10septembre2019 Herv´eHocquard Diagonalisation

(1)

Herv ´e Hocquard

Universit ´e de Bordeaux, France

10 septembre 2019

(2)

Introduction

Notations

Dans tout le chapitre,E d ésigne un espace vectoriel surK (K=RouC)de dimension finien.L(E)est l’espace vectoriel des endomorphismes deE etMn(K)l’espace vectoriel des matrices carr ées d’ordren à coefficients dansK.

(3)

Vecteurs propres-Sous espaces propres

D ´efinition

Soitf∈L(E)etAsa matrice dans une base deE. Un scalaireλ est appel ´eune valeur propre def (ou deA) s’il existe un vecteurV deE^∗tel quef(V) =λV.

relatif `a la valeur propreλ et que l’on noteE(λ).

(4)

Vecteurs propres-Sous espaces propres

D ´efinition

Siλ est une valeur propre def, tout vecteurV de E tel que f(V) =λV s’appelleun vecteur propre relatif `a la valeur propre λ.

L’ensemble de tous les vecteurs propres relatifs `a la valeur propreλ est un sev, que l’on appellele sous espace propre relatif `a la valeur propreλ et que l’on noteE(λ).

(5)

D ´efinition

Siλ est une valeur propre def, tout vecteurV de E tel que f(V) =λV s’appelleun vecteur propre relatif à la valeur propre λ. L’ensemble de tous les vecteurs propres relatifs à la valeur propreλ est un sev, que l’on appellele sous espace propre relatif à la valeur propreλ et que l’on noteE(λ).

(6)

Vecteurs propres-Sous espaces propres

D ´efinition

Un endomorphismef deE est ditdiagonalisables’il existe une base deE dans laquellela matrice def est diagonale.

C’est équivalent à dire qu’il existe une base deE form ée de vecteurs propres. Les él émentsdiagonaux de la matricedef dans cette base sont alorsdes valeurs propres def.

Une matriceAdeMn(K)est dite diagonalisable si elle est semblable à une matrice diagonale. C’est équivalent à dire que Aest la matrice dans une base d’un endomorphisme

diagonalisable.

(7)

Vecteurs propres-Sous espaces propres

D ´efinition

C’est équivalent à dire qu’il existe une base deE form ée de vecteurs propres.

Aest la matrice dans une base d’un endomorphisme diagonalisable.

(8)

Vecteurs propres-Sous espaces propres

D ´efinition

diagonalisable.

(9)

D ´efinition

diagonalisable.

(10)

Vecteurs propres-Sous espaces propres

Proposition

Soitf ∈L(E).Un scalaireλ est valeur propre def ssi (f−λId_E)est non injective et alorsE(λ) = ker(f−λId_E).

(11)

D ´efinition

Soitf un endomorphisme deE, de matriceAdans une base B. Alors le polyn ˆome

P_f(X) =P_A(X) = det(A−XI)

ne d épend pas de la base choisie. On l’appelle le polyn ôme caract éristique def (ou deA). Il s’ écrit :

P_f(X) = (−1)ⁿXⁿ+ (−1)ⁿ⁻¹Tr(A)Xⁿ⁻¹+...+ det(A)

(12)

Polyn ˆome caract ´eristique

Preuve

SiB⁰ est une autre base etP la matrice de passage deB `a B’, on sait quef a pour matriceA⁰=P⁻¹APdans la baseB’.

Mais alors :

det(A⁰−XI) = det(P⁻¹AP−XP⁻¹P) = deth

P⁻¹(A−XI)Pi

=

detP⁻¹

det(A−XI) (detP)

= det(A−XI) =P_A(X)

Le polyn ˆome est donc ind ´ependant de la base choisie.

(13)

Preuve

Calculonsdet(A−XI) =

a₁₁−X · · · a_1n ... . .. ... a_n1 · · · ann−X

.

Si on d ´eveloppe par rapport `a une colonne, on voit apparaˆıtre le terme (a₁₁−X)...(a_nn−X), tous les autres termes ne comportant qu’au plus(n−2)facteurs(a_ii−X).

