Master 1 MEEF 2014-2015 Universit´e Claude Bernard Lyon 1 CAPES Externe
UE 2 Epreuve sur dossier´
DOSSIER
Alg` ebre 8 Th` eme Matrices
L’exercice propos´e au candidat Dans une r´eaction chimique impliquant deux composants A et B, on sait qu’`a chaque minute, 60% du compos´e A ne r´eagit pas, le reste se transformant en B, tandis que seul 30% du compos´e B se transforme en A. Aucun autre compos´e n’est produit lors de la r´eaction. On consid`ere deux suites de nombres r´eels (un) et (vn) donnant les quantit´es en grammes des compos´es n minutes apr`es le d´ebut de la r´eaction, la masse totale des deux compos´es ´etant de 900 grammes.
1. Dans cette question seulement, on suppose qu’on dispose au d´epart de 450 grammes de compos´e A.
(a) `A l’aide d’un tableur, pr´eparer sur une feuille de calcul trois colonnes intitul´ees respectivement n, (un) et (vn).
(b) Entrer en deuxi`eme ligne les valeurs initiales de n, (un) et (vn).
(c) Compl´eter les cellules de la troisi`eme ligne pour pouvoir, par recopie, simuler l’´evolution des suites (un) et (vn) en fonction de n.
(d) En d´eduire u20et v20.
2. Apr`es 3 minutes d’exp´erience, un dosage fait apparaitre que la masse du compos´e A est en fait de 378 grammes. En proc´edant par essais et erreurs, retrouver les masses initiales de chaque compos´e en d´ebut de r´eaction.
Un extrait du manuel Odyss´ee terminale S sp´ecialit´e (Hatier 2012)
Dans une r´eaction chimique impliquant deux compos´es A et B, on sait qu’`a chaque minute, 60% du compos´e A ne r´eagit pas, le reste se transformant en B, tandis que seul 30% du compos´e B se transforme en A. Aucun autre compos´e n’est produit lors de la r´eaction. On consid`ere deux suites de nombres r´eels (un) et (vn) donnant les proportions des compos´es n minutes apr`es le d´ebut de la r´eaction (n entier positif). On note Pn la matrice colonne ´egale `aun
vn
. 1. Montrer que Pn+1 = M Pn, o`u M est une matrice carr´ee d’ordre 2 que
l’on explicitera. En d´eduire que Pn= MnP0.
2. (a) Montrer que la matrice M est inversible ; donner son inverse M−1. (b) Apr`es 3 minutes d’exp´erience, un dosage fait apparaitre que la pro-
portion de compos´e A est 42%. Retrouver les proportions initiales de chaque compos´e en d´ebut de r´eaction.
Le travail `a exposer devant le jury
1. Comparez les comp´etences d´evelopp´ees par les deux versions de l’exercice.
2. Proposez une correction de la question 2 du manuel telle que vous l’ex- poseriez devant une classe de terminale S.
3. Proposer deux ou trois exercices sur le th`eme des matrices.
