3. MATRICES-L3 | 45
Chapitre 3 Matrices, déterminant
Leçon 7 Matrices
1. Définition Soient n,p*
On appelle matrice à m lignes, n colonnes, et à éléments (ou coefficients) dans, toute application linéaire de
1,...,m
1,...,n
dans.Une application A:
1,...,m
1,...,n
→ est notée sous forme d’un tableau :( )
i,j aij
( ) ( )
=
=
=
mn m
m
n n
ij ij n j
m ij i
a a
a
a a
a
a a
a a
a A
2 1
2 22
21
1 12
11
1
1 i=1,2,3,...,m, j=1,2,3,...,n
- Les indices extérieurs aux parenthèses désignent, dans l’ordre, les numéros de lignes et de colonnes.
- Le couple
(
m,n)
est appelé le format (ou type ou dimension) de la matrice A ; . m désigne le nombre de lignes de A,. n désigne le nombre de colonnes de A.
- Si m=n, la matrice est dite matrice carrée d’ordre n.
- On note aij l’élément (ou terme) d’une matrice A situé à l’intersection de la i-me ligne et de j-ème colonne.
- Une matrice-ligne est une matrice qui ne comporte qu’une ligne.
On la représente par :
(
a1 a2 an)
ou par( )
ajUne matrice-colonne est une matrice qui ne comporte qu’une colonne.
On la représente par :
am
a a
2 1
ou par
( )
aiExemples : - Matrice à 2 lignes 3 colonnes :
= −
3 5 . 0 3
2 0 A 1
- Matrice carrée d’ordre 3 :
−
−
=
1 3 3
4 0 2
0 2 1 B
- Matrice-ligne : C =
(
1 −2 3)
3. MATRICES-L3 | 46
- Matrice-colonne :
= − 3
2 0 1 D
2. Qualification d’une matrice
• Matrice symétrique, matrice antisymétrique
Une matrice carrée est dite symétrique lorsque deux éléments aijet aji
symétriques par rapport à la diagonale principale sont égaux quels que soient i et j : i,j, aij =aji
Exemple :
=
6 5 3
5 4 2
3 2 1
A ,
c f e
f b d
e d a
• Matrice antisymétrique
Une matrice carrée est dite antisymétrique lorsque deux éléments aijet aji
symétriques par rapport à la diagonale principale sont opposés quels que soient i et j : i,j, aij =−aji
Les termes de la diagonale principale, égaux à leurs opposés, sont nuls.
Exemple :
−
= 5 0
5
A 0 ,
−
0 0 a
a
• Matrice triangulaire inférieure
Une matrice carrée est dite triangulaire inférieure lorsque : i j, aij =0 Exemple :
5 4 3
0 3 2
0 0 1
,
c f e
b d a
0 0 0
• Matrice triangulaire supérieure
Une matrice carrée est dite triangulaire supérieure lorsque : i j, aij =0
Exemple :
−
− 1 0 0
4 2 0
3 2 1
,
c f b
e d a
0 0 0
• Matrice diagonale
Une matrice carrée est diagonale lorsque les termes autres que ceux de la diagonale principale sont nuls : i j, aij =0
3. MATRICES-L3 | 47
Exemple :
3 0 0
0 2 0
0 0 1
c b a
0 0
0 0
0 0
Observons qu’une matrice diagonale est à la fois triangulaire inférieure et triangulaire supérieure.
• Matrice unité
La matrice unité est une matrice dont tous les éléments de la diagonale principale sont égaux á 1 et tous les autres nuls, on désigne par In.
Exemple : ,
1 0
0 1
2
=
I
=
1 0 0
0 1 0
0 0 1 I2
3. Egalité de deux matrices
Soient deux matrices A=
( )
aij 1i,1jet B=( )
bij 1i,1jOn dit que A et B sont égales si aij =bij quels que soient i et j.
Exemples 1 :
1.
=
0 2 1
5
2 4 3
A et
=
0 1 5 , 2
2 2
A 3 , on a : A= B
2.
