Chapitre 4 Matrices et déterminants

Matrices et déterminants

Mathématiques Classe Préparatoire PSI*

Lycée Jean Perrin, Marseille Sylvain Damour

[email protected] Année 2021–2022

Table des matières

1 Opérations sur les matrices 2

1.1 Multiplication matricielle . . . 2

1.2 Matrices triangulaires . . . 5

1.3 Transposée d’une matrice . . . 5

2 Pivot de Gauss 6 2.1 Opérations élémentaires . . . 6

2.2 Matrices échelonnées . . . 6

2.3 Méthode du pivot de Gauss . . . 7

3 Matrices d’endomorphismes 8 3.1 Matrice d’un vecteur ou d’une famille de vecteurs . . . 8

3.2 Matrice d’un endomorphisme . . . 9

3.3 Opérations . . . 9

3.4 Endomorphisme canoniquement associée . . . 10

4 Changement de bases et matrices semblables 11 4.1 Matrices de passage . . . 11

4.2 Changement de base . . . 11

4.3 Matrices semblables . . . 12

5 Rang 12 5.1 Définition . . . 12

5.2 Propriétés . . . 12

5.3 Invariance . . . 12

6 Matrices inversibles 13 6.1 Notation . . . 13

6.2 CNS d’inversibilité . . . 13

6.3 Propriétés . . . 14

6.4 Calcul de l’inverse . . . 14

7 Trace 14

7.1 Définition . . . 14

7.2 Propriétés . . . 15

8 Matrices par blocs 16 8.1 Opérations par blocs . . . 16

8.2 SEV stables . . . 16

9 Déterminant d’une matrice carrée 19 10 Propriétés du déterminant 20 10.1 Premières propriétés . . . 20

10.2 Opérations élémentaires sur les lignes ou les colonnes . . . 20

10.3 Développement par rapport à une colonne ou une ligne . . . 21

10.4 Déterminant d’un produit, d’un inverse . . . 22

10.5 Déterminants triangulaires par blocs . . . 22

11 Déterminant de Vandermonde 23

12 Déterminant d’une famille de vecteurs 24

13 Déterminant d’un endomorphisme 24

Préambule

Dans tout ce chapitre,KdésigneRouC etn,p∈N^∗.

On identifieKⁿetMn,1(K), c’est-à-dire qu’on identifie lan-liste (x1, . . . ,xn) et la matrice colonne





 x1

... x_n





.

1 Opérations sur les matrices

1.1 Multiplication matricielle

Notation 1. On notera a_{i j} ou A_{i j} les éléments de la matriceA.

Définition 2. SoitA∈Mn,p(K) etB∈Mp,q(K).

Leproduitdes matricesAetBest la matriceAB∈Mn,q(K) définie par :

∀i∈[[1,n]], ∀j∈[[1,q]],

(AB)i j =

p

X

k=1

Ai kBk j.

Z

Remarque3. L’anneauMn(K) n’est pas intègre : A B=0 n’implique pasA=0 ouB=0 en général.

"

Contre-exemple4.

µ1 1

−1 −1

¶

µ1 1 1 1

¶ µ0 0

0 0

¶

Remarque5. La multiplication matricielle n’est pas commutative : AB6=B A en général.

"

Contre-exemple6.

µ0 −1

1 0

¶

µ0 1 1 0

¶ µ1 0 0 −1

¶

mais

µ0 1 1 0

¶

µ0 −1

1 0

¶ µ

−1 0

0 1

¶

Théorème 7.

SI AetBsont deux matrices deMp(K) qui commutent, c’est-à-dire tq A B=B A, ALORS

(i) ∀p∈N, A B^p = B^pA.

(ii) ∀p,q∈N, A^qB^p = B^pA^q.

Démonstration 8.

∗

Théorème 9. (Formule du binôme) Soitn∈N.

SI AetBsont deux matrices deMp(K) quicommutent,

"

ALORS (A+B)ⁿ =

n

X

k=0

Ãn k

!

A^n−kB^k

(A+B)ⁿ = Aⁿ +n Aⁿ⁻¹B + n(n−1)

2 Aⁿ⁻²B² +. . .+ n ABⁿ⁻¹ +Bⁿ

Z

Démonstration 10.

∗∗

Isaac Newton (1643-1727) est un philosophe, mathématicien, physicien, alchimiste, astronome et théologien anglais.

Figure emblématique des sciences, il est surtout reconnu pour avoir fondé la mécanique classique, pour sa théorie de la gravi- tation universelle, pour sa théorie de la couleur basée sur l’obser- vation selon laquelle un prisme décompose la lumière blanche en un spectre visible, et pour la création du calcul infinitésimal.

