Chapitre 3 Matrices

(1)

Chapitre 3 Matrices

19

(2)

20 CHAPITRE 3. MATRICES

3.1 Op´ erations sur les matrices

3.1.1 G´ en´ eralit´ es

D´ efinition. Soient p, n ≥ 1 des entiers, une matrice p × n est un tableau de nombres avec p lignes et n colonnes : A = (a

ij

) =



 

a

11

a

12

· · · a

1n

... ... ...

a

p1

a

p2

· · · a

pn



  .

L’ensemble des matrices décrites ci-dessus (i.e. matrices à p lignes et n colonnes) sera noté M

^p,n

( K ). L’ensemble des matrices carr´ees sera not´e M

ⁿ

( K ).

Exemples : matrices 2 × 3.. a

21

=..., vecteurs colonnes, vecteurs lignes...

D´ efinition. On dit que 2 matrices A et B sont ´egales ssi a

ij

= b

ij

. Si A et B sont deux matrices de M

^p,n

( K ), on d´efinit la somme A + B = (a

ij

+ b

ij

) et le produit par un scalaire λA = (λa

ij

).

Exemples :...

Th´ eor` eme. L’ensemble M

p,n

( K ) muni des deux lois que l’on vient de d´efinir est un espace vectoriel.

Une base de cet espace vectoriel est donn´ee par la famille (E

ij

)

(i,j)∈[1,p]×[1,n]

o` u la matrice E

ij

est la matrice qui ne comporte que des 0 et un unique 1 `a l’intersection de la i

^eme

ligne et de la j

^ieme

colonne.

On obtient alors dim M

^p,n

( K ) = np.

D´ efinition. (Produit matriciel) Si A ∈ M

q,p

( K ), B ∈ M

p,n

( K ) on d´efinit le produit C = A · B ∈ M

q,n

( K ) par

c

ij

= '

p

k=1

a

ik

b

k,j

.

Pr´esentation pratique :

( b

kj

↓ )

* a

ik

→ +

(c

_ij

)

Remarque : attention au taille des matrices. Le produit n’est d´efini que si le nombre de colonne de A est ´egal au nombre de la ligne de B ! ! !

Exemples :...

Proposition. Les opérations sur les matrices vérifient les règles suivantes :

(3)

1. (distributivit´e) A(B + C) = AB + AC et (A + B)C = AC + BC 2. (associativit´e) (AB)C = A(BC)

3. (compatibilit´e) α(AB) = (αA)B = A(αB).

Exemples : matrices nulle et identit´e.

D´ efinition.

(i) (a

ij

) est une matrice triangulaire sup´erieure ssi i > j ⇒ a

_ij

= 0, i.e.A =

, . .. ∗ 0 . ..

- .

(ii) (a

ij

) est une matrice triangulaire inf´erieure ssi i < j ⇒ a

_ij

= 0, i.e.A =

, . .. 0

∗ . ..

- .

Proposition. L’ensemble des matrices triangulaires sup´erieures est une sous- alg`ebre de M

n

( K ) (en particulier, le produit de matrices triangulaires su- périeures est triangulaire supérieure). Il en est de même pour les matrices triangulaires inférieures.

Exercice : montrer la proposition pr´ec´edente.

D´ efinition. Si A ∈ M

p,n

( K ), on d´efinit A

^#

∈ M

n,p

( K ), matrice transpos´ee de A par a

^#_ij

= a

_ji

. Elle sera not´ee par A

^T

ou

^t

A. Proposition. L’application transpos´ee : A (→ A

^T

est un isomorphisme de M

^p,n

( K ) sur M

^n,p

( K ), i.e. :

(A + B)

^T

= A

^T

+ B

^T

et (λA)

^T

= λA

^T

.

C’est de plus une pseudo-involution (son carr´e est l’identit´e : (A

^T

)

^T

= A).

Proposition. (AB)

^T

= B

^T

A

^T

.

Exercice : montrer les deux propositions pr´ec´edentes.

Remarque : Si X et Y sont des matrices unicolonnes `a n lignes, le produit matriciel Y

^T

X = .

n

i=1

y

i

x

i

repr´esente en fait le produit scalaire entre X et Y .

