Echauffement ´
Herv ´e Hocquard
Universit ´e de Bordeaux, France
25 septembre 2012
Ce qu’il faut savoir...
Son cours...
Ce qu’il faut savoir...
Son cours...
D ´eriver une fonction...
Ce qu’il faut savoir...
Son cours...
D ´eriver une fonction...
Calculer des limites de fonctions classiques...
Ce qu’il faut savoir...
Son cours...
D ´eriver une fonction...
Calculer des limites de fonctions classiques...
Effectuer une division euclidienne...
Ce qu’il faut savoir...
Son cours...
D ´eriver une fonction...
Calculer des limites de fonctions classiques...
Effectuer une division euclidienne...
Suites num ´eriques...
Ce qu’il faut savoir...
Son cours...
D ´eriver une fonction...
Calculer des limites de fonctions classiques...
Effectuer une division euclidienne...
Suites num ´eriques...
Compter sur ses doigts...
Les s ´eries
D ´efinition
Soit (u
n) une suite r ´eelle. On lui associe (S
n) une nouvelle suite d ´efinie par
S
n= u
0+ · · · + u
n.
On appelle s ´erie de terme g ´en ´eral (u
n) le couple ((u
n),(S
n)) form ´e des deux suites. On note ∑ u
nla s ´erie de terme g ´en ´eral (u
n).
On appelle somme partielle d’indice n de la s ´erie ∑ u
nle nombre S
n.
Si la suite (S
n) converge vers S, on dit que la s ´erie ∑ u
nconverge de somme S et on note S =
+∞
∑
k=0
u
k.
On appelle reste de rang p la diff ´erence R
p= S − S
p.
Si la s ´erie n’est pas convergente, elle est divergente.
Les s ´eries
Remarque
On a la relation pour tout entier n ≥ 1 :
u
n= S
n− S
n−1.
Les s ´eries
Remarque
On a la relation pour tout entier n ≥ 1 : u
n= S
n− S
n−1.
Proposition-Condition n ´ecessaire de convergence Si la s ´erie ∑ u
nconverge, alors u
nconverge vers 0.
La r ´eciproque est fausse.
Les s ´eries
Remarques
On utilise surtout la contrapos ´ee de ce r ´esultat c’est- `a-dire si la suite u
nne converge pas vers 0, alors la s ´erie ∑ u
ndiverge.
Principe des s ´eries t ´elescopiques, on doit ´etudier une suite a
n, on pose
u
n= a
n− a
n−1on ´etudie alors la s ´erie ∑ u
n, la somme partielle de cette s ´erie v ´erifie
S
n=
∑
n k=1u
k= a
n− a
0Donc la s ´erie ∑ u
nconverge si et seulement si la suite
converge.
Les s ´eries
Exemple
Etudier la s ´erie de terme g ´en ´eral u ´
k=
k(k+1)1pour k ≥ 1.
Les s ´eries
Exemple
Etudier la s ´erie de terme g ´en ´eral u ´
k=
k(k+1)1pour k ≥ 1.
Il suffit de remarquer que
∀k ≥ 1, 1
k (k + 1) = 1 k − 1
k + 1 pour conclure que la s ´erie converge et
+∞
∑
k=1
1
k(k + 1) = 1.
Combinaisons lin ´eaires de s ´eries convergentes
Si les s ´eries ∑ u
net ∑ v
nconvergent vers S et S
′respectivement, alors pour tout r ´eel λ la s ´erie ∑ u
n+ λ v
nest
convergente de somme S + λ S
′.
S ´eries de r ´ef ´erence
S ´erie g ´eom ´etrique
C’est la s ´erie de terme g ´en ´eral q
no `u q est un r ´eel (non nul).
Soit un r ´eel non nul q.
Si |q| ≥ 1, la s ´erie de terme g ´en ´eral q
ndiverge.
Si |q| < 1, la s ´erie converge et
+∞
∑
k=0
q
k= 1
1 − q
S ´eries de r ´ef ´erence
S ´erie d ´eriv ´ee
C’est la s ´erie de terme g ´en ´eral nq
no `u q est un r ´eel (non nul).
Si |q| ≥ 1, le terme g ´en ´eral ne tend pas vers 0 donc la s ´erie diverge.
Si |q| < 1, alors la s ´erie converge et
+∞
∑
k=1
kq
k−1= 1 (1 − q)
2et
+∞
∑
k=1
kq
k= q
(1 − q)
2S ´eries de r ´ef ´erence
S ´erie exponentielle
∑ x n!n converge pour tout r ´eel x et
+∞
∑
k=0
