y a doncnpmatrices ´el ´ementaires dansMn,p(R).
On note pour tout(i,j)∈J1,nK×J1,pK,Ei,j la matrice
´el ´ementaire dont le coefficient de position(i,j)est ´egal `a 1 et dont tous les autres sont nuls.
Alors(Ei,j)1≤i≤n
1≤j≤p
est une base deMn,p(R), appel ´ee sa base canonique.
Transposition
D ´efinition
SoitA∈Mn,p(R). On appelle transpos ´ee deAla matrice (aji)1≤i≤p
1≤j≤n
deMn,p(R), not ´eetA.
Exemples
t
3 0 1 5 2 7
=
3 5 0 2 1 7
et
t
λ1
... λn
= λ1 . . . λn
Transposition
D ´efinition
SoitA∈Mn,p(R). On appelle transpos ´ee deAla matrice (aji)1≤i≤p
1≤j≤n
deMn,p(R), not ´eetA.
Exemples
t
3 0 1 5 2 7
=
3 5 0 2 1 7
et
t
λ1
... λn
= λ1 . . . λn
Transposition
D ´efinition
SoitA∈Mn,p(R). On appelle transpos ´ee deAla matrice (aji)1≤i≤p
1≤j≤n deMn,p(R), not ´eetA.
Exemples
t
3 0 1 5 2 7
=
3 5 0 2 1 7
et
t
λ1
... λn
= λ1 . . . λn
Remarque
La transposition ´echange les lignes et les colonnes. Int ´er ˆet de la manœuvre : montrer que certains r ´esultats th ´eoriques sur les colonnes sont valables sur les lignes, et r ´eciproquement.
Transposition
D ´efinition
SoitA∈Mn,p(R). On appelle transpos ´ee deAla matrice (aji)1≤i≤p
1≤j≤n deMn,p(R), not ´eetA.
Exemples
t
3 0 1 5 2 7
=
3 5 0 2 1 7
et
t
λ1
... λn
= λ1 . . . λn
Remarque
La transposition ´echange le nombre de colonnes et le nombre de lignes : la transpos ´ee d’une matrice de taillen×pest donc une matrice de taillep×n. Chose int ´eressante : la transpos ´ee d’une matrice carr ´ee est une matrice carr ´ee de m ˆeme taille.
Transposition
Propri ´et ´es de la transposition
Lin ´earit ´e: SoientA,B∈Mn,p(R)etλ,µ∈R.
t(λA+µB) =λtA+µtB
Involutivit ´e: SoitA∈Mn,p(R).
t(tA) =A
Transposition
Propri ´et ´es de la transposition
Lin ´earit ´e: SoientA,B∈Mn,p(R)etλ,µ∈R.
t(λA+µB) =λtA+µtB
Involutivit ´e: SoitA∈Mn,p(R).
t(tA) =A
Trace d’une matrice carr ´ee
D ´efinition
SoitA∈Mn(R), on appelle trace deAle scalaire not ´etr(A)et d ´efini par :
tr(A) =
n
∑
i=1
aii
c’est donc la somme des coefficients diagonaux.
Th ´eor `eme
La trace est une forme lin ´eaire non nulle surMn(R).
Trace d’une matrice carr ´ee
D ´efinition
SoitA∈Mn(R), on appelle trace deAle scalaire not ´etr(A)et d ´efini par :
tr(A) =
n
∑
i=1
aii
c’est donc la somme des coefficients diagonaux.
Th ´eor `eme
La trace est une forme lin ´eaire non nulle surMn(R).
Matrices particuli `eres
Matrice nulle: la matrice nulle `anlignes etpcolonnes est la matrice deMn,p(R)dont tous les coefficients sont nuls, celle-ci est not ´eeOn,p. Lorsquep=n, la matriceOn,nest not ´ee simplementOn.