D´ efinition. Dans M

ⁿ

( K ), A est sym´etrique ssi A

^T

= A et A est anti-

sym´etrique ssi A

^T

= − A

(4)

22 CHAPITRE 3. MATRICES

Proposition. On a M

n

( K ) = S

n

⊕ A

n

, o` u S

n

d´esigne l’ensemble des matrices sym´etriques et A

ⁿ

d´esigne l’ensemble des matrices anti-sym´etriques.

Exercices : (i) Si A =



 



α 1 0 0

0 α 0 0

0 0 β 1

0 0 1 β



 

 et B =



 



α 0 0 0

1 α 0 0

0 0 β 0

0 0 1 β



 

 , calculer A

²

, ABA et B

³

.

(ii) Si M =

* 1 2 0 1 +

et N = M

^T

alors prouver que M

^α

N

^β

= I

2

o` u (α, β) ∈ Z

²

implique α = β = 0.

3.1.2 Syst` eme d’´ equations et inversion de matrice

D´ efinition. Soit M ∈ M

ⁿ

( K ). On dit que M est inversible ssi il existe N ∈ M

n

( K ) tel que M N = N M = I

n

. On note alors N = M

⁻¹

.

Th´ eor` eme. L’ensemble des matrices carr´ees d’ordre n sur K inversible est un groupe pour la multiplication des matrices.

Cet ensemble est not´e GL

n

( K ).

Les matrices permettent de compacter des formules et donc de manipuler de fa¸con plus efficace. Considérons un système d’équation du type

 



 

a

11

x

1

+ . . . + a

1n

x

n

= b

1

. . .

a

p1

x

1

+ . . . + a

pn

x

n

= b

p

On peut réécrire un tel système sous forme de matrice en posant :

A := (a

ij

, X :=



  x

1

...

x

_n



  et b :=



  b

1

...

b

_p



 

et le système est alors équivalent à :

AX = b.

Un int´erˆet clair du calcul de l’inverse d’une matrice (quand il existe) est

la résolution de ce système linéaire. En effet, si A est inversible, la solution

de AX = b est donc X = A

⁻¹

b.

(5)

Remarque : Calcul pratique de M

⁻¹

. Soit M ∈ M

n

( K ), on prend x et y des vecteurs dans K

ⁿ

tels que M x = y. On r´esout alors n ´equations

`a n inconnues (x

1

, x

2

, . . . , x

n

) pour trouver x en fonction de y (par pivot de Gauss). On trouve alors une matrice N telle que N y = x et nous avons alors M

⁻¹

= N .

Exercice : si M =



 0 1 1 1 0 1 1 1 0



, calculer M

⁻¹

.

3.2 Matrices et applications lin´ eaires

3.2.1 Repr´ esentation matricielle

La repr´esentation matricielle n’est pas canonique, elle d´epend des bases choisies.

– Syst`emes de vecteurs : si x

j

= .

p

i=1

a

ij

e

i

, alors A = (a

ij

) est la matrice des vecteurs (x

j

) dans la base des (e

i

) (on ´ecrit les composantes des vecteurs x

j

dans chaque colonne).

– Application lin´eaire : si f(e

j

) = .

p

i=1

a

ij

e

^#_i

o` u (e

j

) est une base de E, (e

^#_i

) est une base de F, alors A est la matrice de f dans les bases (e

j

) et (e

^#_i

) que l’on peut ´ecrire M (f, (e

j

), (e

^#_i

)).

– Traduction de y = f(x), o` u y ∈ F , x ∈ E, f ∈ L

K

(E, F ), les bases de E et F ´etant choisies, on peut ´ecrire Y = AX avec A = M(f, (e

j

), (e

^#_i

)), Y = M (y, (e

^#_i

)) et X = M (x, (e

j

)).

Proposition. L’application f ∈ L (E, F ) (→ M (f, (e

j

), (e

^#_i

)) ∈ M

p,n

( K ) est un isomorphisme.

