Tabledesmatières Déterminant

Déterminant

Olivier Sellès, transcrit par Denis Merigoux

Table des matières

1 Formes n-linéaires alternées 2

1.1 Applicationsn-linéaires . . . . 2

1.2 Propriétés des applicationsn-linéaires . . . . 3

1.3 Applicationsn-linéaires alternées . . . . 4

1.3.1 Définition et exemple . . . 4

1.3.2 Propriétés des applicationsn-linéaires alternées . . . . 4

2 Déterminant dans une base 6 2.1 Petite histoire . . . 6

2.2 Théorèmes et définitions . . . 8

3 Déterminant d’un endomorphisme et d’une matrice carrée 9 3.1 Déterminant d’un endomorphisme . . . 9

3.1.1 Théorème et définition . . . 9

3.1.2 Résultats importants . . . 10

3.2 Déterminant d’une matrice carrée . . . 11

3.2.1 Faits de base . . . 11

3.2.2 Propriétés du déterminant d’une matrice carrée . . . 12

4 Développement par rapport à une rangée, comatrice 14 4.1 Matrice déduite, cofacteur, développement par rapport à une rangée . . . 14

4.2 Comatrice . . . 16

4.2.1 Formule de la matrice inverse . . . 17

4.2.2 Formule deCramer . . . 18

5 Complément : quelques déterminants classiques 19 5.1 Déterminant deVandermonde. . . 19

5.2 Déterminant deHurwitz . . . 20

5.3 Déterminant deCauchy . . . 21 6 Complément : polynôme caractéristique d’un endomorphisme et d’une matrice 21

1 Formes n -linéaires alternées

1.1 Applications n-linéaires

SoitnPN^˚,E1, E2, . . . , E_n, F desK-espaces vectoriels, f :E1ˆE2ˆ ¨ ¨ ¨ ˆE_nÝÑF est diten-linéaire lorsque pour toutjP v1, nw,f est linéaire par rapport à saj-ième variable :@a1, a2, . . . , a_j´1, a_j`1, . . . , a_n, l’application

ϕ_j : E_j ÝÑF

xÞÑfpa1, a2, . . . , a_j´1, x, a_j`1, . . . , a_nq est linéaire.

Pour n “ 2, on dit que f est bilinéaire. Lorsque E1 “ ¨ ¨ ¨ “ E_n “ E et F “K, on dit que f est une forme n-linéaire surE.

Exemples

(1) Soit E un K-espace vectoriel, alors f : KˆE ÝÑE pλ, xq ÞÑλ¨x

est bilinéaire d’après les axiomes d’un espace vectoriel.

(2) g : LpEq ˆEÝÑE pϕ, xq ÞÑϕpxq

est bilinéaire. Plus généralement, si E et F sont des K-espaces vectoriels, h : LpE, Fq ˆEÝÑF

pf, xq ÞÑfpxq

est bilinéaire.

(3) PourE “R³,r : EˆE ÝÑE px, yq ÞÑx^y

est bilinéaire et pourE “R²,ppa, bq,pc, dqq ÞÝÑac`bdqui est le produit scalaire standard est une forme bilinéaire surR<sup>2</sup>.ppa, bq,pc, dqq ÞÝÑad´bcest aussi bilinéaire. Déterminons la forme des formes bilinéaires sur R<sup>2</sup>. Soit ϕ une telle forme, bc<sub>2</sub> “ pe1, e2q, x “ pa, bq “ ae1`be2 et y“ pc, dq “ce1`de2. Alors

ϕpx, yq “ ϕpae1`be2, ce1`de2q

“ aϕpe1, ce1`de2q `bϕpe2, ce1`de2q car ϕp¨, yq est linéaire

“ apcϕpe¹, e1q `dϕpe<sup>1</sup>, e2qq `bpcϕpe², e1q `dϕpe², e2qq

“ acϕpe¹, e1q `adϕpe<sup>1</sup>, e2q `bcϕpe², e1q `bdϕpe², e2q car ϕpe¹,¨q etϕpe²,¨q sont linéaires La réciproque étant claire, toute forme linéaire sur R² est du type

pa, bq,pc, dq ÞÝÑacα`adβ`bcγ`bdδ avec α, β, γ, δPR

Plus généralement, soit E unK-espace vectoriel de dimension nPN^˚,B “ pe¹, e2, . . . , enq une base de E etpe^˚1, e^˚2, . . . , e^˚_nq sa base duale. Soitϕ:E² ÝÑKbilinéaire, alors, pour x, yPE,

