8janvier2020 Herv´eHocquard Matrices

Matrices

Herv ´e Hocquard

Universit ´e de Bordeaux, France

8 janvier 2020

Matrice d’une application lin ´eaire

Introduction

Soit E un R -e.v de dimension p, soit B = (e ₁ , . . . , e _p ) une base de E . Soit F un R -e.v de dimension n et soit B ⁰ = (u ₁ , . . . ,u _n ) une base de F . Soit f une application lin ´eaire de E dans F . On sait que f est enti `erement d ´etermin ´ee par la donn ´ee de

f(e ₁ ), . . . ,f (e _p ), mais chacun de ces vecteurs est lui-m ˆeme d ´etermin ´e par ses coordonn ´ees dans la base B ⁰ de F .

Notons coord

B

(f (e _j )) = (a _1j , . . . , a _nj ) pour j ∈ J 1,p K , c’est- `a-dire :

∀j ∈ J 1,p K , f (e _j ) =

n

∑

i=1

a _ij u _i On obtient ainsi une matrice A = (a _ij )

1≤j≤p

cette matrice est

d ´efinie par : c _j (A) = coord

B

(f (e _j )) o `u c <sub>j</sub> (A) repr ´esente le j <sup>`eme</sup>

vecteur colonne de la matrice A.

Matrice d’une application lin ´eaire

Introduction

Soit E un R -e.v de dimension p, soit B = (e ₁ , . . . , e _p ) une base de E . Soit F un R -e.v de dimension n et soit B ⁰ = (u ₁ , . . . ,u _n ) une base de F . Soit f une application lin ´eaire de E dans F . On sait que f est enti `erement d ´etermin ´ee par la donn ´ee de

f(e ₁ ), . . . ,f (e _p ), mais chacun de ces vecteurs est lui-m ˆeme d ´etermin ´e par ses coordonn ´ees dans la base B ⁰ de F . Notons coord

B

(f (e _j )) = (a _1j , . . . ,a _nj ) pour j ∈ J 1,p K , c’est- `a-dire :

∀j ∈ J 1,p K , f (e _j ) =

n

∑

i=1

a _ij u _i On obtient ainsi une matrice A = (a _ij )

1≤j≤p

cette matrice est

d ´efinie par : c _j (A) = coord

B

(f (e _j )) o `u c <sub>j</sub> (A) repr ´esente le j <sup>`eme</sup>

vecteur colonne de la matrice A.

Matrice d’une application lin ´eaire

Introduction

Soit E un R -e.v de dimension p, soit B = (e ₁ , . . . , e _p ) une base de E . Soit F un R -e.v de dimension n et soit B ⁰ = (u ₁ , . . . ,u _n ) une base de F . Soit f une application lin ´eaire de E dans F . On sait que f est enti `erement d ´etermin ´ee par la donn ´ee de

f(e ₁ ), . . . ,f (e _p ), mais chacun de ces vecteurs est lui-m ˆeme d ´etermin ´e par ses coordonn ´ees dans la base B ⁰ de F . Notons coord

B

(f (e _j )) = (a _1j , . . . ,a _nj ) pour j ∈ J 1,p K , c’est- `a-dire :

∀j ∈ J 1,p K , f (e _j ) =

n

∑

i=1

a _ij u _i

On obtient ainsi une matrice A = (a _ij )

1≤j≤p

cette matrice est

d ´efinie par : c _j (A) = coord

B

(f (e _j )) o `u c <sub>j</sub> (A) repr ´esente le j <sup>`eme</sup>

vecteur colonne de la matrice A.

Matrice d’une application lin ´eaire

Introduction

Soit E un R -e.v de dimension p, soit B = (e ₁ , . . . , e _p ) une base de E . Soit F un R -e.v de dimension n et soit B ⁰ = (u ₁ , . . . ,u _n ) une base de F . Soit f une application lin ´eaire de E dans F . On sait que f est enti `erement d ´etermin ´ee par la donn ´ee de

f(e ₁ ), . . . ,f (e _p ), mais chacun de ces vecteurs est lui-m ˆeme d ´etermin ´e par ses coordonn ´ees dans la base B ⁰ de F . Notons coord

B

(f (e _j )) = (a _1j , . . . ,a _nj ) pour j ∈ J 1,p K , c’est- `a-dire :

∀j ∈ J 1,p K , f (e _j ) =

n

∑

i=1

a _ij u _i On obtient ainsi une matrice A = (a _ij )

1≤j≤p

cette matrice est

d ´efinie par : c _j (A) = coord

B

(f(e _j )) o `u c <sub>j</sub> (A) repr ´esente le j <sup>`eme</sup>

vecteur colonne de la matrice A.

Matrice d’une application lin ´eaire

Construction de cette matrice

mat B , B

(f ) =

f (e ₁ ) f (e ₂ ) . . . f(e _p )

↓ ↓ ↓

















a ₁₁ a ₁₂ . . . a _1p → u ₁

a ₂₁ a ₂₂ . . . a _2p → u ₂

.. . .. . .. . .. . .. .

a _n1 a _n2 . . . a _np → u _n

Cas particuliers des endomorphismes

Lorsque l’espace d’arriv ´ee est le m ˆeme que celui de d ´epart (F = E), on choisit en g ´en ´eral la m ˆeme base `a l’arriv ´ee qu’au d ´epart ( B ⁰ = B ), on note mat

B , B

(f) = mat

B (f ), c’est une matrice

carr ´ee.