Théorème 11. (Factorisation deAⁿ−Bⁿ) Soitn∈N. SI AetBsont deux matrices deMp(K) quicommutent,

"

ALORS

Aⁿ−Bⁿ = (A−B)

n−1X

k=0

A^n−1−kB^k

Aⁿ−Bⁿ = (A−B)¡

Aⁿ⁻¹+Aⁿ⁻²B+Aⁿ⁻³B²+ · · · +ABⁿ⁻²+Bⁿ⁻¹¢

Z

Démonstration 12.

∗

'

&

$

% Méthode 13. Pour calculer les puissances d’une matriceAon peut :

(1) CalculerA²,A³, . . ..

Conjecturer l’expression deAⁿ. La montrer par récurrence.

(2) DécomposerAsous la forme A=D+N oùD est diagonale etN nilpotente, c’est-à-dire qu’il existe un entierptel queN^p=0.

Puis vérifier queD N=N D.

Et enfin appliquer la formule du binôme.

(3) DiagonaliserAsous la formeA=P DP⁻¹ oùPest inversible etDest diagonale. On a alors : Aⁿ=A A· · ·A=P DP⁻¹P

| {z }

=I_n

DP⁻¹· · ·P DP⁻¹=P DD· · ·DP⁻¹=P DⁿP⁻¹.

Enfin calculerDⁿrevient à élever à la puissancenles éléments diagonaux deD.

Exercice 14.

∗ ?

SoitJ=







1 · · · 1 ... ... 1 · · · 1





∈Mn(K). CalculerJ^p.

Exercice 15.

∗∗

SoitA=





1 1 0

0 1 1

0 0 1



. CalculerA^p, pour toutp∈N.

Exercice 16.

∗∗

SoitA=1 6

µ12 4

−15 −4

¶ et P=

µ−2 −2

3 5

¶ .

1) Montrer quePest inversible et calculer son inverse.

2) CalculerP⁻¹AP.

3) En déduire l’expression deAⁿ.

1.2 Matrices triangulaires

Théorème 17. SoientAetBdes matrices triangulaires supérieures. Alors :

A+B, λ·A (λ∈K), A×B, A⁻¹ (siAest inversible), sont triangulaires supérieures.

Remarque18. De même pour des matrices triangulaires supérieures strictes, triangulaires inférieures, triangulaires inférieures strictes, diagonales.

Exercice 19.

∗∗ ?

On note TSn (resp. TSSn, TIn, TISn) l’ensemble des matrices deMn(K) triangulaires supérieures (resp. triangulaires supérieures strictes, triangulaires inférieures, triangulaires inférieures strictes).

1) Montrer que ces ensembles sont des espaces vectoriels.

2) En déterminer des bases.

3) En déduire leurs dimensions.

4) Montrer que TSn⊕TISn=Mn(K) et que TSSn⊕TIn=Mn(K).

1.3 Transposée d’une matrice Définition 20. SoitA∈Mn,p(K).

Latransposéede la matriceAest la matriceA^T∈Mp,n(K) définie par :

∀i∈[[1,p]], ∀j∈[[1,n]],

¡A^T¢

i j = Aj i.

Z

Théorème 21. SoitA etBdeux matrices de tailles convenables pour que les opérations sui- vantes aient un sens.

(i) InT

=In. (ii) ¡

A^T¢T

=A.

(iii) (A+B)^T =A^T+B^T.

(iv) (λA)^T=λA^T pourλ∈K. (v) (A B

←→)^T=B^TA^T.

"

Définition 22.

(i) Aest ditesymétrique ssi A^T=A.

Z

(ii) Aest diteantisymétrique ssi A^T = −A.

Théorème 23.

(i) Aest symétrique SSI ∀1Éi<jÉn, Aj i=Ai j.

(ii) Aest antisymétrique SSI ∀1Éi<jÉn, Aj i= −Ai j ET ∀1ÉiÉn, Ai i=0.

Figure 24.

Exercice 25.

∗∗ ?

On noteSn(K) (resp.An(K)) l’ensemble des matrices deMn(K) symétriques (resp. antisymé- triques).

1) Montrer que ces ensembles sont des espaces vectoriels.

2) En déterminer des bases.

3) En déduire leurs dimensions.

4) Montrer que Sn(K)⊕An(K)=Mn(K).

2 Pivot de Gauss

2.1 Opérations élémentaires

Définition 26. Lesopérations élémentairessur les lignes d’une matrice sont les : 1. Transvections: addition d’un multiple d’une ligne à une autre ligne,

notée Li←Li+αLj, aveci6=j et α∈K.

2. Dilatations: multiplication d’une ligne par un scalaire non nul, notée Li←αLi, avecα∈K^∗.

3. Permutations: échange de deux lignes, notée Li↔Lj, aveci6=j.

Définition 27. Deux matrices sont diteséquivalentes par lignes ssi elles se déduisent l’une de l’autre par une suite d’opérations élémentaires sur les lignes. On note : A∼

L A⁰.

2.2 Matrices échelonnées

Définition 28. On appellepivotle premier élément non nul d’une ligne.