ϕpx, yq “ ϕ

˜ _n ÿ

i“1

e^˚_i pxqe_i,

n

ÿ

j“1

e^˚_j pyqe_j

¸

“

n

ÿ

i“1

e^˚_i pxqϕ

˜ e_i,

n

ÿ

j“1

e^˚_j pyqe_j

¸

car ϕp¨, yq est linéaire

“

n

ÿ

i“1

e^˚_i pxq

n

ÿ

j“1

e^˚_j pyqϕpe_i, e_jq car @iP v1, nw,ϕpe_i,¨q est linéaire

“

n

ÿ

i“1 n

ÿ

j“1

ϕpei, ejq looomooon

ai,j

e^˚_i pxq loomoon

xi

e^˚_j pyq loomoon

yj

ϕ est donc du type

˜ _n ÿ

i“1

x_ie_i,

n

ÿ

j“1

y_je_j

¸

ÞÝÑ ÿ

i,jPv1,nw²

a_i,jx_iy_j avec @i, j P v1, nw², a_i,j P K. Si on pose

M “ pai,jq_pi,jqPv1,nw² PM_npKq,X“

¨

˚

˝ x1

...

x_n

˛

‹

‚etY “

¨

˚

˝ y1

...

y_n

˛

‹

‚, alors on a^a ÿ

pi,jqPv1,nw²

a_i,jx_iy_j “^tXM Y

(4) Soit E un K-espace vectoriel, n P N^˚, ϕ1, ϕ2, . . . , ϕ_n des formes linéaires sur E. Alors px1, x2, . . . , x_nq P EⁿÞÝÑϕ1px1qϕ2px2q ¨ ¨ ¨ϕ_npx_nqest n-linéaire surE.

1.2 Propriétés des applications n-linéaires

Sous espace vectoriel des applications n-linéaires Soient E, F deux K-espaces vectoriels, n P N^˚. Si f, g:EⁿÝÑF sontn-linéaires et αPK, alorsαf `g est aussi n-linéaire.

L’ensemble L_npE, Fq des applications n-linéaires deEⁿ dans F est un sous-espace vectoriel deFpEⁿ, Fq.

Démonstration Montrons par exemple la linéarité par rapport à la première variable. Soientx2, x3, . . . , x_nP E, pourx, yPE etαPK,

pαf `gq pλx`y, x2, . . . , x_nq “ αfpλx`y, x2, . . . , x<sub>n</sub>q `gpλx`y, x2, . . . , x_nq

“ αλfpx, x2, . . . , x_nq `αfpy, x2, . . . , x<sub>n</sub>q `λgpx, x2, . . . , x_nq `gpy, x2, . . . , x_nq

“ λppαf `gq px, x<sup>2</sup>, . . . , xnq ` pαf `gq py, x², . . . , xnqq

Un calcul bien utile Soit E un K-espace vectoriel de dimension n P N^˚, F un K-espace vectoriel, B “ pe¹, e2, . . . , enq une base de E, x1, x2, . . . , xp P E. Soit M “ MatBpx¹, x2, . . . , xpq, c’est-à-dire que @j P v1, pw, xj “

n

ÿ

i“1

Mri, jsei. Soit enfin f PL_ppE, Fq, on a alors

fpx1, x2, . . . , x_pq “ f

˜ _n ÿ

i1“1

Mri1,1se_i1, x2, . . . , x_p

¸

“

n

ÿ

i1“1

Mri1,1sfpei1, x2, . . . , x_pq Or @i1P v1, nw,fpe_i1, x2, . . . , x_pq “ f

˜ e_i1,

n

ÿ

i2“1

Mri2,2se_i2, x3, . . . , x_p

¸

“

n

ÿ

i2“1

Mri2,2sfpei1, e_i2, x3, . . . , x_pq D’où enfinfpx¹, x2, . . . , xpq “

n

ÿ

i1“1 n

ÿ

i2“1

Mri¹,1sMri²,2sfpei1, ei2, x3, . . . , xpq

“ ¨ ¨ ¨

“

n

ÿ

i1“1

¨ ¨ ¨

n

ÿ

ip“1

Mri¹,1s ¨ ¨ ¨Mrip, psf`

ei1, ei2, . . . , eip

˘

“ ÿ

pi1,...,ipqPv1,nw^p

Mri¹,1s ¨ ¨ ¨Mrip, psf`

ei1, ei2, . . . , eip

˘

a. «Left to the reader ! »