Matrice d’une application lin ´eaire

Construction de cette matrice

mat B , B

(f ) =

f (e ₁ ) f (e ₂ ) . . . f(e _p )

↓ ↓ ↓

















a ₁₁ a ₁₂ . . . a _1p → u ₁

a ₂₁ a ₂₂ . . . a _2p → u ₂

.. . .. . .. . .. . .. .

a _n1 a _n2 . . . a _np → u _n

Cas particuliers des endomorphismes

Lorsque l’espace d’arriv ´ee est le m ˆeme que celui de d ´epart (F = E), on choisit en g ´en ´eral la m ˆeme base `a l’arriv ´ee qu’au d ´epart ( B ⁰ = B ), on note mat

B , B

(f) = mat

B (f ), c’est une matrice

carr ´ee.

Exemples

Exercice

Soit B = (e ₁ ,e ₂ , e ₃ ) la base canonique de R ³ et soit B ⁰ = (e ⁰ ₁ ,e ₂ ⁰ ) la base canonique de R ² . Soit f l’application lin ´eaire de R ³ dans R ² d ´efinie pour tout (x ,y , z) ∈ R ³ par

f(x, y ,z) = (2x − y + z ,x + 2y − 3z).

D ´eterminer A = mat

B , B

(f).

D ´eterminer B = mat

B , B

(f ) o `u B ⁰⁰ = (e ⁰ ₁ + e ₂ ⁰ ,e ⁰ ₁ − e ⁰ ₂ ).

Exercice

D ´eterminer l’application lin ´eaire g d ´efinie de R ³ dans R ² donn ´ee par :

mat B , B

(g) =

6 −2 1

4 5 −1

Exemples

Exercice

Soit B = (e ₁ ,e ₂ , e ₃ ) la base canonique de R ³ et soit B ⁰ = (e ⁰ ₁ ,e ₂ ⁰ ) la base canonique de R ² . Soit f l’application lin ´eaire de R ³ dans R ² d ´efinie pour tout (x ,y , z) ∈ R ³ par

f(x, y ,z) = (2x − y + z ,x + 2y − 3z).

D ´eterminer A = mat

B , B

(f).

D ´eterminer B = mat

B , B

(f ) o `u B ⁰⁰ = (e ⁰ ₁ + e ₂ ⁰ ,e ⁰ ₁ − e ⁰ ₂ ).

Exercice

D ´eterminer l’application lin ´eaire g d ´efinie de R ³ dans R ² donn ´ee par :

mat B , B

(g) =

6 −2 1

4 5 −1

Matrice d’une application lin ´eaire

Th ´eor `eme : caract ´erisation de l’identit ´e et de l’application nulle Soit E un R -ev de dimension n et soit B une base de E .

Soit f un endomorphisme de E , alors : f = id _E ⇐⇒ mat

B (f ) = I _n

Soit F un R -ev de dimension p et soit B ⁰ une base de F . Soit f une application lin ´eaire de E dans F , alors :

f = 0 ⇐⇒ mat

B , B

(f) = O p,n

Matrice d’une application lin ´eaire

Th ´eor `eme

Soient E et F deux R -ev, soit B une base de E et soit B ⁰ une base de F . Soient f et g deux applications lin ´eaires de E dans F et soit λ ∈ R . On a :

mat B , B

(f + g) = mat

B , B

(f ) + mat

B , B

(g) et mat

B , B

(λ .f ) = λ .mat

B , B

(f)

Th ´eor `eme : caract ´erisation du produit

Soient E , F et G trois R -ev, soit B une base de E , soit B ⁰ une base de F et soit B ⁰⁰ une base de G. Soit f (resp. g) une application lin ´eaire de E dans F (resp. F dans G), avec A = mat

B

, B

(g) et B = mat

B , B

(f ), alors :

B mat , B

(g ◦ f ) = A × B = mat

B

, B

(g) × mat

B , B

(f)

Matrice d’une application lin ´eaire

Th ´eor `eme

Soient E et F deux R -ev, soit B une base de E et soit B ⁰ une base de F . Soient f et g deux applications lin ´eaires de E dans F et soit λ ∈ R . On a :

mat B , B

(f + g) = mat

B , B

(f ) + mat

B , B

(g) et mat

B , B

(λ .f ) = λ .mat

B , B

(f)

Th ´eor `eme : caract ´erisation du produit

Soient E , F et G trois R -ev, soit B une base de E , soit B ⁰ une base de F et soit B ⁰⁰ une base de G. Soit f (resp. g) une application lin ´eaire de E dans F (resp. F dans G), avec A = mat

B

, B

(g) et B = mat

B , B

(f ), alors :

B mat , B

(g ◦ f ) = A × B = mat

B

, B

(g) × mat

B , B

(f)

Matrice d’une application lin ´eaire

Cas particulier

Soit E un R -ev, soit B une base de E et soient u et v deux endomorphismes de E avec A = mat

B (u) et B = mat

B (v ), on a alors mat

B (u ◦ v ) = mat

B (u) × mat

B (v ) = A × B, en particulier :

∀n ∈ N , mat

B (u ⁿ ) =

mat B (u) n

= A ⁿ

Lien entre matrice et application lin ´eaire

Th ´eor `eme

Soient B = (e ₁ , . . . , e _p ) une base de E et B ⁰ = (u ₁ , . . . ,u _n ) une base de F . Soit f une application lin ´eaire de E dans F .