Définition 29. La matriceAest diteéchelonnée en lignes ssi le pivot de chaque ligne se trouve à droite du pivot de la ligne précédente.

La matriceAse termine éventuellement par des lignes nulles.

Exemples30.





2 5 3 5

0 -1 2 −3

0 0 0 0



,





0 -7 3 2 6 2

0 0 3 5 −1 4

0 0 0 0 3 2



.

Définition 31. Une matrice est diteéchelonnée réduite en lignes ssi 1. elle est échelonnée en lignes,

2. tous les pivots sont égaux à 1,

3. et les autres éléments de leurs colonnes sont nuls.

Exemples32.





1 0 3 5

0 1 2 −3

0 0 0 0



,











0 1 0 2 0

0 0 1 5 0

0 0 0 0 1

0 0 0 0 0









 , I_n.

Théorème 33. Toute matrice est équivalente par lignes à une unique matrice échelonnée ré- duite en lignes, obtenue par la méthode d’élimination de Gauss-Jordan.

2.3 Méthode du pivot de Gauss

Johann Friedrich Gauß(1777-1855)est un mathématicien, as- tronome et physicien allemand.

Surnommé « le prince des mathématiciens », il est considéré comme l’un des plus grands mathématiciens de tous les temps.

Wilhelm Jordan(1842-1899)est un géodésien allemand.

'

&

$

% Méthode 34. Laméthode du pivot de Gauss ou méthode d’élimination de Gauss-Jordan, pour une

matriceA, permet :

1. en s’arrêtant à la forme échelonnée : (a) de déterminer le rang rgA:

= nb de pivots.

(b) de résoudre le système linéaireAX =B:

les inconnues principales se déterminent successivement, en partant de la dernière ligne et en remontant.

2. en allant jusqu’à la forme échelonnée réduite :

de calculer l’inverseA⁻¹, si la matrice est carrée et inversible : en partant de¡

A|In¢

on aboutira à¡

In|A⁻¹¢

. (cf. §6.4.)

Exercice 35.

∗∗

Déterminer le rang de la matriceA=











1 1 −1 1

1 −1 1 −1

3 1 −1 1

3 −1 1 −1









 .

Exercice 36.

∗∗

Résoudre le système linéaire







x+a y+a²z = 1 x+a y+abz = a bx+a²y+a²bz = a²b

3 Matrices d’endomorphismes

Dans la suite,E etF désignent des espaces vectoriels de dimension finie, munis respectivement des basesB=(e1, . . . ,en) et C=(f1, . . . ,fq).

3.1 Matrice d’un vecteur ou d’une famille de vecteurs

Définition 37. Soitxun vecteur deE. Soit (α1, . . . ,αn) ses coordonnées dans la baseB^{, c’est-} à-direx=α1e₁+· · ·+αne_n. On appellematrice du vecteur x dans la baseB la matrice colonne :

Mat_B(x) = X =











 α1

α2

... αn













Définition 38. Soientx1, . . ., xm des vecteurs de E. Soit (α1j, . . . ,αn j) les coordonnées du vecteurxj dans la base B, c’est-à-dire xj =α1je1+ · · · +αn jen. On appellematrice de la familleF=(x1, . . . ,xm) dans la baseB la matrice :

Mat_B(F) = Mat_B(x₁, . . . ,x_m) = M =













α11 α12 . . . α1m

α21 α22 . . . α2m

... ... . . . ... αn1 αn2 . . . αnm













3.2 Matrice d’un endomorphisme

Définition 39. Soituun endomorphisme deE. Soit (a_1k, . . . ,a_nk) les coordonnées du vecteur u(e_k) dans la baseB. On appellematrice de u dans la baseB la matrice carrée :

Mat_B(u) = A =













a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n

... ... . . . ... a_n1 a_n2 . . . a_nn













Exercice 40.

∗

Écrire la matrice de l’endomorphismeu:

¯

¯

¯

¯

Kn[X] → Kn[X]

P 7→ P+P⁰ dans la base canonique deKn[X] : Bc=(1,X,X², . . . ,Xⁿ).

Exercice 41.

∗∗

On considère l’endomorphismev:

¯

¯

¯

¯

R³ → R³ (x,y,z) 7→ (y,x, 0) .

1) Soita=(0, 1, 1), b=(1, 0, 1) et c=(1, 1, 0). Montrer queB=(a,b,c) est une base deR³. 2) Écrire la matrice devdans la baseB^.

3.3 Opérations

SoientEun espace vectoriel de baseB.

Théorème 42. Soient f,g∈L(E) etλ∈K. (i) Mat_B(f+g) = Mat_B(f)+ Mat_B(g).

(ii) Mat_B(λf) = λMat_B(f).

(iii) Mat_B(g◦f) = Mat_B(g) ×Mat_B(f).