Un p-uplepi¹, i2, . . . , ipq d’éléments dev1, nw s’identifie à une application dev1, pwdansv1, nw. On a donc aussi fpx1, x2, . . . , x_pq “ ÿ

sPFpv1,pw,v1,nwq

Mrsp1q,1s ¨ ¨ ¨Mrsppq, psf`

e_sp1q, e_sp2q, . . . , e_sppq˘

Condition de nullité SoientEetF deuxK-espaces vectoriels,f PL_npE, Fq,px1, x2, . . . , x_nq PE, supposons que DjP v1, nwtel quex_j “0. Alors fpx1, x2, . . . , x_nq “0.

En effet, l’application ϕ:xPE ÝÑfpx¹, . . . , x_j´1, x, x_j`1, . . . , xnq est linéaire deE dansF doncϕp0Eq “ 0F.

1.3 Applications n-linéaires alternées 1.3.1 Définition et exemple

Soient E etF deux K-espaces vectoriels, nPN^˚, f PL_npE, Fq. On dit quef est alternée si pour tout n-uple px1, x2, . . . , x_nq tel qu’il existei‰j tels quex_i“x_j, alors fpx1, x2, . . . , x_nq “0F.

On remarque que pourn“1,L₁pE, Fq “LpE, Fqet toutef PLpE, Fqest alternée. La notion d’application alternée n’a donc d’intérêt que pourně2.

Exemple PrenonsE “R²,F “R, et posons pour x“ pa, bq ety “ pc, dq, fpx, yq “ad´bc.f est bilinéaire et alternée : sia“cetb“d, alorsfpx, yq “ab´ba“0.

Soit ϕ:R²ˆR² ÝÑRbilinéaire alternée,bc₂“ pe¹, e2q,x“ pa, bq “ae1`be2 ety“ pc, dq “ce1`de2 des éléments de R². On a alors

ϕpx, yq “ ϕpae1`be2, ce1`de2q

“ acϕpe1, e1q looomooon

0

`bcϕpe2, e1q `adϕpe1, e2q `dbϕpe2, e2q looomooon

0

“ bcϕpe², e1q `adϕpe<sup>1</sup>, e2q De plus, 0 “ ϕpe1`e2, e1`e2q

“ ϕpe1, e1`e2q `ϕpe2, e1`e2q

“ ϕpe1, e2q `ϕpe2, e1q ñϕpe¹, e2q “ ´ϕpe², e1q

Ainsi, ϕpx, yq “ pad´bcqϕpe1, e2q.ϕest donc du type pa, bq,pc, dq ÞÝÑλpad´bcq avecλPR, et la réciproque est claire.

1.3.2 Propriétés des applications n-linéaires alternées

SiE etF sont deuxK-espaces vectoriels, on noteA_npE, Fql’ensemble des applications n-linéaires alternées de Eⁿ dansF.

A_npE, Fq est un sous-espace vectoriel deL_npE, Fq.

Applications symétriques et antisymétriques

Soient E et F deux K-espaces vectoriels, nPN^˚. Pourf :Eⁿ ÝÑF et σ PSn une permutation de v1, nw, on note

pσ‹fq: EⁿÝÑF

px¹, x2, . . . , xnq ÞÑf`

x_σp1q, x_σp2q, . . . , x_σpnq˘

On dit quef est symétrique si @σPS_n,pσ‹fq “f et antisymétrique si@σPS_n,pσ‹fq “εpσqf^a.

a. εpσqest bien entendu la signature de σ. Pour ceux qui auraient manqué un épisode, se reporter à la section 18.5 du cours complet page 308.

On a vu que :

– @σ1, σ2 PS_n,@f PFpEⁿ, Fq,σ1‹ pσ2‹fq “ pσ1˝σ2q ‹f;

– @σ PSn,@αPK,@f, gPFpEⁿ, Fq,σ‹ pαf `gq “αpσ‹fq ` pσ‹gq.

Soit f PA_npE, Fq, alorsf est antisymétrique.