Pour x ∈ E, on pose X la matrice colonne des coordonn ´ees de x dans la base B , que l’on note : X = coord

B (x ) ∈ M p,1 ( R ) et Y la matrice colonne des coordonn ´ees de y = f(x ) dans la base B ⁰ : Y = coord

B

(f(x)) ∈ M n,1 ( R ).

En posant : A = mat

B,B

(f ), on a la relation suivante : Y = AX i.e. coord

B

(f (x)) = mat

B , B

(f) × coord

B (x )

Lien entre matrice et application lin ´eaire

Exercice

Soit B = (e ₁ ,e ₂ , e ₃ ) la base canonique de R ³ et soit B ⁰ = (e ⁰ ₁ ,e ₂ ⁰ ) la base canonique de R ² . Soit f l’application lin ´eaire de R ³ dans R ² d ´efinie par sa matrice dans les bases B et B ⁰ : A = mat

B,B

(f ) =

1 −2 3

2 1 −5

, calculer f (x ,y , z).

Lien entre matrice et application lin ´eaire

D ´efinition : application lin ´eaire canoniquement associ ´ee Soit A ∈ M n,p ( R ), on appelle application lin ´eaire

canoniquement associ ´ee `a A l’application lin ´eaire f de R ^p dans

R ⁿ dont la matrice dans les bases canoniques de R ^p et R ⁿ est

A.

Matrices carr ´ees inversibles

Introduction

L’ensemble ( M n ( R ),+,×) a une structure particuli `ere (structure d’anneau...), on peut donc s’int ´eresser aux ´el ´ements

inversibles de cet ensemble. C’est `a dire aux matrices M ∈ M n ( R ) pour lesquelles il existe une matrice N ∈ M n ( R ) telle que M × N = N × M = I _n . Si M ∈ M n ( R ) est inversible, son inverse sera not ´e M ⁻¹ .

Propri ´et ´e

Si M et N sont deux matrices inversibles de M n ( R ) alors :

(M × N) ⁻¹ = N ⁻¹ × M ⁻¹

Matrices carr ´ees inversibles

Introduction

L’ensemble ( M n ( R ),+,×) a une structure particuli `ere (structure d’anneau...), on peut donc s’int ´eresser aux ´el ´ements

inversibles de cet ensemble. C’est `a dire aux matrices M ∈ M n ( R ) pour lesquelles il existe une matrice N ∈ M n ( R ) telle que M × N = N × M = I _n . Si M ∈ M n ( R ) est inversible, son inverse sera not ´e M ⁻¹ .

Propri ´et ´e

Si M et N sont deux matrices inversibles de M n ( R ) alors :

(M × N) ⁻¹ = N ⁻¹ × M ⁻¹

Matrices carr ´ees inversibles

Exemple : matrices diagonales inversibles

Soit D = diag(a ₁ , . . . , a _n ) ∈ M n (R), alors D est inversible si et seulement si les coefficients diagonaux sont tous non nuls, auquel cas on a :

D ⁻¹ = diag 1

a ₁ , . . . , 1 a _n

Matrices carr ´ees inversibles

Th ´eor `eme

Soient E et F deux R -ev de m ˆeme dimension n, soit B une base de E et B ⁰ une base de F , soit u une application lin ´eaire de E dans F , alors u est un isomorphisme de E vers F si et seulement si mat

B , B

(u) est inversible, si c’est le cas, alors : mat B

, B (u ⁻¹ ) =

mat B , B

(u)

−1

Matrices carr ´ees inversibles

Th ´eor `eme : caract ´erisation des matrices carr ´ees inversibles Soit A ∈ M n ( R ), alors les assertions suivantes sont

´equivalentes :

1

A est inversible.

2

Il existe une matrice B ∈ M n ( R ) telle que BA = I n .

3

L’ ´equation AX = O n,1 d’inconnue X ∈ M n,1 ( R ) admet une unique solution X = O n,1 .

4

∀Y ∈ M n,1 ( R ), l’ ´equation AX = Y d’inconnue X ∈ M n,1 ( R ) admet une unique solution.

5

∀Y ∈ M n,1 ( R ), l’ ´equation AX = Y d’inconnue X ∈ M n,1 ( R ) admet au moins une solution.

Cons ´equence

Si BA = I n alors AB = I n (car A est inversible et donc B = A ⁻¹ ).

Matrices carr ´ees inversibles

Th ´eor `eme : caract ´erisation des matrices carr ´ees inversibles Soit A ∈ M n ( R ), alors les assertions suivantes sont

´equivalentes :

1

A est inversible.

2

Il existe une matrice B ∈ M n ( R ) telle que BA = I n .

3

L’ ´equation AX = O n,1 d’inconnue X ∈ M n,1 ( R ) admet une unique solution X = O n,1 .

4

∀Y ∈ M n,1 ( R ), l’ ´equation AX = Y d’inconnue X ∈ M n,1 ( R ) admet une unique solution.

5

∀Y ∈ M n,1 ( R ), l’ ´equation AX = Y d’inconnue X ∈ M n,1 ( R ) admet au moins une solution.

Cons ´equence

Si BA = I n alors AB = I n (car A est inversible et donc B = A ⁻¹ ).

Matrices carr ´ees inversibles

Exercice

Soit A ∈ M n ( R ). Montrer que si A est inversible alors ^t A est inversible et ( ^t A) ⁻¹ = ^t (A ⁻¹ ).