(14)

Polyn ˆome caract ´eristique

Preuve

Les seuls termes enXⁿetXⁿ⁻¹viennent donc du d éveloppement de(a₁₁−X)...(a_nn−X), ce qui donne (−1)ⁿXⁿ+ (−1)ⁿ⁻¹(∑ⁿ_i=1a_ii)Xⁿ⁻¹(Au passage, comme ce polyn ôme ne d épend pas de la base, ce r ésultat montre que la trace de deux matrices semblables est la m ême, donc que la trace ne d épend que de l’endomorphisme).

Comme il est clair queP(0) = detA, le terme constant du polyn ˆome caract ´eristique est biendet(A).

(15)

Polyn ˆome caract ´eristique

Proposition

On dit queλ est une valeur propre def (ou deA) ssiλ est racine du polyn ˆome caract ´eristique.

α6=kπ, n’admet pas de valeur propre, son polyn ˆome caract ´eristique vaut en effet :X²−2Xcosα+1.

(16)

Polyn ˆome caract ´eristique

Proposition

On dit queλ est une valeur propre def (ou deA) ssiλ est racine du polyn ˆome caract ´eristique.

Remarque

Un endomorphisme d’unR-ev peut ne pas admettre de valeur propre. Par exemplef de matrice :

cosα −sinα sinα cosα

, avec α6=kπ, n’admet pas de valeur propre, son polyn ˆome

caract ´eristique vaut en effet :X²−2Xcosα+1.

(17)

D ´efinition

Soitf un endomorphisme deE, A sa matrice dans une base quelconque de E,λ une valeur propre def (ou deA) etP(X)le polyn ôme caract éristique def (ou de A). On appelle ordre de multiplicit é deλ son ordre de multiplicit é comme racine de P(X), c’est à dire que son ordre de multiplicit é est l’unique entier naturel non nulmtel que :P(X) = (X−λ)^mQ(X)avec Q(λ)6=0.

(18)

Diagonalisation

Lemme

Soitλ une valeur propre def d’ordre de multiplicit ´emetE(λ) le sous espace propre associ ´e. Alors :

1≤dimE(λ)≤m

Lemme

Soitλ1,λ₂, ...,λsdes valeurs propres def,deux `a deux distinctes etE(λ_i)les sous espaces propres correspondants. Alors la sommeE(λ₁) +E(λ₂) +...+E(λs)est directe.

(19)

Lemme

Soitλ une valeur propre def d’ordre de multiplicit ´emetE(λ) le sous espace propre associ ´e. Alors :

1≤dimE(λ)≤m Lemme

Soitλ1,λ₂, ...,λsdes valeurs propres def,deux `a deux distinctes etE(λ_i)les sous espaces propres correspondants.

Alors la sommeE(λ₁) +E(λ₂) +...+E(λs)est directe.

(20)

Diagonalisation

Th ´eor `eme

Soitf ∈L(E). Les conditions suivantes sont ´equivalentes : (i)f est diagonalisable.

(ii)P_f(X)admet toutes ses racines dansKet pour chaque valeur propreλ_i, d’ordre de multiplicit ´em_i,on a :m_i= dimE(λ_i).

(iii) Siλ1, ...,λr sont les diff ´erentes valeurs propres def,alors E=E(λ1)⊕...⊕E(λr).

Corollaire

Si le polyn ˆome caract ´eristique def a toutes ses racines simples, alorsf est diagonalisable.

(21)

Th ´eor `eme

Soitf ∈L(E). Les conditions suivantes sont ´equivalentes : (i)f est diagonalisable.

(ii)P_f(X)admet toutes ses racines dansKet pour chaque valeur propreλ_i, d’ordre de multiplicit ´em_i,on a :m_i= dimE(λ_i).

(iii) Siλ1, ...,λr sont les diff ´erentes valeurs propres def,alors E=E(λ1)⊕...⊕E(λr).