Démonstration Soit ně2, τ une transposition de S_n, on note τ “τ_i,j avec i, jP v1, nwet iăj. Montrons que τ‹f “ ´f^b. Pourx1, x2, . . . , xnPE f est alternée donc

0 “ fpx1, . . . , x_i`x<sub>j</sub>, . . . , x<sub>j</sub>`x_i, . . . , x_nq

“ fpx1, . . . , x_i, . . . , x_i, . . . , x_nq looooooooooooooooomooooooooooooooooon

0

`fpx1, . . . , x_i, . . . , x_j, . . . , x_nq

`fpx<sup>1</sup>, . . . , xj, . . . , xi, . . . , xnq `fpx¹, . . . , xj, . . . , xj, . . . , xnq looooooooooooooooomooooooooooooooooon

0

Ainsifpx¹, . . . , xj, . . . , xi, . . . , xnq “ ´fpx¹, . . . , xi, . . . , xj, . . . , xnq ôτ ‹f “ ´f.

Maintenant, soit σPS_n, on sait queσ “τ1˝τ2˝ ¨ ¨ ¨ ˝τ_r où τ1, τ2, . . . , τ_r sont des transpositions^c. Ainsi, σ‹f “ pτ1˝τ2˝ ¨ ¨ ¨ ˝τ_rq ‹f

“ pτ1˝τ2˝ ¨ ¨ ¨ ˝τ_r´1q ‹ pτr‹fq

“ pτ¹˝τ2˝ ¨ ¨ ¨ ˝τ_r´1q ‹ p´fq

“ ´ pτ¹˝τ2˝ ¨ ¨ ¨ ˝τ_r´1q ‹f

“ ¨ ¨ ¨

“ p´1q^rf

“ εpσqf

Remarque Si 2ˆ1K ‰0K et sif :EⁿÝÑF est antisymétrique, alors f est alternée.

En effet, soit px¹, x2, . . . , xnq PEⁿ tel qu’il existe i, jP v1, nw² avec iăj tels que xi “xj “a, alors on a fpx1, . . . , x_i, . . . , x_j, . . . , x_nq “ fpx1, . . . , a, . . . , a, . . . , x_nq

“ fpx1, . . . , x_j, . . . , x_i, . . . , x_nq

“ pτi,j‹fq px1, x2, . . . , x_nq

“ ´fpx1, x2, . . . , x_nq Ainsi, 2fpx¹, x2, . . . , xnq “0 d’où le résultat.

b. On rappelle queεpτq “ ´1.

c. Voir la section 19.4.2 du cours complet page 345.

Combinaisons linéaires dans les applications alternées Soit f P A_npE, Fq, px¹, x2, . . . , xnq P Eⁿ, j P v1, nwety PVectpx1. . . , x_j´1, x<sub>j`</sub>1, . . . , x<sub>n</sub>q. Alorsfpx1, . . . , x<sub>j</sub> `y, . . . , x_nq “fpx1, x2, . . . , x_nq.

En effet, par exemple, pour j“1,y“

n

ÿ

k“2

λkxk donc

fpx¹`y, x2, . . . , xnq “fpx<sup>1</sup>, x2, . . . , xnq `

n

ÿ

k“2

λ_kfpxk, x2, . . . , xnq looooooooomooooooooon

0

carf est alternée

Familles liées et applications alternées Soit f P A_npE, Fq, px1, x2, . . . , x_nq P Eⁿ. Si px1, x2, . . . , x_nq est liée, alors fpx1, x2, . . . , x_nq “0F.

En effet, px1, x2, . . . , x_nq est liée donc D pα1, α2, . . . , α_nq PKⁿz t0u tel que

n

ÿ

k“1

α_kx_k “0E. Soit j P v1, nw tel que α_j ‰0. Alors

x_j `

n

ÿ

i“1

i‰j

α_i αj

x_i looomooon

yPVectp^pxiqi‰jq

“0

D’après ce qui précède,

fpx1, x2, . . . , x_nq “ fpx1, . . . , x_j`y, . . . , x_nq

“ fpx¹, . . . ,0, . . . , xnq

“ 0F

Transition : vers le déterminant SoitE unK-espace vectoriel de dimensionpetnąp. Alors toute famille px¹, x2, . . . , xnq PE est liée donc@f PA_npE, Fq,fpx¹, x2, . . . , xnq “0 doncA_npE, Fq est réduit à l’application nulle.