Exercice Soit A =





1 λ −1

0 2 1

1 0 1



 avec λ ∈ R .

D ´eterminer en fonction de λ si A est inversible ou non, si c’est le cas, calculer A ⁻¹ .

Exercice

Soit T ∈ M n ( R ) une matrice triangulaire sup ´erieure. Montrer que T est diagonalisable si et seulement si ses

´el ´ements diagonaux sont tous non nuls. Si c’est le cas, montrer

que T ⁻¹ est ´egalement triangulaire sup ´erieure.

Matrices carr ´ees inversibles

Exercice

Soit A ∈ M n ( R ). Montrer que si A est inversible alors ^t A est inversible et ( ^t A) ⁻¹ = ^t (A ⁻¹ ).

Exercice Soit A =





1 λ −1

0 2 1

1 0 1



 avec λ ∈ R .

D ´eterminer en fonction de λ si A est inversible ou non, si c’est le cas, calculer A ⁻¹ .

Exercice

Soit T ∈ M n ( R ) une matrice triangulaire sup ´erieure. Montrer que T est diagonalisable si et seulement si ses

´el ´ements diagonaux sont tous non nuls. Si c’est le cas, montrer

que T ⁻¹ est ´egalement triangulaire sup ´erieure.

Matrices carr ´ees inversibles

Exercice

Soit A ∈ M n ( R ). Montrer que si A est inversible alors ^t A est inversible et ( ^t A) ⁻¹ = ^t (A ⁻¹ ).

Exercice Soit A =





1 λ −1

0 2 1

1 0 1



 avec λ ∈ R .

D ´eterminer en fonction de λ si A est inversible ou non, si c’est le cas, calculer A ⁻¹ .

Exercice

Soit T ∈ M n ( R ) une matrice triangulaire sup ´erieure.

Montrer que T est diagonalisable si et seulement si ses

´el ´ements diagonaux sont tous non nuls. Si c’est le cas, montrer

que T ⁻¹ est ´egalement triangulaire sup ´erieure.

Matrices de passage

D ´efinition

Soit E un R -ev, soit B = (e ₁ , . . . , e n ) une base de E , soit S = (x ₁ , . . . , x _p ) une famille de vecteurs de E, on appelle matrice du syst `eme S dans la base B , la matrice A ∈ M n,p (R) d ´efinie par : ∀(i,j) ∈ J 1,n K × J 1,p K , a <sub>ij</sub> est la coordonn ´ee sur e <sub>i</sub> de x <sub>j</sub> . En d’autres termes, pour j ∈ J 1, p K , le j <sup>`eme</sup> vecteur colonne de A est c _j (A) = coord

B (x _j ). Cette matrice est not ´ee P _B , S et

appel ´ee matrice de passage de B `a S , elle exprime les

vecteurs de S dans la base B .

Matrices de passage

Construction de cette matrice de passage

P B,S =

x ₁ x ₂ . . . x _p →

↓ ↓ . . . ↓

















a ₁₁ a ₁₂ . . . a _1p →

a ₂₁ a ₂₂ . . . a _2p →

.. . .. . .. . .. . .. .

a _n1 a _n2 . . . a _np →

Matrices de passage

Exercice

Soit B la base canonique de R ³ et S = {(1, −1, 0); (2,−1, 3)}.

D ´eterminer la matrice de passage de la base B au syst `eme S .

Exercice

Soit B = {e ₁ , e ₂ , e ₃ } la base canonique de R ³ et B ⁰ = {e ₁ ,e ₁ + e ₂ , e ₁ + e ₂ + e ₃ }.

1

Montrer que B ⁰ est une base de R ³ .

2

D ´eterminer la matrice de passage de la base B

`a la base B ⁰ .

Matrices de passage

Exercice

Soit B la base canonique de R ³ et S = {(1, −1, 0); (2,−1, 3)}.

D ´eterminer la matrice de passage de la base B au syst `eme S . Exercice

Soit B = {e ₁ , e ₂ , e ₃ } la base canonique de R ³ et B ⁰ = {e ₁ ,e ₁ + e ₂ , e ₁ + e ₂ + e ₃ }.

1

Montrer que B ⁰ est une base de R ³ .

2

D ´eterminer la matrice de passage de la base B

`a la base B ⁰ .

Matrices de passage

Th ´eor `eme : caract ´erisation des bases

Soit B une base de E, et soit B ⁰ = (x ₁ , . . . , x _n ) une famille de n vecteurs de E , alors B ⁰ est une base de E si et seulement si la matrice de passage de B `a B ⁰ est inversible.

Interpr ´etation de la matrice de passage entre deux bases Soient B et B ⁰ deux bases de E.

On consid `ere id <sub>E</sub> : (E , B <sup>0</sup> ) −→ (E , B ) avec B <sup>0</sup> comme base au d ´epart et B comme base `a l’arriv ´ee, on a la relation :

P _B , B

= mat

B

,B (id _E )

Matrices de passage

Th ´eor `eme : caract ´erisation des bases

Soit B une base de E, et soit B ⁰ = (x ₁ , . . . , x _n ) une famille de n vecteurs de E , alors B ⁰ est une base de E si et seulement si la matrice de passage de B `a B ⁰ est inversible.

Interpr ´etation de la matrice de passage entre deux bases Soient B et B ⁰ deux bases de E.