Matrice unit ´e ou identit ´e: la matrice identit ´e deMn(R) est la matrice de taillen, not ´eeIn, dont tous les coefficients diagonaux sont ´egaux `a 1 et les autres (coefficients
extra-diagonaux) sont tous nuls. I3=
1 0 0 0 1 0 0 0 1
est la matrice unit ´e deM3(R).
Matrices particuli `eres
Matrice nulle: la matrice nulle `anlignes etpcolonnes est la matrice deMn,p(R)dont tous les coefficients sont nuls, celle-ci est not ´eeOn,p. Lorsquep=n, la matriceOn,nest not ´ee simplementOn.
Matrice unit ´e ou identit ´e: la matrice identit ´e deMn(R) est la matrice de taillen, not ´eeIn, dont tous les coefficients diagonaux sont ´egaux `a 1 et les autres (coefficients
extra-diagonaux) sont tous nuls.
I3=
1 0 0 0 1 0 0 0 1
est la matrice unit ´e deM3(R).
Matrices particuli `eres
Matrice triangulaire sup ´erieure: c’est une matrice carr ´ee dont tous les coefficients situ ´es sous la diagonale
principale sont nuls.
A=
1 7 6 0 2 2 0 0 3
Matrice triangulaire inf ´erieure: c’est une matrice carr ´ee dont tous les coefficients situ ´es au-dessus de la diagonale principale sont nuls.
B=
1 0 0 4 2 0 6 7 3
Matrices particuli `eres
Matrice triangulaire sup ´erieure: c’est une matrice carr ´ee dont tous les coefficients situ ´es sous la diagonale
principale sont nuls.
A=
1 7 6 0 2 2 0 0 3
Matrice triangulaire inf ´erieure: c’est une matrice carr ´ee dont tous les coefficients situ ´es au-dessus de la diagonale principale sont nuls.
B=
1 0 0 4 2 0 6 7 3
Matrices particuli `eres
Matrice sym ´etrique: c’est une matrice ´egale `a sa
transpos ´ee (elle est donc n ´ecessairement carr ´ee) :A=tA.
A=
1 7 6
7 2 −2
6 −2 3
Matrice antisym ´etrique: c’est une matrice ´egale `a l’oppos ´e de sa transpos ´ee (elle est donc n ´ecessairement carr ´ee) :A=−tA.
A=
0 7 6
−7 0 2
−6 −2 0
La trace d’une matrice antisym ´etrique est ´egale `a 0.
Matrices particuli `eres
Matrice sym ´etrique: c’est une matrice ´egale `a sa
transpos ´ee (elle est donc n ´ecessairement carr ´ee) :A=tA.
A=
1 7 6
7 2 −2
6 −2 3
Matrice antisym ´etrique: c’est une matrice ´egale `a l’oppos ´e de sa transpos ´ee (elle est donc n ´ecessairement carr ´ee) :A=−tA.
A=
0 7 6
−7 0 2
−6 −2 0
La trace d’une matrice antisym ´etrique est ´egale `a 0.
Matrices particuli `eres
Matrice sym ´etrique: c’est une matrice ´egale `a sa
transpos ´ee (elle est donc n ´ecessairement carr ´ee) :A=tA.
A=
1 7 6
7 2 −2
6 −2 3
Matrice antisym ´etrique: c’est une matrice ´egale `a l’oppos ´e de sa transpos ´ee (elle est donc n ´ecessairement carr ´ee) :A=−tA.
A=
0 7 6
−7 0 2
−6 −2 0
La trace d’une matrice antisym ´etrique est ´egale `a 0.
Matrices particuli `eres
Matrice sym ´etrique: c’est une matrice ´egale `a sa
transpos ´ee (elle est donc n ´ecessairement carr ´ee) :A=tA.
A=
1 7 6
7 2 −2
6 −2 3
Matrice antisym ´etrique: c’est une matrice ´egale `a l’oppos ´e de sa transpos ´ee (elle est donc n ´ecessairement carr ´ee) :A=−tA.
A=
0 7 6
−7 0 2
−6 −2 0
La trace d’une matrice antisym ´etrique est ´egale `a 0.