Que se passe-t-il pour pěnet en particulier pourp“n?

2 Déterminant dans une base

2.1 Petite histoire

Dans la suite,Eest unK-espace vectoriel de dimensionnetB“ pe1, e2, . . . , e_nqune base deE. On s’intéresse aux formes n-linéaires alternées deA_npE,Kq.

Donnons-nous une application f PA_npE,Kq,px1, x2, . . . , x_nq PEⁿ,M “MatBpx1, x2, . . . , x_nq, c’est-à-dire que Mri, js est la i-ième coordonnée de x_j dans B, ou encore Mri, js “ e^˚_i px_jq avec pe^˚₁, e^˚₂, . . . , e^˚_nq la base duale deB.

On a vu que

fpx1, x2, . . . , x_nq “ ÿ

sPFpv1,nw,v1,nwq

Mrsp1q,1s ¨ ¨ ¨Mrspnq, nsf`

e_sp1q, . . . , e_spnq˘

SoitsPFpv1, nw,v1, nwq, sisn’est pas injective, alorsDiăjtel quespiq “spjq “kdoncf`

e_sp1q. . . , e_k, . . . , e_k, . . . , e_spnq 0 carf est alternée. Ainsi, sisn’est pas injective,s ne contribue pas à la somme. De plus, sis est injective,s

est bijective pour des raisons de cardinal donc fpx1, x2, . . . , x_nq “ ÿ

σPSn

Mrσp1q,1s ¨ ¨ ¨Mrσpnq, nsf`

e_σp1q, . . . , e_σpnq˘ loooooooooomoooooooooon

pσ‹fqpe¹,...,enq

“ ÿ

σPSn

Mrσp1q,1s ¨ ¨ ¨Mrσpnq, nsεpσqfpe1, . . . , e_nq carf est alternée donc antisymétrique

“ fpe1, e2, . . . , e_nq ÿ

σPSn

Mrσp1q,1s ¨ ¨ ¨Mrσpnq, nsεpσq loooooooooooooooooooooooomoooooooooooooooooooooooon

ϕpx1,x2,...,xnq

Par définition, le déterminant est

ϕpx1, x2, . . . , x_nq “ ÿ

σPSn

εpσqe^˚_σp1qpx1q ¨ ¨ ¨e^˚_σpnqpx_nq Étudions de plus près cette application ϕ.

– Montrons d’abord qu’elle est n-linéaire. Soit σ P S_n, ´

e^˚_σp1q, . . . , e^˚_σpnq¯

sont des formes linéaires sur E doncϕ_σ :px1, x2, . . . , x_nq PEⁿÝÑ e^˚_σp1qpx1q ¨ ¨ ¨e^˚_σpnqpx_nq est n-linéaire^a. ϕest combinaison linéaire des ϕσ doncϕestn-linéaire.

– Montrons queϕest alternée. Soitpx1, x2, . . . , x_nq PEⁿtels queD1ďiăjďntels quex_i “x_j, montrons que ϕpx1, x2, . . . , x_nq “ 0. Soit τ la transposition qui échange i et j, A_n le groupe alterné^b. On a donc An“ tσPSn|εpσq “1u etSnzAn“ tσPSn|εpσq “ ´1u. Ainsi, on décompose l’expression de ϕ:

ϕpx¹, x2, . . . , xnq “ ÿ

σPAn

εpσqϕσpx¹, x2, . . . , xnq ` ÿ

σPSnzAn

εpσqϕσpx¹, x2, . . . , xnq

“ ÿ

σPAn

ϕσpx¹, x2, . . . , xnq ´ ÿ

σPSnzAn

ϕσpx¹, x2, . . . , xnq

L’applicationsPA_nÞÝÑs˝τ PS_nzAnest bien définie et bijective de réciproquesPS_nzAnÞÝÑs˝τ PA_n. Or, lorsquesdécritA_n,s˝τ décritS_nzA_n donc ÿ

σPSnzAn

ϕ_σpx1, x2, . . . , x_nq “ ÿ

sPAn

ϕ_s˝τpx1, x2, . . . , x_nq. De plus, poursPA_n:

ϕ_s˝τpx1, x2, . . . , x_nq “ e^˚_spτp1qqpx1q ¨ ¨ ¨e^˚_spτpiqqpx_iq ¨ ¨ ¨e^˚_spτpjqqpx_jq ¨ ¨ ¨e^˚_spτpnqqpx_nq