On consid `ere id <sub>E</sub> : (E , B <sup>0</sup> ) −→ (E , B ) avec B <sup>0</sup> comme base au d ´epart et B comme base `a l’arriv ´ee, on a la relation :

P _B , B

= mat

B

, B (id _E )

Matrices de passage

Th ´eor `eme : application

Soient B , B ⁰ et B ” trois bases de E, on a : P _B

, B =

P _B , B

−1

et P _B , B ” = P _B , B

× P _B

, B ”

Formules du changement de bases

Th ´eor `eme

Soient B et B ⁰ deux bases de E, soit x ∈ E , on pose X = coord

B (x ) et X ⁰ = coord

B

(x ), on a les formules suivantes : X = P _B , B

× X ⁰ et X ⁰ = P _B

, B × X =

P _B , B

−1

× X

Exercice

Soient u ₁ = (1, 1,−1), u ₂ = (−1, 1,1) et u ₃ = (1, −2, 1).

1

Montrer que la famille {u ₁ , u ₂ , u ₃ } forme une base de R ³ .

2

Exprimer les coordonn ´ees de v = (1, 0,1) dans cette

nouvelle base.

Formules du changement de bases

Th ´eor `eme

Soient B et B ⁰ deux bases de E, soit x ∈ E , on pose X = coord

B (x ) et X ⁰ = coord

B

(x ), on a les formules suivantes : X = P _B , B

× X ⁰ et X ⁰ = P _B

, B × X =

P _B , B

−1

× X

Exercice

Soient u ₁ = (1, 1,−1), u ₂ = (−1, 1,1) et u ₃ = (1,−2, 1).

1

Montrer que la famille {u ₁ , u ₂ ,u ₃ } forme une base de R ³ .

2

Exprimer les coordonn ´ees de v = (1, 0,1) dans cette

nouvelle base.

Formules du changement de bases

Th ´eor `eme

Soient B 1 , B ⁰ ₁ deux bases de E et P = P _B

, B

la matrice de passage, soient B 2 , B ⁰ ₂ deux bases de F et soit Q = P _B

, B

la matrice de passage, soit u une application lin ´eaire de E dans F , on pose A = mat

B

, B

(u), A ⁰ = mat

B

,B

(u), on a la relation :

A ⁰ = Q ⁻¹ × A × P

Formules du changement de bases

Th ´eor `eme cas des endomorphismes

Soient B et B ⁰ deux bases de E et soit P = P _B , B

la matrice de passage, soit u un endomorphisme de E ,si on pose A = mat

B (u) et A ⁰ = mat

B

(u), alors on a la relation : A ⁰ = P ⁻¹ × A × P

Exercice

Soit B la base canonique de R ² et soit u un endomorphisme de R ² d ´efini par A = mat

B (u) =

2 −1

−1 2

. On pose B ⁰ = {(1,1); (1,−1)} une base de R ² .

1

Calculer la matrice de u dans la base B ⁰ .

2

En d ´eduire l’expression de u ⁿ (x ,y ).

Formules du changement de bases

Th ´eor `eme cas des endomorphismes

Soient B et B ⁰ deux bases de E et soit P = P _B , B

la matrice de passage, soit u un endomorphisme de E ,si on pose A = mat

B (u) et A ⁰ = mat

B

(u), alors on a la relation : A ⁰ = P ⁻¹ × A × P

Exercice

Soit B la base canonique de R ² et soit u un endomorphisme de R ² d ´efini par A = mat

B (u) =

2 −1

−1 2

. On pose B ⁰ = {(1,1); (1,−1)} une base de R ² .

1

Calculer la matrice de u dans la base B ⁰ .

2

En d ´eduire l’expression de u ⁿ (x ,y ).

Matrices semblables

D ´efinition

Soient A, B ∈ M n (R), on dit que les matrices A et B sont semblables si et seulement si il existe une matrice carr ´ee inversible P telle que :

A = P ⁻¹ × B × P

Remarques

1

Les matrices d’un endomorphisme dans deux bases sont semblables.

2

Deux matrices sont semblables lorsque ce sont deux

matrices d’un m ˆeme endomorphisme exprim ´ees dans

deux bases (P ´etant la matrice de passage).

Matrices semblables

D ´efinition

Soient A, B ∈ M n (R), on dit que les matrices A et B sont semblables si et seulement si il existe une matrice carr ´ee inversible P telle que :

A = P ⁻¹ × B × P

Remarques

1

Les matrices d’un endomorphisme dans deux bases sont semblables.

2

Deux matrices sont semblables lorsque ce sont deux

matrices d’un m ˆeme endomorphisme exprim ´ees dans

deux bases (P ´etant la matrice de passage).

Trace d’un endomorphisme

Th ´eor `eme

Soient A, B ∈ M n (R), on a la propri ´et ´e suivante : tr (A × B) = tr (B × A)

Th ´eor `eme : cons ´equence

Si A ∈ M n ( R ) et si P est inversible alors : tr (A) = tr

P ⁻¹ × A × P

Trace d’un endomorphisme

Th ´eor `eme

Soient A, B ∈ M n (R), on a la propri ´et ´e suivante : tr (A × B) = tr (B × A)

Th ´eor `eme : cons ´equence

Si A ∈ M n ( R ) et si P est inversible alors : tr (A) = tr

P ⁻¹ × A × P

Trace d’un endomorphisme

D ´efinition

Soit u un endomorphisme de E et soit B une base de E , on appelle trace de l’endomorphisme u le scalaire not ´e tr (u) et d ´efini par :

tr (u) = tr

mat B (u)

ce scalaire est ind ´ependant de la base B choisie.