Corollaire

Si le polyn ˆome caract ´eristique def a toutes ses racines simples, alorsf est diagonalisable.

(22)

Diagonalisation : Exercices

Exercice

Pour chacune des matrices suivantes, dire si elle est

diagonalisable dansR, et dans l’affirmative, diagonalisez-la.

A=

2 −2 2 −3

B=

5 2

−4 1

C=





3 2 1 0 6 0 1 2 3





Exercice

Montrer que la matrice suivante n’est pas diagonalisable.

A=





4 0 0

−1 4 0

0 2 4





(23)

Pour chacune des matrices suivantes, dire si elle est

diagonalisable dansR, et dans l’affirmative, diagonalisez-la.

A=

2 −2 2 −3

B=

5 2

−4 1

C=





3 2 1 0 6 0 1 2 3





Exercice

A=





4 0 0

−1 4 0

0 2 4





(24)

Diagonalisation : Exercices

Exercice

A=

2 −2 2 −3

P_A(X) = det

2−X −2 2 −3−X

= (2−X)(−3−X) +4

P_A(X) = (X−1)(X+2)

Aadmet deux valeurs propres r ´eelles distinctes−2 et 1 doncA est diagonalisable dansR.

(25)

Diagonalisation : Exercices

Exercice

A=

2 −2 2 −3

P_A(X) = det

2−X −2 2 −3−X

= (2−X)(−3−X) +4

(26)

Diagonalisation : Exercices

Exercice

A=

2 −2 2 −3

P_A(X) = det

2−X −2 2 −3−X

= (2−X)(−3−X) +4

P_A(X) = (X−1)(X+2)

(27)

Exercice

A=

2 −2 2 −3

P_A(X) = det

2−X −2 2 −3−X

= (2−X)(−3−X) +4

P_A(X) = (X−1)(X+2)

(28)

Diagonalisation : Exercices

Exercice

A=

2 −2 2 −3

(x,y)∈E(−2) ⇐⇒

4x−2y =0

2x−y=0 ⇐⇒ y=2x E(−2) =Vect{(1,2)}

(x,y)∈E(1) ⇐⇒

x−2y =0

2x−4y=0 ⇐⇒ x =2y E(1) =Vect{(2,1)}

(29)

Diagonalisation : Exercices

Exercice

A=

2 −2 2 −3

(x,y)∈E(−2) ⇐⇒

4x−2y =0

2x−y=0 ⇐⇒ y=2x

2x−4y=0 E(1) =Vect{(2,1)}

(30)

Diagonalisation : Exercices

Exercice

A=

2 −2 2 −3

(x,y)∈E(−2) ⇐⇒

4x−2y =0

2x−y=0 ⇐⇒ y=2x E(−2) =Vect{(1,2)}

(x,y)∈E(1) ⇐⇒

x−2y =0

2x−4y=0 ⇐⇒ x =2y E(1) =Vect{(2,1)}

(31)

Diagonalisation : Exercices

Exercice

A=

2 −2 2 −3

(x,y)∈E(−2) ⇐⇒

4x−2y =0

2x−y=0 ⇐⇒ y=2x E(−2) =Vect{(1,2)}

(x,y)∈E(1) ⇐⇒

x−2y =0

2x−4y=0 ⇐⇒ x =2y

(32)

Diagonalisation : Exercices

Exercice

A=

2 −2 2 −3

(x,y)∈E(−2) ⇐⇒

4x−2y =0

2x−y=0 ⇐⇒ y=2x E(−2) =Vect{(1,2)}

(x,y)∈E(1) ⇐⇒

x−2y =0

2x−4y=0 ⇐⇒ x =2y E(1) =Vect{(2,1)}

(33)

Diagonalisation : Exercices

Exercice

A=

2 −2 2 −3

P=

1 2 2 1

P⁻¹=1 3

−1 2

2 −1

P⁻¹×A×P=. . .=

−2 0

0 1

(34)