Remarque43. On notef²=f ◦f. Donc : Mat_B(f²) = ¡

Mat_B(f)¢2

.

Théorème 44. Soit f ∈L(E).

f estbijective SSI Mat_B(f) estinversible.

"

Dans ce cas : Mat_B(f⁻¹) = ¡

Mat_B(f)¢−1

.

Vocabulaire : f⁻¹est l’applicationréciproque, ¡

Mat_BC(f)¢₋1

est la matriceinverse.

Théorème 45. Soit f ∈L^{(E) etx}∈E.

Mat_B¡ f(x)¢

= Mat_B(f)×Mat_B(x).

Remarque46. En notantA=Mat_B(f), X=Mat_B(x) etY =Mat_B(y), on a : y=f(x) ⇐⇒Y =A X .

3.4 Endomorphisme canoniquement associée

Définition 47. SoitA∈Mn(K). On appelleendomorphisme canoniquement associéeà la ma- triceA l’application

f_A:

¯

¯

¯

¯

Kⁿ → Kⁿ X 7→ A X

Z

Théorème 48. SoientBcla base canonique deKⁿ.

fAest l’endomorphisme canoniquement associée àA SSI Mat_Bc¡

fA¢

= A

Z

Définition 49. On appellenoyaude la matriceA: KerA = KerfA.

Remarque50.

1. KerA = ©

X∈Kⁿ/AX =0ª 2. KerAest un SEV deKⁿ.

Définition 51. On appelleimagede la matriceA: ImA = ImfA.

Remarque52.

1. ImA = Vect¡

C₁(A), . . . ,C_p(A)¢ 2. ImAest un SEV deKⁿ.

Remarque53. Le théorème du rang est vérifié pour le noyau et l’image d’une matrice : dim KerA +dim ImA = n.

Exercice 54.

∗∗

Déterminer des bases du noyau et de l’image de la matriceA=





0 1 1

1 0 −1

1 1 0



.

4 Changement de bases et matrices semblables

Dans la suite,B,B⁰etB⁰⁰désignent des bases deE etC etC⁰des bases deF.

4.1 Matrices de passage

Définition 55. On appellematrice de passage deBàB⁰la matrice carréeP_BB⁰ dont les co- lonnes sont les coordonnées des vecteurs deB⁰dans la baseB^.

Remarque56. Avec les notations de la définition 38 on a : P_BB0 = Mat_B(B^{0) .} Figure 57.

Théorème 58.

(i) P_BB=In.

(ii) P_BB⁰×P_B⁰_B⁰⁰=P_BB⁰⁰.

(iii) P_BB⁰est inversible et (P_BB⁰)⁻¹=P_B⁰_B.

4.2 Changement de base

Théorème 59. (Changement de base pour un vecteur) Soitx∈E. Alors Mat_B(x) = P_BB0 × Mat_B0(x) .

En notant X=Mat_B(x), X⁰=Mat_B⁰(x) et P=P_BB⁰ on a : X = P X⁰

Z

Théorème 60. (Changement de base pour un endomorphisme) Soitf ∈L^{(E). Alors Mat}_B^(f) = P_B,B0 ×Mat_B0(f) ×P_B0,B .

En notant A=Mat_B(f), A⁰=Mat_B⁰(f) et P=P_BB⁰ on a : A = P A⁰P⁻¹

Z

Pour retenir ces deux théorèmes, on peut remarquer que « les primes se touchent ».

4.3 Matrices semblables

Définition 61. On dit que les matrices carréesAetBsontsemblables ssi il existePinversible telle que : A=P B P⁻¹.

Z

Théorème 62.

Z

Démonstration 63.

∗∗

5 Rang

5.1 Définition

Définition 64. On appellerangdeA: rgA = rg¡

C1(A), . . . ,Cp(A)¢

Z

5.2 Propriétés

Théorème 65. SoitA∈Mnp(K).

(i) rgAÉp.

(ii) rgAÉn.

Théorème 66. rgA = rg¡ A^T¢

.

Remarque67. Donc rgA = rg¡

L₁(A), . . . ,L_n(A)¢ .

5.3 Invariance

Théorème 68.

(i) SI ^{Pestinversible} ALORS ^{rg (P A)}=rgA.

(ii) SI ^Qestinversible ALORS ^{rg (A Q})=rgA.

Corollaire :

Théorème 69. SI ^AetBsont semblables ALORS ^rgA=rgB.

6 Matrices inversibles

Dans toute la suite,AetBdésignent des matrices carrées deMn(K).

6.1 Notation

Définition 70. On note GLn(K) l’ensemble des matrices inversibles deMn(K).

On l’appelle legroupe linéaire.