Th ´eor `eme : rappel

L’application trace est une forme lin ´eaire non nulle qui v ´erifie : tr (u ◦ v ) = tr (v ◦ u)

o `u u et v sont deux endomorphismes de E .

Trace d’un endomorphisme

D ´efinition

Soit u un endomorphisme de E et soit B une base de E , on appelle trace de l’endomorphisme u le scalaire not ´e tr (u) et d ´efini par :

tr (u) = tr

mat B (u)

ce scalaire est ind ´ependant de la base B choisie.

Th ´eor `eme : rappel

L’application trace est une forme lin ´eaire non nulle qui v ´erifie : tr (u ◦ v ) = tr (v ◦ u)

o `u u et v sont deux endomorphismes de E.

Pour se rassurer ou pas...

Sujet de mai 2011 modifi ´e

Soit u ₁ = (1, 1,0), u ₂ = (0,1,1), u ₃ = (1,0, 1) et u ₄ = (−1,2,−1) quatre ´el ´ements de R ³ .

1) La famille {u ₁ ,u ₂ ,u ₃ ,u ₄ } peut-elle ˆetre une base de R ³ ?

Non car la famille {u ₁ ,u ₂ ,u ₃ , u ₄ } n’est pas libre, en effet,

card({u ₁ , u ₂ , u ₃ ,u ₄ }) = 4 6= dim R ³ .

Pour se rassurer ou pas...

Sujet de mai 2011 modifi ´e

Soit u ₁ = (1, 1,0), u ₂ = (0,1,1), u ₃ = (1,0, 1) et u ₄ = (−1,2,−1) quatre ´el ´ements de R ³ .

1) La famille {u ₁ ,u ₂ ,u ₃ ,u ₄ } peut-elle ˆetre une base de R ³ ?

Non car la famille {u ₁ ,u ₂ , u ₃ , u ₄ } n’est pas libre, en effet,

card({u ₁ , u ₂ , u ₃ ,u ₄ }) = 4 6= dim R ³ .

Pour se rassurer ou pas...

Sujet de mai 2011 modifi ´e

Soit u ₁ = (1, 1,0), u ₂ = (0,1,1), u ₃ = (1,0, 1) et u ₄ = (−1,2,−1) quatre ´el ´ements de R ³ .

2) Soit {e ₁ ,e ₂ ,e ₃ } la base canonique de R ³ . Quelle est la matrice de passage P de la base canonique {e ₁ , e ₂ ,e ₃ } `a la famille {u ₁ ,u ₂ , u ₃ } ?

P =





1 0 1 1 1 0 0 1 1





Pour se rassurer ou pas...

Sujet de mai 2011 modifi ´e

Soit u ₁ = (1, 1,0), u ₂ = (0,1,1), u ₃ = (1,0, 1) et u ₄ = (−1,2,−1) quatre ´el ´ements de R ³ .

2) Soit {e ₁ ,e ₂ ,e ₃ } la base canonique de R ³ . Quelle est la matrice de passage P de la base canonique {e ₁ , e ₂ ,e ₃ } `a la famille {u ₁ ,u ₂ , u ₃ } ?

P =





1 0 1 1 1 0 0 1 1





Pour se rassurer ou pas...

Sujet de mai 2011 modifi ´e

Soit u ₁ = (1, 1,0), u ₂ = (0,1,1), u ₃ = (1,0, 1) et u ₄ = (−1,2,−1) quatre ´el ´ements de R ³ .

3) Montrer que {u ₁ ,u ₂ ,u ₃ } est une base de R ³ .

det(P) = det





1 0 1 1 1 0 0 1 1



 = 2 6= 0

donc d’apr `es le th ´eor `eme de caract ´erisations des bases,

{u ₁ , u ₂ ,u ₃ } est une base de R ³ .

Pour se rassurer ou pas...

Sujet de mai 2011 modifi ´e

Soit u ₁ = (1, 1,0), u ₂ = (0,1,1), u ₃ = (1,0, 1) et u ₄ = (−1,2,−1) quatre ´el ´ements de R ³ .

3) Montrer que {u ₁ ,u ₂ ,u ₃ } est une base de R ³ .

det(P) = det





1 0 1 1 1 0 0 1 1



 = 2 6= 0

donc d’apr `es le th ´eor `eme de caract ´erisations des bases,

{u ₁ , u ₂ ,u ₃ } est une base de R ³ .

Pour se rassurer ou pas...

Sujet de mai 2011 modifi ´e

Soit u ₁ = (1, 1,0), u ₂ = (0,1,1), u ₃ = (1,0, 1) et u ₄ = (−1,2,−1) quatre ´el ´ements de R ³ .

4) Calculer P ⁻¹ en utilisant la m ´ethode de votre choix.

P ⁻¹ = 1 2





1 1 −1

−1 1 1

1 −1 1





Pour se rassurer ou pas...

Sujet de mai 2011 modifi ´e

Soit u ₁ = (1, 1,0), u ₂ = (0,1,1), u ₃ = (1,0, 1) et u ₄ = (−1,2,−1) quatre ´el ´ements de R ³ .

4) Calculer P ⁻¹ en utilisant la m ´ethode de votre choix.

P ⁻¹ = 1 2





1 1 −1

−1 1 1

1 −1 1





Pour se rassurer ou pas...