Matrices particuli `eres
Matrice sym ´etrique: c’est une matrice ´egale `a sa
transpos ´ee (elle est donc n ´ecessairement carr ´ee) :A=tA.
A=
1 7 6
7 2 −2
6 −2 3
Matrice antisym ´etrique: c’est une matrice ´egale `a l’oppos ´e de sa transpos ´ee (elle est donc n ´ecessairement carr ´ee) :A=−tA.
A=
0 7 6
−7 0 2
−6 −2 0
La trace d’une matrice antisym ´etrique est ´egale `a 0.
Produit matriciel
D ´efinition
SoientA∈Mp,q(R)etB∈Mq,r(R). Par d ´efinition, le produit de AparB, not ´eA×B ouAB, est la matrice
q
∑
k=1
aikbkj
!
1≤i≤p 1≤j≤r
de taillep×r.
Produit matriciel
Remarques
Le produitA×Bn’est possible que si le nombre de colonnes deAest ´egal au nombre de lignes deB. Le r ´esultat a alors autant de lignes queAet autant de colonnes queB.
En g ´en ´eralA×B6=B×A(le produit n’est pas commutatif), il se peut queA×B soit d ´efini, mais pasB×A.
Un produit de matrices peut ˆetre nul sans qu’aucune de ces matrices soit nulle.
0 1 0 0
1 1 0 0
= 0 0
0 0
Produit matriciel
Remarques
Le produitA×Bn’est possible que si le nombre de colonnes deAest ´egal au nombre de lignes deB. Le r ´esultat a alors autant de lignes queAet autant de colonnes queB.
En g ´en ´eralA×B6=B×A(le produit n’est pas commutatif), il se peut queA×Bsoit d ´efini, mais pasB×A.
Un produit de matrices peut ˆetre nul sans qu’aucune de ces matrices soit nulle.
0 1 0 0
1 1 0 0
= 0 0
0 0
Produit matriciel
Remarques
Le produitA×Bn’est possible que si le nombre de colonnes deAest ´egal au nombre de lignes deB. Le r ´esultat a alors autant de lignes queAet autant de colonnes queB.
En g ´en ´eralA×B6=B×A(le produit n’est pas commutatif), il se peut queA×Bsoit d ´efini, mais pasB×A.
Un produit de matrices peut ˆetre nul sans qu’aucune de ces matrices soit nulle.
0 1 0 0
1 1 0 0
= 0 0
0 0
Produit matriciel
Remarques
Le produitA×Bn’est possible que si le nombre de colonnes deAest ´egal au nombre de lignes deB. Le r ´esultat a alors autant de lignes queAet autant de colonnes queB.
En g ´en ´eralA×B6=B×A(le produit n’est pas commutatif), il se peut queA×Bsoit d ´efini, mais pasB×A.
Un produit de matrices peut ˆetre nul sans qu’aucune de ces matrices soit nulle.
0 1 0 0
1 1 0 0
= 0 0
0 0
Exemples
Exercice
1 −1 3
0 1
−1 2
2 1
=
1 2 3
1 −1 3
=
1 −1 2
1 2 3
=
1 2
−2 1
0 1 1
−1 0 1
=
Exemples
Exercice
1 −1 3
0 1
−1 2
2 1
= 7 2
1 2 3
1 −1 3
=
1 −1 3
2 −2 6
3 −3 9
1 −1 2
1 2 3
= 5 1 2
−2 1
0 1 1
−1 0 1
=
−2 1 3
−1 −2 −1
Exemples
Exercice
1 2
−2 1
0 1
−1 2
0 1
=
0 1
−1 2
0 1
1 2
−2 1
=
Exemples
Exercice
1 2
−2 1
0 1
−1 2
0 1
= n’est pas d ´efini !
0 1
−1 2
0 1
1 2
−2 1
=
−2 1
−5 0
−2 1
Propri ´et ´es du produit matriciel
Th ´eor `eme
Assossiativit ´e: SoientA∈Mp,q(R),B∈Mq,r(R), C∈Mr,s(R)etλ ∈R.