=−
−
− 3 6
8 15
2 2
x y b
a
−
=
−
=
=
−
=
=
−
−
=
=
−
=
6 5 2
4
6 15 3
2 8 2
b x y a
b x y
a
Exemple 2 : Déterminer x et y pour que :
(
2x−4 y−3) (
= 2 1)
Solution( ) ( )
=
=
=
−
=
−
=
−
− 4
3 1
3 2 4 1 2
2 3 4
2 y
x y
y x x
Exemple 3 : Déterminer a,b,x,y pour que
=
+ +
+ +
4 3
2 1 4 3 4 3
2 2
b a y x
b a y x
Solution
=
+ +
+ +
4 3
2 1 4 3 4 3
2 2
b a y x
b a y x
= +
= +
= +
= +
4 4 3
2 2
3 4 3
1 2
b a
b a
y x
y x
Soit
=
=
= +
= +
0 1 3
4 3
1 2
y x y
x y
x et
=
=
= +
= +
1 0 4
4 3
2 2
b a b
a b a
3. MATRICES-L3 | 48
4. Opérations sur les matrices 1) Addition
Par définition, la somme des deux
(
m,n)
matrices est la(
m,n)
matrice.Soit A=
( )
aij mn , B=( )
bij mnOn a :
( )
(
a b)
i m j nB A
n j
m i
b a B A
n ij m ij
n ij m ij
, ...
, 3 , 2 , 1 , , ...
, 3 , 2 , 1 ,
, ...
, 3 , 2 , 1 , , ...
, 3 , 2 , 1 ,
=
=
−
=
−
=
= +
= +
Remarque: On ne peut additionner que des matrices de même dimension.
L’élément neutre est matrice nulle (dont tous ses termes sont nuls).
Il est noté par On.
Exemple 1 :
+ +
+
= +
+
h d d c
f b e a h g
f e d c
b a
Exemple 2 : Soit deux matrices
−
= −
4 3
2
A 1 et
= −
2 3
5
B 0 .
Calculer A+B et A−B. Solution
.
= −
+ −
−
= −
+ 6 6
3 1 2 3
5 0 4 3
2 B 1
A
.
−
= −
− −
−
= −
− 0 2
7 1 2 3
5 0 4 3
2 B 1
A
Exemple 3 : Calculer :
1.
+ −
2 3 2
1
2.
− + −
2 3
5 0 4 3
2 1
Solution
1.
=
+ −
0 4 2 3 2
1
2.
−
=
− + −
2 6
3 1 2 3
5 0 4 3
2 1
2) Multiplication d’une matrice par un scalaire
Soit un scalaire k et une matrice A=
( )
aij . On appelle produit de k par A la matrice B de terme général : bij =kaij, on écrit : B=kA.3. MATRICES-L3 | 49
Exemple 1 : Soit
−
−
=
8 6 4
5 7 3
1 2 1
A et
−
=
1 1 1
2 3 4
1 1 2 B
Calculer : 2A, 3B, 2A+3B. Solution :
.
−
−
=
−
−
=
16 12 8
10 14 6
2 4 2 8 6 4
5 7 3
1 2 1 2 2A
.
−
=
−
=
3 3 3
6 9 12
3 3 6 1 1 1
2 3 4
1 1 2 3 3B
.
−
= +
19 15 11
4 23 18
1 1 8 3
2A B
Exemple 2 : Soit
= −
4 2 3
0 1
A 5 et
−
= −
1 0 1
2 2 B 1
. A−2B=
−
= −
−
− −
− 1 2 2
4 5 3 1 0 1
2 2 2 1
4 2 3
0 1 5
Exemple 3 : Soit
= 6 0
1
C 1 et
= 5 5
9 D 1
On a :
( ) ( )
−
+
=
−
+ 5 5
9 1 1 6 2
0 1 1 1
2a D a a
C a
−
−
− + −
=
5 10 5 10
9 18 1 2 6
0 a a
a a
a a
a .
5 16 5 10
9 19 1
3
−
−
−
= −
a a
a a
Exemple 4 : Soit
−
=
=
0 1
1
; 0 1 2
0
1 B
A .
1. Calculer : 2(A−3B)−4(A−5B)
2. Trouver la matrice X sachant que 3X+2B=X+4A
Solution
1.