Sujet de mai 2011 modifi ´e

5) Soit f l’endomorphisme de R ³ dont la matrice dans la base canonique est

A =





3 2

1 2

1 2

0 2 1

1

2 − ¹ ₂ ⁵ ₂





(a) En utilisant les matrices de changement de base, donner la matrice J de f dans la base {u ₁ , u 2 , u 3 }.

J = P ⁻¹ × A × P = . . . =





2 1 0 0 2 1 0 0 2





Pour se rassurer ou pas...

Sujet de mai 2011 modifi ´e

5) Soit f l’endomorphisme de R ³ dont la matrice dans la base canonique est

A =





3 2

1 2

1 2

0 2 1

1

2 − ¹ ₂ ⁵ ₂





(a) En utilisant les matrices de changement de base, donner la matrice J de f dans la base {u ₁ , u 2 , u 3 }.

J = P ⁻¹ × A × P = . . . =





2 1 0 0 2 1 0 0 2





Pour se rassurer ou pas...

Sujet de mai 2011 modifi ´e

5) (b) Utiliser A pour calculer f (u ₁ ), f (u ₂ ) et f (u ₃ ) en fonction de u ₁ , u ₂ et u ₃ . Retrouver ainsi la matrice J .

A × U ₁ =



 2 2 0



 = 2 × U ₁ ⇒ f (u ₁ ) = 2.u ₁ + 0.u ₂ + 0.u ₃ A × U ₂ =



 1 3 2



 = U ₁ + 2 × U ₂ ⇒ f (u ₂ ) = 1.u ₁ + 2.u ₂ + 0.u ₃ A × U ₃ =



 2 1 3



 = U ₂ + 2 × U ₃ ⇒ f (u ₃ ) = 0.u ₁ + 1.u ₂ + 2.u ₃ D’o `u :

J =





2 1 0 0 2 1 0 0 2





Pour se rassurer ou pas...

Sujet de mai 2011 modifi ´e

5) (b) Utiliser A pour calculer f (u ₁ ), f (u ₂ ) et f (u ₃ ) en fonction de u ₁ , u ₂ et u ₃ . Retrouver ainsi la matrice J .

A × U ₁ =



 2 2 0



 = 2 × U ₁ ⇒ f (u ₁ ) = 2.u ₁ + 0.u ₂ + 0.u ₃

A × U ₂ =



 1 3 2



 = U ₁ + 2 × U ₂ ⇒ f (u ₂ ) = 1.u ₁ + 2.u ₂ + 0.u ₃ A × U ₃ =



 2 1 3



 = U ₂ + 2 × U ₃ ⇒ f (u ₃ ) = 0.u ₁ + 1.u ₂ + 2.u ₃ D’o `u :

J =





2 1 0 0 2 1 0 0 2





Pour se rassurer ou pas...

Sujet de mai 2011 modifi ´e

5) (b) Utiliser A pour calculer f (u ₁ ), f (u ₂ ) et f (u ₃ ) en fonction de u ₁ , u ₂ et u ₃ . Retrouver ainsi la matrice J .

A × U ₁ =



 2 2 0



 = 2 × U ₁ ⇒ f (u ₁ ) = 2.u ₁ + 0.u ₂ + 0.u ₃ A × U ₂ =



 1 3 2



 = U ₁ + 2 × U ₂ ⇒ f (u ₂ ) = 1.u ₁ + 2.u ₂ + 0.u ₃

A × U ₃ =



 2 1 3



 = U ₂ + 2 × U ₃ ⇒ f (u ₃ ) = 0.u ₁ + 1.u ₂ + 2.u ₃ D’o `u :

J =





2 1 0 0 2 1 0 0 2





Pour se rassurer ou pas...

Sujet de mai 2011 modifi ´e

5) (b) Utiliser A pour calculer f (u ₁ ), f (u ₂ ) et f (u ₃ ) en fonction de u ₁ , u ₂ et u ₃ . Retrouver ainsi la matrice J .

A × U ₁ =



 2 2 0



 = 2 × U ₁ ⇒ f (u ₁ ) = 2.u ₁ + 0.u ₂ + 0.u ₃ A × U ₂ =



 1 3 2



 = U ₁ + 2 × U ₂ ⇒ f (u ₂ ) = 1.u ₁ + 2.u ₂ + 0.u ₃ A × U ₃ =



 2 1 3



 = U ₂ + 2 × U ₃ ⇒ f (u ₃ ) = 0.u ₁ + 1.u ₂ + 2.u ₃

D’o `u :

J =





2 1 0 0 2 1 0 0 2





Pour se rassurer ou pas...

Sujet de mai 2011 modifi ´e

5) (b) Utiliser A pour calculer f (u ₁ ), f (u ₂ ) et f (u ₃ ) en fonction de u ₁ , u ₂ et u ₃ . Retrouver ainsi la matrice J .

A × U ₁ =



 2 2 0



 = 2 × U ₁ ⇒ f (u ₁ ) = 2.u ₁ + 0.u ₂ + 0.u ₃ A × U ₂ =



 1 3 2



 = U ₁ + 2 × U ₂ ⇒ f (u ₂ ) = 1.u ₁ + 2.u ₂ + 0.u ₃ A × U ₃ =



 2 1 3



 = U ₂ + 2 × U ₃ ⇒ f (u ₃ ) = 0.u ₁ + 1.u ₂ + 2.u ₃ D’o `u :

J =





2 1 0 0 2 1 0 0 2





Pour se rassurer ou pas...