(AB)C=A(BC) et λ(AB) = (λA)B=A(λB) Bilin ´earit ´e: SoientA,B∈Mp,q(R),C∈Mq,r(R)et λ,µ∈R.
(λA+µB)C=λAC+µBC et C(λA+µB) =λCA+µCB El ´ement neutre´ : SoitA∈Mn,p(R). InA=AIp=A.
Transpos ´ee d’un produit
SiA∈Mn,p(R)etB∈Mp,q(R)alors :
t(A×B) =tB×tA
Propri ´et ´es du produit matriciel
Th ´eor `eme
Assossiativit ´e: SoientA∈Mp,q(R),B∈Mq,r(R), C∈Mr,s(R)etλ ∈R.
(AB)C=A(BC) et λ(AB) = (λA)B=A(λB) Bilin ´earit ´e: SoientA,B∈Mp,q(R),C∈Mq,r(R)et λ,µ∈R.
(λA+µB)C=λAC+µBC et C(λA+µB) =λCA+µCB El ´ement neutre´ : SoitA∈Mn,p(R). InA=AIp=A.
Transpos ´ee d’un produit
SiA∈Mn,p(R)etB∈Mp,q(R)alors :
t(A×B) =tB×tA
Espace des lignes-Espace des colonnes
Introduction SoitA= aij
∈Mn,p(K), avecK=RouC.On peut d ´ecomposerAen lignes :A=
a1∗
... an∗
ou en colonnes :A= a∗1 · · · a∗p
.
On associe `aAdeux sev deKp:
L(A) =Vect{a1∗, ...,an∗}le sev engendr ´e par les lignes deA. C(A) =Vect
a∗1, ...,a∗p le sev engendr ´e par les colonnes de
A.
Espace des lignes-Espace des colonnes
Introduction SoitA= aij
∈Mn,p(K), avecK=RouC.On peut d ´ecomposerAen lignes :A=
a1∗
... an∗
ou en colonnes :A= a∗1 · · · a∗p
. On associe `aAdeux sev deKp:
L(A) =Vect{a1∗, ...,an∗}le sev engendr ´e par les lignes deA.
C(A) =Vect
a∗1, ...,a∗p le sev engendr ´e par les colonnes de
A.
Espace des lignes-Espace des colonnes
Introduction SoitA= aij
∈Mn,p(K), avecK=RouC.On peut d ´ecomposerAen lignes :A=
a1∗
... an∗
ou en colonnes :A= a∗1 · · · a∗p
. On associe `aAdeux sev deKp:
L(A) =Vect{a1∗, ...,an∗}le sev engendr ´e par les lignes deA.
C(A) =Vect
a∗1, ...,a∗p le sev engendr ´e par les colonnes de
A.
Espace des lignes-Espace des colonnes
Th ´eor `eme
Pour toute matrice A deMn,p(K),dimL(A) = dimC(A).
D ´efinition
Soit A une matrice deMn,p(K). On appelle rang deAla dimension deC(A)(ou deL(A)). On a clairement :
rangA≤min (n,p) et rangA=rang tA
Espace des lignes-Espace des colonnes
Th ´eor `eme
Pour toute matrice A deMn,p(K),dimL(A) = dimC(A).
D ´efinition
Soit A une matrice deMn,p(K). On appelle rang deAla dimension deC(A)(ou deL(A)). On a clairement :
rangA≤min (n,p) et rangA=rang tA
Rang d’une matrice...pour faire simple
D ´efinition
SoitA∈Mn,p(R)une matrice, on appelle rang de la matriceA, le rang dansRndu syst `eme constitu ´e par sespvecteurs colonnes, notation :rg(A) =rg(c1(A), . . . ,cp(A)).