Diagonalisation : Exercices

Exercice

A=

2 −2 2 −3

E(−2) =Vect{(1,2)}

E(1) =Vect{(2,1)}

P=

1 2 2 1

P⁻¹=1 3

−1 2

2 −1

P⁻¹×A×P=. . .=

−2 0

0 1

(35)

Diagonalisation : Exercices

Exercice

A=

2 −2 2 −3

E(−2) =Vect{(1,2)}

E(1) =Vect{(2,1)}

P=

1 2 2 1

P ×A×P=. . .=

0 1

(36)

Diagonalisation : Exercices

Exercice

A=

2 −2 2 −3

E(−2) =Vect{(1,2)}

E(1) =Vect{(2,1)}

P=

1 2 2 1

P⁻¹=1 3

−1 2

2 −1

P⁻¹×A×P=. . .=

−2 0

0 1

(37)

A= 2 −2 2 −3 E(−2) =Vect{(1,2)}

E(1) =Vect{(2,1)}

P=

1 2 2 1

P⁻¹=1 3

−1 2

2 −1

P⁻¹×A×P=. . .=

−2 0

0 1

(38)

Diagonalisation : Exercices

Exercice

B=

5 2

−4 1

P_B(X) = det

5−X 2

−4 1−X

= (5−X)(1−X) +8

P_B(X) =X²−6X+13

Bn’admet pas de valeurs propres r ´eelles doncBn’est pas diagonalisable dansR.

(39)

Diagonalisation : Exercices

Exercice

B=

5 2

−4 1

P_B(X) = det

5−X 2

−4 1−X

= (5−X)(1−X) +8

(40)

Diagonalisation : Exercices

Exercice

B=

5 2

−4 1

P_B(X) = det

5−X 2

−4 1−X

= (5−X)(1−X) +8

P_B(X) =X²−6X+13

(41)

Exercice

B=

5 2

−4 1

P_B(X) = det

5−X 2

−4 1−X

= (5−X)(1−X) +8

P_B(X) =X²−6X+13

(42)

Diagonalisation : Exercices

Exercice

C=





3 2 1 0 6 0 1 2 3





P_C(X) = det





3−X 2 1

0 6−X 0

1 2 3−X



= (6−X)[(3−X)²−1]

P_C(X) = (2−X)(4−X)(6−X)

Cadmet trois valeurs propres r ´eelles distinctes 2, 4 et 6 donc Cest diagonalisable dansR.

(43)

Diagonalisation : Exercices

Exercice

C=





3 2 1 0 6 0 1 2 3





P_C(X) = det





3−X 2 1

0 6−X 0

1 2 3−X



= (6−X)[(3−X)²−1]

(44)

Diagonalisation : Exercices

Exercice

C=





3 2 1 0 6 0 1 2 3





P_C(X) = det





3−X 2 1

0 6−X 0

1 2 3−X



= (6−X)[(3−X)²−1]

P_C(X) = (2−X)(4−X)(6−X)

(45)

C=





3 2 1 0 6 0 1 2 3





P_C(X) = det





3−X 2 1

0 6−X 0

1 2 3−X



= (6−X)[(3−X)²−1]

P_C(X) = (2−X)(4−X)(6−X)

(46)

Diagonalisation : Exercices

Exercice

(x,y,z)∈E(2) ⇐⇒







x+2y+z=0 4y=0 x+2y+z=0

⇐⇒

y =0 x=−z

E(2) =Vect{(1,0,−1)}

(x,y,z)∈E(4) ⇐⇒







−x+2y+z=0 2y=0 x+2y−z=0

⇐⇒

y=0 x=z

E(4) =Vect{(1,0,1)}

(47)

Diagonalisation : Exercices

Exercice

(x,y,z)∈E(2) ⇐⇒







x+2y+z=0 4y=0 x+2y+z=0

⇐⇒

y =0 x=−z

E(2) =Vect{(1,0,−1)}

E(4) =Vect{(1,0,1)}

(48)