6.2 CNS d’inversibilité

Théorème 71. (13 CNS d’inversibilité) Aest inversible SSI ^detA6=0

SSI ^rgA=n

SSI ∃B∈Mn(K) tq A B=In (dans ce casB=A⁻¹) SSI ∃C∈Mn(K) tq C A=In (dans ce casC=A⁻¹) SSI les colonnes deAforment une base deKⁿ SSI les lignes deAforment une base deKⁿ

SSI la forme échelonnée réduite en lignes deAestIn, c’est-à-direA∼

L In

SSI KerA={0}

SSI ^ImA=Kⁿ

SSI le système linéaireAX=B admet une unique solution pourB∈Kⁿ fixé (dans ce cas, cette solution estX=A⁻¹B)

SSI l’endomorphisme fA:

¯

¯

¯

¯

Kⁿ → Kⁿ

X 7→ A X canoniquement associé àAest bijectif SSI ^A=Mat_B(f) oùf est un endomorphisme bijectif ¡

dans ce casA⁻¹=Mat_B¡ f⁻¹¢ ¢

SSI Aest une matrice de passage.

6.3 Propriétés

Théorème 72. SI AetBsont deux matrices deMn(K) inversibles ALORS (i) A B est inversible et (A B)⁻¹ = B⁻¹A⁻¹.

"

(ii) A⁻¹est inversible et ¡ A⁻¹¢₋₁

= A.

(iii) A^T est inversible et ¡ A^T¢−1

= ¡ A⁻¹¢T

.

6.4 Calcul de l’inverse '

&

$

% Méthode 73. Pour calculer l’inverse d’une matrice (inversible) on peut :

(1) SiA= µa c

b d

¶

alors A⁻¹ = 1 ad−bc

µd −c

−b a

¶ .

(2) Effectuer la méthode d’élimination de Gauss-Jordan sur (A|In).

(3) Utiliser une relation polynomiale surApour obtenirA B=In.

Exercice 74.

∗

Montrer que la matriceA=

µ0 −1

1 0

¶

est inversible et calculer son inverse.

Exercice 75.

∗∗

Montrer que la matriceA=





1 0 1

1 1 0

0 1 1



 est inversible et calculer son inverse.

Exercice 76.

∗∗

SoitA=





2 −1 2

5 −3 3

−1 0 −2



. Calculer (A+I3)³, en déduire queAest inversible et calculer son inverse.

7 Trace

7.1 Définition

Définition 77. LatracedeAest la somme de ses éléments diagonaux : TrA =

n

X

i=1

Ai i

Z

7.2 Propriétés

Théorème 78. TrA = Tr¡ A^T¢

.

Théorème 79. Tr :

¯

¯

¯

¯

Mn(K) → K

A 7→ TrA est une forme linéaire.

Démonstration 80.

∗

Théorème 81. Tr (A B) = Tr (B A).

Z

Démonstration 82.

∗∗ ?

Exercice 83.

∗∗ ?

Peut-il exister deux matrices carrées de taillen×n telles queAB−B A=In?

Théorème 84. SI AetBsont semblables ALORS TrA=TrB.

Démonstration 85.

∗ ?

|{z}

AP⁻¹

| {z }

←→

´

= Tr³ AP⁻¹

| {z } P

|{z}

´

=Tr¡ A I_n¢

= Tr (A).

"

Définition 86. SoitEun espace vectoriel de dimension finie et soitu∈L(E).

Latracedeuest : Tr(u) = Tr¡

Mat_B(u)¢

oùBest une base quelconque deE.

Remarque87. Le théorème précédent justifie cette définition, puisque pour une autre baseB⁰ deE, Mat_B⁰(u) et Mat_B(u) sont semblables, donc ont même trace.

Exercice 88.

∗∗ ?

SoitEun espace vectoriel de dimensionn et soitpun projecteur de rangr.

1) Écrire la matrice de p dans une base adaptée à la décomposition en somme directe E=Kerp⊕Imp.

2) En déduire la trace dep.

8 Matrices par blocs

8.1 Opérations par blocs Théorème 89. SoitM=

µ A B

C D

¶ , M⁰=

µ A⁰ B⁰ C⁰ D⁰

¶

et λ∈K.

Si les dimensions des blocs conviennent, on peut effectuer les opérations par blocs suivantes : (i) λM =

µ λA λB λC λD

¶ .

(ii) M+M⁰ =

µ A+A⁰ B+B⁰ C+C⁰ D+D⁰

¶ .

(iii) M×M⁰ =

µ A A⁰+BC⁰ AB⁰+B D⁰ C A⁰+DC⁰ C B⁰+DD⁰

¶ .

(iv) M^T =

µ A^T C^T B^T D^T

¶

"

Remarque90. Ces règles de calcul se généralisent à un nombre quelconque de blocs.

Exemple91.





1 4 7

2 5 8

3 6 9





T

=





1 2 3

4 5 6

7 8 9



. On a bien : µ1 4

2 5

¶^T

= µ1 2

4 5

¶ ,

µ7 8

¶^T

=¡ 7 8¢

, etc.

Exercice 92.