Sujet de mai 2011 modifi ´e

6) Montrer que l’on peut ´ecrire J = D + N o `u D est une matrice diagonale, N est nilpotente d’ordre 3 (i.e.

N ³ = O 3 ( R )). Montrer que D et N commutent.

J = D + N avec D =





2 0 0 0 2 0 0 0 2



 = 2I ₃ et N =





0 1 0 0 0 1 0 0 0



.

On remarque que N ² =





0 0 1 0 0 0 0 0 0



 et N ³ =





0 0 0 0 0 0 0 0 0



,

donc pour tout k ≥ 3, N ^k = (0).

D × N = 2I ₃ × N = 2N = N × D donc D et N commutent.

Pour se rassurer ou pas...

Sujet de mai 2011 modifi ´e

6) Montrer que l’on peut ´ecrire J = D + N o `u D est une matrice diagonale, N est nilpotente d’ordre 3 (i.e.

N ³ = O 3 ( R )). Montrer que D et N commutent.

J = D + N avec D =





2 0 0 0 2 0 0 0 2



 = 2I ₃ et N =





0 1 0 0 0 1 0 0 0



.

On remarque que N ² =





0 0 1 0 0 0 0 0 0



 et N ³ =





0 0 0 0 0 0 0 0 0



,

donc pour tout k ≥ 3, N ^k = (0).

D × N = 2I ₃ × N = 2N = N × D donc D et N commutent.

Pour se rassurer ou pas...

Sujet de mai 2011 modifi ´e

6) Montrer que l’on peut ´ecrire J = D + N o `u D est une matrice diagonale, N est nilpotente d’ordre 3 (i.e.

N ³ = O 3 ( R )). Montrer que D et N commutent.

J = D + N avec D =





2 0 0 0 2 0 0 0 2



 = 2I ₃ et N =





0 1 0 0 0 1 0 0 0



.

On remarque que N ² =





0 0 1 0 0 0 0 0 0



 et N ³ =





0 0 0 0 0 0 0 0 0



,

donc pour tout k ≥ 3, N ^k = (0).

D × N = 2I ₃ × N = 2N = N × D donc D et N commutent.

Pour se rassurer ou pas...

Sujet de mai 2011 modifi ´e

6) Montrer que l’on peut ´ecrire J = D + N o `u D est une matrice diagonale, N est nilpotente d’ordre 3 (i.e.

N ³ = O 3 ( R )). Montrer que D et N commutent.

J = D + N avec D =





2 0 0 0 2 0 0 0 2



 = 2I ₃ et N =





0 1 0 0 0 1 0 0 0



.

On remarque que N ² =





0 0 1 0 0 0 0 0 0



 et N ³ =





0 0 0 0 0 0 0 0 0



,

donc pour tout k ≥ 3, N ^k = (0).

D × N = 2I ₃ × N = 2N = N × D donc D et N commutent.

Pour se rassurer ou pas...

Sujet de mai 2011 modifi ´e

7) En d ´eduire J ⁿ pour n entier naturel. Comment calculer A ⁿ ?

Les matrices D et N commutent, on peut alors appliquer la formule du bin ˆome de Newton et en d ´eduire que pour tout entier naturel n ≥ 2 :

J ⁿ = (D +N) ⁿ =

n

∑

k =0

n k

D ^n−k .N ^k = D ⁿ +n.D ⁿ⁻¹ .N + n

2

D ⁿ⁻² .N ²

soit pour tout entier naturel n ≥ 2

J ⁿ =





2 ⁿ n2 ^{n−1 n(n−1)} ₂ 2 ⁿ⁻²

0 2 ⁿ n2 ⁿ⁻¹

0 0 2 ⁿ





Pour se rassurer ou pas...

Sujet de mai 2011 modifi ´e

7) En d ´eduire J ⁿ pour n entier naturel. Comment calculer A ⁿ ? Les matrices D et N commutent, on peut alors appliquer la formule du bin ˆome de Newton et en d ´eduire que pour tout entier naturel n ≥ 2 :

J ⁿ = (D +N) ⁿ =

n

∑

k =0

n k

D ^n−k .N ^k = D ⁿ + n.D ⁿ⁻¹ .N + n

2

D ⁿ⁻² .N ²

soit pour tout entier naturel n ≥ 2

J ⁿ =





2 ⁿ n2 ^{n−1 n(n−1)} ₂ 2 ⁿ⁻²

0 2 ⁿ n2 ⁿ⁻¹

0 0 2 ⁿ





Pour se rassurer ou pas...

Sujet de mai 2011 modifi ´e

7) En d ´eduire J ⁿ pour n entier naturel. Comment calculer A ⁿ ?

De J = P ⁻¹ AP, on en d ´eduit :

J ⁿ = P ⁻¹ AP × · · · × P ⁻¹ AP = P ⁻¹ A ⁿ P soit A ⁿ = PJ ⁿ P ⁻¹ .

Pour se rassurer ou pas...

Sujet de mai 2011 modifi ´e

7) En d ´eduire J ⁿ pour n entier naturel. Comment calculer A ⁿ ? De J = P ⁻¹ AP, on en d ´eduit :

J ⁿ = P ⁻¹ AP × · · · × P ⁻¹ AP = P ⁻¹ A ⁿ P soit A ⁿ = PJ ⁿ P ⁻¹ .