Th´ eor` eme. M (f ) est inversible ssi f ∈ GL (E) et M (f

⁻¹

) = M (f )

⁻¹

. En g´en´eral, M (f ◦ g) = M(f ) · M(g).

Application : une matrice est inversible ssi la famille des vecteurs colonnes (ou vecteurs lignes) est libre.

3.2.2 Changement de base

D´ efinition. Si ε

_j

= .

n

i=1

p

_ij

e

_i

alors P = (p

_ij

) est la matrice de passage de la base (e

i

)

i∈[1,n]

`a la base (ε

j

)

j∈[1,n]

. Les colonnes de P sont les composantes de la nouvelle base dans l’ancienne.

Th´ eor` eme. Soit X la matrices des coordonn´ees de x dans la base (e

i

), X

^#

la matrice des coordonn´ees de x dans la base (ε

j

) alors on a la relation

(6)

24 CHAPITRE 3. MATRICES

X = P X

^#

, c.a.d. on obtient les anciennes coordonn´ ees en fonction des nouvelles.

Dans L (E, F ) : soit P la matrice de changement de base de (e

_i

) `a (ε

_i

) dans E, Q la matrice de changement de base de (e

^#_j

) `a (ε

^#_j

) dans F .

Th´ eor` eme. Si A = M (f, e

_i

, e

^#_j

) et B = M (f, ε

_i

, ε

^#_j

) alors B = Q

⁻¹

AP . D´ efinition. Si (A, B ) ∈ M

²p,n

( K ), on dit que A et B sont ´equivalentes ssi

∃ (R, S) ∈ GL

p

( K ) × GL

n

( K ) tel que B = RAS.

D´ efinition. Si (A, B) ∈ M

²n

( K ), on dit que A et B sont semblables ssi il existe P ∈ GL

n

( K ) tel que B = P

⁻¹

AP (A et B sont les matrices d’un mˆeme endomorphisme mais dans des bases diff´erentes).

Exercices :

– Chercher la matrice de f : P (X) ∈ R

ⁿ

[X] (→ P (X + a) dans la base canonique de R

ⁿ

[X].

– Montrer l’´equivalence A · B = I

n

⇔ A = B

⁻¹

. – Dans R

ⁿ

[x], on pose e

k

= X

^k

(1 − X)

^n−k

, inverser P =



 

  C

_n⁰

C

_n¹

C

_n⁰₋₁

0 ... . ..

C

_nⁿ

C

_n−1ⁿ⁻¹

C

₀⁰



 

  .

3.3 Rang d’une matrice

D´ efinition. Si A ∈ M

^p,n

( K ) on d´efinit le rang de A comme ´etant le rang des vecteurs colonnes de A dans K

^p

.

Proposition. Si A = M (f) o` u f ∈ L (E, F ) alors Rg (A) = Rg (f ).

Th´ eor` eme. Rg (A) = r ⇔ A ´equivalente `a

* I

r

0 0 0

+ .

Corollaire. A et B sont ´equivalentes dans M

p,n

( K ) ssi Rg (A) = Rg (B).

Proposition. On a Rg (A

^T

) = Rg A.

(7)

3.4 Matrices et sous-espaces stables

Objectif : si E = V ⊕ W , on veut réduire l’étude de f ∈ L (E) à l’étude de f sur V et sur W qui sont plus simples.

D´ efinition. Soit V ⊂ E un sous-espace vectoriel de E. Soit f ∈ L (E), on dit que V est stable par f ssi f (V ) ⊂ V , c.a.d. ∀ x ∈ V, f(x) ∈ V .

Exemple fondamental : Ker (f ) et Im (f) sont stables par f . Exercice : démontrer l’exemple précédent.

Proposition. Si V est stable par f, alors f |

^V

d´efinit un endomorphisme de L (V ).

Th´ eor` eme. Si u ∈ L (E), v ∈ L (E ) et que u ◦ v = v ◦ u, alors Ker u et Im u sont stables par v.

Exercice : démontrer le théorème précédent.