∗∗

Soitn∈N^∗ etJ=

µ 0 −In

In 0

¶

où 0 désigne la matrice nulle etInla matrice unité deMn(R).

On appelle groupe symplectique l’ensemble Sp_2n(R)=©

M∈M2n(R)±

M^TJ M=Jª . 1) Montrer queJ²= −I_2n.

2) Montrer que pour toutU∈GLn(R), L=

à U 0

0 ¡ U^T¢₋1

!

∈Sp_2n(R).

8.2 SEV stables

Soituun endomorphisme deE etFun SEV deE.

Définition 93. On dit queFeststable par u ssi ∀x∈F, u(x)∈F.

Z

Remarque94. Cela s’écrit aussi : u(F)⊂F.

Exercice 95.

∗∗ ?

Soituetvdeux endomorphismes d’un espace vectorielE.

Montrer que siuetvcommutent, c’est-à-direu◦v=v◦u, alors Keruet Imusont stables parv.

Théorème 96. SoitB=(e1, . . . ,ep) une base deF. Fest stable paru SSI ∀i∈[[1,p]], u(e_i)∈F.

Démonstration 97.

∗∗

Exercice 98.

∗

Trouver un plan stable pour l’endomorphisme canoniquement associé à la matrice M=











1 0 2 0

2 1 0 −1

−1 0 1 0

1 1 1 1









 .

Définition 99. SiFest stable paru, alors on appelleendomorphisme induit parusurF l’en- domorphismeuF:

¯

¯

¯

¯

F → F

x 7→ u(x) .

Z

Théorème 100. SoitB=(B1,B2) une base deE adaptée àF, c’est-à-dire telle queB1soit une base deF.

Fest stable paru SSI ^Mat_B^(u)=

µ A B 0 D

¶

Z

Dans ce cas, A=Mat_B1(uF).

Démonstration 101.

∗∗

Exemple102. Soit l’endomorphismeu:

¯

¯

¯

¯

R³ → R³

(x,y,z) 7→ (x+y+z,y+z,z) . On noteBc=(e1,e2,e3) la base canonique deR³.

1. Mat_Bc(u)=





1 1 1

0 1 1

0 0 1



.

2. Le SEVF=Vect(e₁,e₂) est bien stable paru, en effet :

u(e1)=u((1, 0, 0))=(1, 0, 0)=e1∈F et u(e2)=u((0, 1, 0))=(1, 1, 0)=e1+e2∈F.

3. Bc=(e1,e2,e3) est un base deR³adaptée àF, carB1=(e1,e2) est une base deF. On a bien : Mat_B1(uF)=

µ1 1 0 1

¶

, car uF(e1)=u(e1)=e1 et uF(e2)=u(e2)=e1+e2.

Théorème 103. SoitB=(B1,B2) une base deE adaptée à la décomposition en somme directeE=F1⊕F2, c’est-à-dire telle queB1soit une base deF1 etB2soit une base deF2. F1etF2sont stables paru SSI Mat_B(u)=

µ A1 0 0 A2

¶

Z

Dans ce cas,A1=Mat_B1¡ uF1

¢ etA2=Mat_B1¡ uF2

¢.

Exercice 104.

∗

Soit l’endomorphismeu:

¯

¯

¯

¯

R⁴ → R⁴

(x,y,z,w) 7→ (y,x,w,z) . 1) Écrire la matrice deudans la base canonique deR⁴.

2) En déduire l’existence de deux SEVFetGstables paru, autres queR⁴et© 0ª

. 3) Montrer que les endomorphismes induitsuFetuGsont des symétries.

9 Déterminant d’une matrice carrée

Définition 105. Ledéterminant des matrices carrées de taillen×n est l’unique application det :Mn(K)→K vérifiant les trois propriétés suivantes :

Z

(i) det estlinéaire par rapport à chacune des colonnes (det estn-linéaire) pour touti∈[[1,n]],

det³ C1

¯

¯

¯. . .¯

¯¯λX+Y¯

¯

¯

| {z }

colonnei

. . .¯

¯

¯Cn

´

= λdet³ C1

¯

¯

¯. . .¯

¯

¯X¯

¯

¯

|{z}

col.i

. . .¯

¯

¯Cn

´

+ det³ C1

¯

¯

¯. . .¯

¯

¯Y¯

¯

¯

|{z}

col.i

. . .¯

¯

¯Cn

´.

(ii) det est antisymétrique par rapport aux colonnes : pour tousi6=j∈[[1,n]],

det³ C₁¯

¯

¯. . .¯

¯

¯X¯

¯

¯

|{z}

col.i

. . .¯

¯

¯Y¯

¯

¯

|{z}

col.j

. . .¯

¯

¯Cn

´

= −det³ C₁¯

¯

¯. . .¯

¯

¯Y¯

¯

¯

|{z}

col.i

. . .¯

¯

¯X¯

¯

¯

|{z}

col.j

. . .¯

¯

¯Cn

´.