Diagonalisation : Exercices

Exercice

(x,y,z)∈E(2) ⇐⇒







x+2y+z=0 4y=0 x+2y+z=0

⇐⇒

y =0 x=−z

E(2) =Vect{(1,0,−1)}

(x,y,z)∈E(4) ⇐⇒







−x+2y+z=0 2y=0 x+2y−z=0

⇐⇒

y=0 x=z

E(4) =Vect{(1,0,1)}

(49)

Exercice

(x,y,z)∈E(2) ⇐⇒







x+2y+z=0 4y=0 x+2y+z=0

⇐⇒

y =0 x=−z

E(2) =Vect{(1,0,−1)}

(x,y,z)∈E(4) ⇐⇒







−x+2y+z=0 2y=0 x+2y−z=0

⇐⇒

y=0 x=z

E(4) =Vect{(1,0,1)}

(50)

Diagonalisation : Exercices

Exercice

E(2) =Vect{(1,0,−1)}

E(4) =Vect{(1,0,1)}

(x,y,z)∈E(6) ⇐⇒







−3x+2y+z=0 0y=0 x+2y−3z=0

⇐⇒ x=y=z

E(6) =Vect{(1,1,1)}

(51)

Exercice

E(2) =Vect{(1,0,−1)}

E(4) =Vect{(1,0,1)}

(x,y,z)∈E(6) ⇐⇒







−3x+2y+z=0 0y=0 x+2y−3z=0

⇐⇒ x=y=z

E(6) =Vect{(1,1,1)}

(52)

Diagonalisation : Exercices

Exercice

E(2) =Vect{(1,0,−1)} , E(4) =Vect{(1,0,1)}

E(6) =Vect{(1,1,1)}

P=





1 1 1

0 0 1

−1 1 1





P⁻¹=





1/2 0 −1/2 1/2 −1 1/2

0 1 0





P⁻¹×C×P=. . .=





2 0 0 0 4 0 0 0 6





(53)

Diagonalisation : Exercices

Exercice

E(2) =Vect{(1,0,−1)} , E(4) =Vect{(1,0,1)}

E(6) =Vect{(1,1,1)}

P=





1 1 1

0 0 1

−1 1 1





P⁻¹=





1/2 0 −1/2 1/2 −1 1/2

0 1 0





(54)

Diagonalisation : Exercices

Exercice

E(2) =Vect{(1,0,−1)} , E(4) =Vect{(1,0,1)}

E(6) =Vect{(1,1,1)}

P=





1 1 1

0 0 1

−1 1 1





P⁻¹=





1/2 0 −1/2 1/2 −1 1/2

0 1 0





P⁻¹×C×P=. . .=





2 0 0 0 4 0 0 0 6





(55)

Diagonalisation : Exercices

Exercice

A=





4 0 0

−1 4 0

0 2 4





D’o `u,A=P×4I₃×P⁻¹=P×P⁻¹×4I₃=4I₃.

ABSURDE ! ! !

(56)

Diagonalisation : Exercices

Exercice

A=





4 0 0

−1 4 0

0 2 4





P_A(X) = det(A−XI₃) = (4−X)³ Supposons queAest diagonalisable.

Il existe donc une matriceP telle queP⁻¹AP=4I₃. D’o `u,A=P×4I₃×P⁻¹=P×P⁻¹×4I₃=4I₃.

ABSURDE ! ! !

(57)

Diagonalisation : Exercices

Exercice

A=





4 0 0

−1 4 0

0 2 4





Il existe donc une matriceP telle queP⁻¹AP=4I₃.

(58)

Diagonalisation : Exercices

Exercice

A=





4 0 0

−1 4 0

0 2 4





ABSURDE ! ! !

(59)

Exercice

A=





4 0 0

−1 4 0

0 2 4





ABSURDE ! ! !

(60)

Forme r ´eduite

Th ´eor `eme

Soitu un endomorphisme d’unK-ev E de dimension n (K=R ouC), de matriceAdans une base de E.On appelleP(X)son polyn ôme caract éristique et on suppose queP a toutes ses racines dansK(toujours vrai siK=C). On écrit

P(X) = (λ1−X)^α¹....(λr−X)^α^r.