Remarque
Im A=Vect{c1(A), . . . ,cp(A)}
Th ´eor `eme
Soitu une application lin ´eaire deE dansF, soitBune base de E, soitB0une base deF, et soitA=mat
B,B0(u), alors rg(u) =rg(A)
Rang d’une matrice...pour faire simple
D ´efinition
SoitA∈Mn,p(R)une matrice, on appelle rang de la matriceA, le rang dansRndu syst `eme constitu ´e par sespvecteurs colonnes, notation :rg(A) =rg(c1(A), . . . ,cp(A)).
Remarque
Im A=Vect{c1(A), . . . ,cp(A)}
Th ´eor `eme
Soitu une application lin ´eaire deE dansF, soitBune base de E, soitB0une base deF, et soitA=mat
B,B0(u), alors rg(u) =rg(A)
Rang d’une matrice...pour faire simple
D ´efinition
SoitA∈Mn,p(R)une matrice, on appelle rang de la matriceA, le rang dansRndu syst `eme constitu ´e par sespvecteurs colonnes, notation :rg(A) =rg(c1(A), . . . ,cp(A)).
Remarque
Im A=Vect{c1(A), . . . ,cp(A)}
Th ´eor `eme
Soitu une application lin ´eaire deE dansF, soitBune base de E, soitB0une base deF, et soitA=mat
B,B0(u), alors rg(u) =rg(A)
Rang d’une matrice
Th ´eor `eme (Cons ´equence)
SoitE un espace vectoriel de dimensionn, soitS = (x1, . . . ,xp) une famille dep vecteurs deE et soitB une base deE, alors le rang de la familleS est ´egal au rang de la matrice de ce syst `eme dans la baseB.
Th ´eor `eme : Invariance du rang
SoitA∈Mn,p(R),P∈Mp(R)inversible et soitQ∈Mn(R) inversible. Alors :
1 rg(AP) =rg(A)etrg(QA) =rg(A).
2 Deux matrices semblables ont le m ˆeme rang.
3 rg(A) =rg(tA).
Rang d’une matrice
Th ´eor `eme (Cons ´equence)
SoitE un espace vectoriel de dimensionn, soitS = (x1, . . . ,xp) une famille dep vecteurs deE et soitB une base deE, alors le rang de la familleS est ´egal au rang de la matrice de ce syst `eme dans la baseB.
Th ´eor `eme : Invariance du rang
SoitA∈Mn,p(R),P∈Mp(R)inversible et soitQ∈Mn(R) inversible. Alors :
1 rg(AP) =rg(A)etrg(QA) =rg(A).
2 Deux matrices semblables ont le m ˆeme rang.
3 rg(A) =rg(tA).
Op ´erations ´el ´ementaires sur les matrices
D ´efinition
SoitA∈Mn,p(R), on appelle op ´erations ´el ´ementaires surAles op ´erations suivantes :
1 Permuter deux lignes deA(ou deux colonnes), notation : Li↔Lj(resp.Ci↔Cj).
2 Multiplier une ligne (ou une colonne) par un scalaire non nul, notation :Li←αLi (resp.Ci←αCi).
3 Ajouter `a une ligne (ou une colonne) un multiple d’une autre ligne (resp. une autre colonne), notation :
Li←Li+αLj, aveci6=j (resp.Ci←Ci+αCj).
Op ´erations ´el ´ementaires sur les matrices
Th ´eor `eme
Effectuer une op ´eration ´el ´ementaire sur une matrice
A∈Mn,p(R)revient `a multiplierA `a gauche par une matrice inversible pour les op ´erations sur les lignes ( `a droite pour une op ´eration sur les colonnes).
Op ´erations ´el ´ementaires sur A∈Mn,p(R) : K=R
Calcul pratique du rang d’une matrice
Remarque
Il est `a peu pr `es ´evident que les op ´erations ´el ´ementaires ne modifient pas le rang d’une matrice. Pour calculer le rang d’une matrice, il suffit donc de l’ ´echelonner par rapport `a ses lignes (resp.ses colonnes) et le rang est alors ´egal au nombre de lignes (resp. de colonnes) non nulles de la matrice ´echelonn ´ee.