Traduction matricielle

Proposition. Soit f ∈ L (E) et soit V ⊂ E un sous-espace vectoriel (de di- mension r) stable par f . Soit W un supplémentaire de V dans E (c.a.d. V ⊕ W = E). Soit b une base adaptée à V ⊕ W = E (i.e. b = (b

1

, . . . , b

r

, b

r+1

, . . . , b

n

) o` u b

_V

= (b

₁

, . . . , b

_r

) est une base de V , et (b

_r+1

, . . . , b

_n

) une base de W ), alors M (f, b, b) est de la forme *

A B

0 C

+

o` u A = M (f |

^V

, b

V

, b

V

).

Remarque : si W est stable par f alors B = 0.

Proposition. Soit f ∈ L (E), si V

1

, . . . , V

p

sont des sous-espaces vectoriels tels que V

₁

⊕ · · · ⊕ V

_p

= E et ∀ i V

_i

est stable par f, alors

M (f, b, b) =



 

 

M (f |

^V1

) 0

M (f |

V2

) . ..

0 M (f |

Vp

)



 

 

avec b une base adapt´ee `a la somme V

1

⊕ · · · ⊕ V

p

= E.

(8)

26 CHAPITRE 3. MATRICES

Calcul matriciel par blocs

· * A

^#

B

^#

C

^#

D

^#

+

* A B C D

+

=

* AA

^#

+ BC

^#

AB

^#

+ BD

^#

CA

^#

+ DC

^#

CB

^#

+ DD

^#

+

Attention : le sens est important ici, en effet en g´en´eral AB

^#

0 = B

^#

A. Attention : il faut que les dimensions des blocs soient compatibles ! ! !

Sommes directes et constructions d’applications lin´ eaires

Th´ eor` eme. Soit V ⊕ W = E. Soit f ∈ L (V ) et g ∈ L (W ). Il existe une unique application lin´eaire ϕ ∈ L (E) telle que ϕ |

^V

= f et ϕ |

^W

= g.

Si x ∈ E, ∃ !x

_V

∈ V et x

_W

∈ W tels que x = x

_V

+ x

_W

et alors ϕ(x) = f(x

V

) + g(x

W

).

3.5 Le cas particulier des projections et des sym´ etries

Si p est une projection (p ◦ p = p), alors E = Im (p) ⊕ Ker (p) (voir DM1).

Ker p et Im p sont stables par p. De plus p |

Kerp

= 0 et p |

Imp

= Id. Nous avons donc dans une base adapt´ee

M (p) =

* Id 0 0 0 +

. Nous remarquons que Tr (p) = dim(Im p).

Si s est une sym´etrie (s ◦ s = Id), alors E = Ker (s − Id) ⊕ Ker (s+Id) (voir DM1). Ker (s − Id) et Ker (s + Id) sont stables par s. De plus s |

^{Ker (s}−Id)

= Id et s |

Ker (s+Id)

= − Id. Nous avons donc dans une base adapt´ee

M (p) =

* Id 0 0 − Id

+ .

Nous remarquons que Tr (s) = dim(Ker (s − Id)) − dim(Ker (s + Id)).

(9)

3.6 Endomorphisme trigonalisable/diagonalisable

D´ efinition. Une matrice A est dite trigonalisable ssi elle est semblable `a une matrice triangulaire sup´erieure, i.e ssi il existe P ∈ GL

n

( K ) tel que A = P T P

⁻¹

avec T triangulaire sup´erieure.

Autrement dit, un endomorphisme est trigonalisable s’il existe une base dans laquelle sa matrice est triangulaire sup´erieure, c.a.d. tel que f(e

i

) ∈ Vect(e

1

, . . . , e

i

), ∀ i = 1..n.

D´ efinition. Une matrice A est dite diagonalisable ssi elle est semblable `a une matrice diagonale, i.e ssi il existe P ∈ GL

n

( K ) tel que A = P DP

⁻¹

avec D diagonale (d

ij

= 0 si i 0 = j).

Autrement dit, un endomorphisme est diagonalisable s’il existe une base

dans laquelle sa matrice est diagonale, c.a.d. tel que f (e

i

) = λ

i

e

i

, ∀ i = 1..n.