On poseE(λ_i) = ker(λ_iId−u)(le sous-espace propre associ ´e `a la valeur propreλ_i) etE_i= ker(λ_iId−u)^αⁱ (on l’appelle le

sous-espace caract ´eristique relatif `a la valeur propreλi).On a alors :

(61)

Th ´eor `eme E(λ_i)⊂E_i dim(E_i) =α_i

E=E1⊕E2⊕...⊕Er

u(E_i)⊂E_i

(62)

Forme r ´eduite

Th ´eor `eme

Si on prend alors une base de E₁,E₂,...,Er et si on les recolle, on obtient une base deE dans laquelle la matriceAb deu est de la forme :





 J₁

J2

. ..

Jr







o ùJ_i est une matrice carr ée d’ordreαi,triangulaire sup érieure, avecλ_i sur la diagonale. Une telle forme s’appelle une forme r éduite de A.

(63)

Th ´eor `eme

Soitu un endomorphisme d’unK-ev E de dimension n (K=R ouC), de matriceAdans une base de E.On appelleP(X)son polyn ôme caract éristique et on suppose queP a toutes ses racines dansK(toujours vrai siK=C). On écrit

P(X) = (λ₁−X)^α¹....(λr−X)^α^r. Il existe alors une base deE dans laquelle la matriceAb deu est de la forme :

(64)

Forme de Jordan

Th ´eor `eme

Ab=







λ₁ ε₂ . .. ...

. .. εn

λ_r







o `uε_i=0 ou 1.

Une telle matrice s’appelle une forme de Jordan et la base dans laquelle on l’a obtenue s’appelle une base de Jordan pouru.

(65)

Th ´eor `eme

Soitu un endomorphisme d’unK-ev E de dimension n (K=R ouC), de matriceAdans une base de E.On appelleP(X)son polyn ôme caract éristique et on écrit :

P(X) = (−1)ⁿXⁿ+an−1Xⁿ⁻¹+...+a₀. Alors on a : (−1)ⁿuⁿ+an−1uⁿ⁻¹+...+a₀Id = 0 et

(−1)ⁿAⁿ+a_n−1Aⁿ⁻¹+...+a₀I = 0 Ce que l’on note :P(u) =0 etP(A) =0.

(66)

Application au calcul des puissances d’une matrice

Utilisation du Th ´eor `eme de C-H

Soitu un endomorphisme d’unK-evE de dimensionn(K=R ouC), de matriceAdans une base deE et de polyn ˆome caract ´eristiqueP(X). Soitmun entier naturel. On calcule le reste de la division euclidienne deX^mparP(X)i.e.:

X^m=P(X)Q(X) +R(X) o `u degR<degP=n On peut alors ´ecrire :

A^m = P(A)Q(A) +R(A)

= R(A)puisqueP(A) =0

(67)

Proposition : Utilisation d’une forme r ´eduite

SoitAb une matrice sous forme r ´eduite. On noteα₁, ...,α_r l’ordre des blocs triangulaires qui composentA. Alorsb bA=D+N o `u :

Dest la matrice diagonale qui a les m êmes él éments diagonaux queA.b

DetN commutent (ND=DN).

N est nilpotente et plus pr écis ément,N^k=0 sit ôt que k ≥Max{α₁, ...,αr}=s.

Pourm≥s−1, on a : bA^m=D^m+

m 1

D^m−1N+...+ m

s−1

D^m−s+1N^s−1

(68)

Application au calcul des puissances d’une matrice

Cons ´equence

Siuest un endomorphisme deE, de matriceAdans une base donn ´ee, et si on peut mettreAsous forme r ´eduiteA, on a, enb notantPla matrice de passage :

A=PAPb ⁻¹ d’o `u A^m=PAb^mP⁻¹ ce qui donne simplementA^m.