−
−
= − +
−
=
−
−
− 10 2
14 14 2
2 ) 5 ( 4 ) 3 (
2 A B A B A B
2. 3X+2B= X+4A2X =4A−2B
=
−
= 3 2
1 2A B 2
X
3. MATRICES-L3 | 50
Exemple 5 : Déterminer la matrice X et Y sachant que
=
+ 0 0
0 Y 0
X ,
−
=
+ 3 1
2 3 1
2X Y
Solution
−
= +
= +
−
= +
= +
) 2 1 (
3 2 3 1
2
) 1 0 (
0 0 3 0 3 3
1 3
2 3 1
2
0 0
0 0
Y X
Y X
Y X
Y X
( ) ( )
1 − 2 :
−
−
= −
1 3
2 X 1
−
−
− −
=
−
=
=
+ 3 1
2 1 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0
0 Y X
Y X
−
= 3 1
2 Y 1
3) Multiplication des matrices Soit deux matrices A=
( )
aij et B=( )
bij- Le produit AB existe si et seulement si le nombre de colonnes de A est égal au nombre de lignes de B.
- L’élément neutre de la multiplication est dit matrice unité, il est noté par In
n mn m m
m
n n
a a
a
a a
a
a a
a A
=
2 1
2 22
21
1 12
11
et
p np n n
n
p p
b b
b
b b
b
b b
b B
=
2 1
2 22
21
1 12
11
p mp m m
m
p p
p np n n
n
p p
n mn m m
m
n n
c c
c
c c
c
c c
c
b b
b
b b
b
b b
b
a a
a
a a
a
a a
a B A
=
=
2 1
2 22
21
1 12
11
2 1
2 22
21
1 12
11
2 1
2 22
21
1 12
11
Avec
( )
i j i j in njnj j j
in i
i
ij a b a b a b
b b b a a
a
c = + + +
= 2 1 1 2 2 ...
1
2
1
Exemples 1 :
1.
( ) (
4 3) ( )
1 13 2
2 = − =
− 2.
( )
−
= −
− 2 3
6 3 4
1 2 2
3.
+ +
+
= +
ds cq dr cp
bs aq br ap s
r q p d c
b a
3. MATRICES-L3 | 51
4.
=
+ +
+
= +
0 4
40 41 0
0 0 4
40 0 35 6 8 7
0 1 0 4
5 6
5.
=
+ + +
+
+ + +
= +
1 0
0 1 1 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 1 1 0
0 0
0 1 1 1 0
0 0 1
6.
−
−
−
−
=
+
− +
− +
−
+
− +
− +
−
+ +
+
−
−
−
=
−
−
−
1 6 11
6 4 2
11 10 9
2 0 2
4 3 8 2 12 1
0 6 0 4 0 2
2 9 4 6 6 3
1 3 2 2 3 1
1 2 3
3 2 1
4 1
0 2
2 3
1 1
Exemples 2 : Soit
= 0 1
2
A 2 ,
− −
= 3 2
2
B 1 et
= 3 1
2 C 0
.
−
= −
+
− +
−
+
− +
= −
− −
=
2 1
0 4 0
2 0 1
4 4 6 2 2
3 2 1 0 1
2 B 2
A
.
− −
=
+ +
+
−
−
= −
− −
= 8 6
2 4 0
6 2 6
0 2 2 2 0
1 2 2 2 3
2 A 1
B
.
− −
=
+ +
−
−
= −
− −
= 2 12
8 2 6
6 2 0
6 2 2 0 3 1
2 0 2 3
2 C 1
B
.
( )
−
= −
−
−
−
+
= +
−
= −
8 2
8 0 6
2 2 0
0 8 0 0 3 1
2 0 2 1
0 C 4
B A
.
( )
−
= −
+
− +
−
+
− +
= −
− −
=
8 2
8 0 0
8 0 2
24 16 4 4 12
2 8 2 0 1
2 BC 2
A
Remarque : Généralement ABBA
Exemple :
= 0 1
2
A 2 ,
− −
= 3 2
2 B 1
On a :
−
= −
2 1
0 B 4
A et
− −
= 8 6
2 A 4
B
- Il existe aussi pour certain cas AB=BA
Exemple :
= 2 3 7
2 2 3
A ,
−
= −
1 2
1 B 2
On a :
−
−
=
+
−
−
+
−
−
=
−
−
=
2 1 1
2 1 1
2 3 7 7 6
2 2 3 3 4 1 2
1 2 2 3 7
2 2 3 B A