(iii) det (In)=1.

Théorème 106. (Déterminant1×1)

¯

¯a¯

¯ = a.

Théorème 107. (Règle du gamma pour un déterminant2×2)

¯

¯

¯

¯ a c b d

¯

¯

¯

¯ = ad−bc.

Théorème 108. (Règle de Sarrus pour un déterminant3×3)

¯

¯

¯

¯

¯

¯

a b c d e f g h i

¯

¯

¯

¯

¯

¯

= aei +d hc + g b f −g ec − ah f −d bi.

"

Pierre-Frédéric Sarrus(1798-1861)est un mathématicien fran- çais. Il est surtout célèbre auprès des étudiants en mathéma- tiques pour une règle de calcul des déterminants de taille trois, qui porte son nom.

10 Propriétés du déterminant

10.1 Premières propriétés

Théorème 109. SoitA∈Mn(K) et λ∈K.

(i) Le déterminant d’une matrice ayant une colonne (ou une ligne) nulle est nul.

(ii) Le déterminant d’une matrice ayant deux colonnes (ou deux lignes) égales est nul.

(iii) det¡ A^T¢

= detA.

(iv) det (λA) = λⁿdetA.

"

10.2 Opérations élémentaires sur les lignes ou les colonnes Théorème 110. Le déterminant est :

(i) inchangé si on ajoute à une colonne une combinaison linéaire des autres colonnes.

Z

De même pour les lignes.

Théorème 111. Un déterminant triangulaire est égal au produit des éléments diagonaux.

Z

Exemple112. detIn=1.

Méthode 113. Par une suite d’opérations élémentaires sur les lignes ou les colonnes, on essaie

d’obtenir un déterminant triangulaire.

Exercice 114.

∗

Calculer∆=

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

1 1 1 1

1 3 5 7

1 2 3 3

0 1 0 1

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯ .

Exercice 115.

∗∗

CalculerD=

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

a1 a1 a1 · · · a1

a1 a2 a2 · · · a2

a₁ a₂ a₃ · · · a₃ ... ... ... . .. ...

a1 a2 a3 · · · an

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯ .

10.3 Développement par rapport à une colonne ou une ligne Théorème 116. (Développement par rapport à laj-ième colonne)

Pour tout A ∈Mn(K), on note Aei j la matrice obtenu en supprimant dans la matrice A la i-ième ligne et la j-ième colonne. On a :

detA =

n

X

i=1

(−1)^i+j ai j×detAei j.

Z

On retiendra que (−1)^i+j = (−1)^{noligne + nocolonne} .

Remarque117. On peut de façon analogue développer un déterminant par rapport à sai-ième ligne.

Exemple118. Développer∆=

¯

¯

¯

¯

¯

¯

a b c d e f g h i

¯

¯

¯

¯

¯

¯

par rapport à la 2^ecolonne.

'

&

$

% Méthode 119. Après développement par rapport à une colonne ou une ligne d’un déterminantDn

d’ordre n, on peut obtenir une relation de récurrence entre D_n et D_n−1 voire entre D_n, D_n−1 etD_n−2.

Exercice 120.

∗∗

Soit un entiernÊ1. On considère le déterminant d’ordrensuivant :

D_n=

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

2 −1 0 · · · 0

−1 2 −1 . .. ... 0 −1 . .. ... 0 ... . .. ... 2 −1 0 · · · 0 −1 2

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯ 1) Déterminer une relation de récurrence entreDn,Dn−1etDn−2. 2) ExprimerDnen fonction den.

'

&

$

% Méthode 121. Si la somme des éléments de chaque ligne est identique :

1. On ajoute toutes les colonnes à la 1^recolonne.

2. Puis par des opérations élémentaires sur les lignes, on remplit la 1^recolonne de zéros.

3. Enfin on développe par rapport à la 1^recolonne.

Exercice 122.

∗

CalculerD=

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

0 a b c

a 0 b c a b 0 c a b c 0

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯ .

Théorème 123.

Soit la matriceA=(ai j).

detA est obtenu par additions, multiplications et changements de signes des élémentsai j.

Démonstration 124.

∗∗

Remarque125. Les étudiants de MPSI connaissent une formule plus précise mais très compliquée : detA = X

σ∈Sn

ε(σ)a_1σ(1). . .anσ(n) où ε(σ)= ±1 et σest une permutation de [[1,n]].

Méthode 126. Pour calculer le déterminant de A=¡

a_{i j}¢

on peut introduire une indéterminéX dans les coefficientsai jet utiliser le fait que detAest alors un polynôme enX.

Exercice 127.

∗∗ ?

Calculer le déterminant de taillen×n suivant, où (a,b,c)∈C³ tels queb6=c:

δ=

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

a b b . . . b c a b . . . b

c c a b

... ... . .. ...

c c c . . . a

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯ .

10.4 Déterminant d’un produit, d’un inverse Théorème 128. SoientA,B∈Mn(K).

(i) det (A B) = detA×detB.

Z

(ii) Aest inversible SSI ^detA6=0.

Dans ce cas, det¡ A⁻¹¢

= 1 detA.

10.5 Déterminants triangulaires par blocs

Théorème 129. SoientA∈Mn(K) etD∈Mp(K) des matrices carrées et soitC∈Mnp(K).

¯

¯

¯

¯ A C 0 D

¯

¯

¯

¯ = detA×detD.

Z

Ce résultat est aussi valide pour un déterminant triangulaireinférieur par blocs.

AT TENTION:

"

"

Exemple130. CalculerD=

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

1 −1 3 4

1 1 2 3

0 0 1 −1

0 0 1 1

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯ .

Remarque131. Ces règles de calcul se généralisent à un nombre quelconque de blocs :

det













A₁ ∗ . . . ∗ 0 A₂ . . . ∗ ... ... . .. ...

0 0 . . . As













= detA1× · · · ×detAs où les matricesAisont carrées.

11 Déterminant de Vandermonde

Alexandre-Théophile Vandermonde (1735-1796) est un ma- thématicien français. Il fut aussi économiste, musicien et chi- miste, travaillant notamment avec Étienne Bézout et Antoine Lavoisier.

Définition 132. On appelledéterminant de Vandermonde:

V(a1, . . . ,an)=

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

1 a1 a₁² . . . a₁ⁿ⁻¹ 1 a2 a₂² . . . a₂ⁿ⁻¹

... ... ... ... 1 an a²_n . . . a_nⁿ⁻¹

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

Z

Théorème 133. V(a1, . . . ,an) = Y

1Éi<jÉn

¡aj−ai¢

Z

Exemple134.

• Pourn=2 : V(a₁,a₂) = a₂−a₁.

• Pourn=3 : V(a1,a2,a3) = (a2−a1) (a3−a1) (a3−a2).

• Pourn=4 : V(a1,a2,a3,a4) = (a2−a1) (a3−a1) (a3−a2) (a4−a1) (a4−a2) (a4−a3).

Démonstration 135.

∗∗∗ ?

Corollaire :

Théorème 136. V(a1, . . . ,an) 6= 0 SSI ^lesa1, . . .,an sont distincts 2 à 2.

Exercice 137.

∗∗

Déterminer une CNS sur (a,b,c,d)∈C⁴ pour que

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

1 2a+3 3a²+4a 4a³+5a² 1 2b+3 3b²+4b 4b³+5b² 1 2c+3 3c²+4c 4c³+5c² 1 2d+3 3d²+4d 4d³+5d²

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯ 6= 0.

12 Déterminant d’une famille de vecteurs

Dans toute la suite,Edésigne un espace vectoriel de dimensionn.

Définition 138. On appelledéterminant dans la baseBde la famille de vecteurs (x1, . . . ,xn) :

det_B(x₁, . . . ,x_n) =

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

a11 . . . a1n

... ... an1 . . . ann

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

où pour toutj∈[[1,n]],





 a_1j

... an j





sont les coordonnées du vecteursx_jdans la baseB^.

Remarque139. det_B(x1, . . . ,xn)=det¡

Mat_B(x1, . . . ,xn)¢ .

Théorème 140. SoitBune base deE.

La famille (x1, . . . ,xn) est une base deE SSI det_B(x1, . . . ,xn)6=0.

Z

Exercice 141.

∗

Déterminer les valeurs des paramètres réelsa,betcpour lesquels la famille F=¡

X², X²+X+1,a X²+b X+c¢

est une base deR2[X].

13 Déterminant d’un endomorphisme

Théorème 142. SI ^AetBsont semblables ALORS ^detA=detB.

Démonstration 143.

∗

Définition 144. Ledéterminantd’un endomorphismeudeEest : detu = det¡

Mat_B(u)¢

oùBest une base quelconque deE.

Remarque145. Le théorème précédent justifie cette définition, puisque pour une autre baseB⁰ deE, Mat_B0(f) et Mat_B(f) sont semblable, donc ont même déterminant.

Théorème 146. Soitf etgdes endomorphismes deE etλ∈K.

(i) det (idE)=1.

(ii) det¡ λf¢

=λⁿ×detf. (iii) det¡

f◦g¢

=detf×detg.

(iv) f est bijectif SSI detf 6=0.

Dans ce cas, det¡ f⁻¹¢

= 1 detf .

Exercice 147.

∗

Montrer que l’endomorphismeu:Rn[X]→Rn[X] défini paru(P)=X P⁰+P(1) est bijectif, à l’aide d’un déterminant.

L

Pour le poly :

"

Z

Pour les exercices et les démonstrations :

∗ ∗∗ ∗∗∗

Ï Application d’une méthode fondamentale

?