C’est donc aussi le nombre de pivots non nuls d’une r ´eduite de Gauss-Jordan de la matrice.
Th ´eor `eme : propri ´et ´es d’invariance
Les op ´erations ´el ´ementaires conservent le rang de la matrice.
La suppression d’une colonne nulle ou d’une ligne nulle pr ´eserve le rang.
Calcul pratique du rang d’une matrice
Remarque
Il est `a peu pr `es ´evident que les op ´erations ´el ´ementaires ne modifient pas le rang d’une matrice. Pour calculer le rang d’une matrice, il suffit donc de l’ ´echelonner par rapport `a ses lignes (resp.ses colonnes) et le rang est alors ´egal au nombre de lignes (resp. de colonnes) non nulles de la matrice ´echelonn ´ee.
C’est donc aussi le nombre de pivots non nuls d’une r ´eduite de Gauss-Jordan de la matrice.
Th ´eor `eme : propri ´et ´es d’invariance
Les op ´erations ´el ´ementaires conservent le rang de la matrice.
La suppression d’une colonne nulle ou d’une ligne nulle pr ´eserve le rang.
Calcul pratique du rang d’une matrice : pivot de Gauss
Calcul pratique du rang d’une matrice : exercice
Exercice
D ´eterminer le rang de la matriceAci-dessous :
A=
0 0 1 3
1 0 −1 2
0 0 1 2
−2 4 −4 1
−1 0 3 0
Calcul pratique du rang d’une matrice : exercice
rg (A) = 4
Calcul pratique du rang d’une matrice : exercice
rg (A) = 4
Calcul pratique du rang d’une matrice : exercice
rg (A) = 4
Rang et inversibilit ´e
Proposition
SoitA∈Mn,p(K). A est inversible `a gauche (resp. `a droite) ssi rangA=p(resp.rangA=n).
Corollaire
Toute matrice inversible est carr ´ee, et pour une matrice carr ´ee AdeMn(K), on a :
Ainversible ⇐⇒rangA=n On dit aussi r ´eguli `ere pour inversible.
Corollaire
Le rang d’une matriceA∈Mn,p(K)est ´egal `a l’ordre de la plus grande sous matrice carr ´ee r ´eguli `ere que l’on peut extraire de A.
Rang et inversibilit ´e
Proposition
SoitA∈Mn,p(K). A est inversible `a gauche (resp. `a droite) ssi rangA=p(resp.rangA=n).
Corollaire
Toute matrice inversible est carr ´ee, et pour une matrice carr ´ee AdeMn(K), on a :
Ainversible ⇐⇒rangA=n On dit aussi r ´eguli `ere pour inversible.
Corollaire
Le rang d’une matriceA∈Mn,p(K)est ´egal `a l’ordre de la plus grande sous matrice carr ´ee r ´eguli `ere que l’on peut extraire de A.
Rang et inversibilit ´e
Proposition
SoitA∈Mn,p(K). A est inversible `a gauche (resp. `a droite) ssi rangA=p(resp.rangA=n).
Corollaire
Toute matrice inversible est carr ´ee, et pour une matrice carr ´ee AdeMn(K), on a :
Ainversible ⇐⇒rangA=n On dit aussi r ´eguli `ere pour inversible.
Corollaire
Le rang d’une matriceA∈Mn,p(K)est ´egal `a l’ordre de la plus grande sous matrice carr ´ee r ´eguli `ere que l’on peut extraire de A.
Propri ´et ´es du rang d’une matrice
Propri ´et ´es
Soitf une application lin ´eaire deE dansF, soitBune base de E avecdim(E) =p, soitB0 une base deF avecdim(F) =n, et soitA=mat
B,B0(f)∈Mn,p(R), on a :
1 rg(A)≤min(n,p).
2 rg(A) =n ⇐⇒ f est surjective.
3 rg(A) =p ⇐⇒ f est injective.