“ e^˚_sp1qpx1q ¨ ¨ ¨e^˚_spjqpxiq ¨ ¨ ¨e^˚_spiqpxjq ¨ ¨ ¨e^˚_spnqpxnq

“ e^˚_sp1qpx1q ¨ ¨ ¨e^˚_spjqpxjq ¨ ¨ ¨e^˚_spiqpxiq ¨ ¨ ¨e^˚_spnqpxnq car x_i“x_j

“ ϕspx¹, x2, . . . , xnq On a donc enfin

ϕpx1, x2, . . . , x_nq “ ÿ

σPAn

ϕ_σpx1, x2, . . . , x_nq ´ ÿ

sPAn

ϕ_spx1, x2, . . . , x_nq

“ 0K

ϕest donc une formen-linéaire alternée. De plus,ϕpe1, e2, . . . , e_nq “ ÿ

σPSn

εpσqϕ_σpx1, x2, . . . , x_nqet pourσ PS_n,

ϕ_σpx1, x2, . . . , x_nq “

n

ź

k“1

e^˚_σpkqpekq

“

n

ź

k“1

δ_σpkq,k

a. Voir exemple (4) page 3.

b. Voir section 18.5 du cours complet page 308.

SiDkP v1, nwtel que σpkq ‰k, c’est-à-dire siσ‰Id_v1,nw, alorsϕσpe¹, e2, . . . , enq “0. Ainsi, ϕpe¹, e2, . . . , enq “ ε`

Id_v1,nw

˘ loooomoooon

1

ϕId_v1,nwpe¹, e2, . . . , enq looooooooooooomooooooooooooon

1

“ 1

ϕ‰0A_npE,Kqet d’autre part, sif PA_npE,Kqest telle quefpe1, e2, . . . , e_nq “1, alorsf “fpe1, e2, . . . , e_nqϕ“ϕ doncϕest la seule application n-linéaire alternée deEⁿ dansKqui prend la valeur 1 en pe1, e2, . . . , e_nq.

2.2 Théorèmes et définitions

Soit E un K-espace vectoriel de dimension nPN^˚,B“ pe1, e2, . . . , e_nq une base de E. On a alors les résultats suivants :

(1) Il existe une uniqueϕPA_npE,Kq telle queϕpe¹, e2, . . . , enq “1.ϕs’appelle le déterminant relativement à la baseB et se note detB.

(2) Pour tout f P A_npE,Kq, on a f “ fpe1, e2, . . . , e_nqdetB donc A_npE,Kq “ VectpdetBq donc dimA_npE,Kq “1.

(3) Pour px1, x2, . . . , x_nq PEⁿ,

detBpx1, x2, . . . , x_nq “ ÿ

σPSn

εpσq

n

ź

k“1

e^˚_σpkqpx_kq

“ ÿ

σPSn

εpσq

n

ź

k“1

Mrσpkq, ks où pe^˚₁, e^˚₂, . . . , e^˚_nq est la base duale deB etM “MatBpx1, x2, . . . , x_nq.

Remarques Tous ces résultats découlent du fait que detB PA_npE,Kq.

(1) Si l’un desx_i est nul, alors detBpx1, x2, . . . , x_nq “0.

(2) Sipx1, x2, . . . , x_nq est liée, alors detBpx1, x2, . . . , x_nq “0.

(3) Pour px1, x2, . . . , x_nq PEⁿ,pλ1, λ2, . . . , λ_nq PKⁿ, detBpλ1x1, λ2x2, . . . , λ_nx_nq “

˜ _n ź

k“1

λ_k

¸

detBpx1, x2, . . . , x_nq

En particulier, det^Bpλ¹e1, λ2e2, . . . , λnenq “

n

ź

i“1

λi.

(4) Calculons les déterminants pour les trois premières valeurs de n.

– Pour n“1,E “Vectpeq,B“ peq,x“αε, detBpxq “α.

– Pour n“2, B“ pe1, e2q,x “ae1`be2,y “ce1`de2, on a MatBpx, yq “ ˆa c

b d

˙

et S2 “ tId, τ1,2u.

On a alors

det^Bpx, yq “ 1e^˚1pxqe^˚2pyq ` p´1qe^˚2pxqe^˚1pyq

“ ad´bc

– Pour n“3,B“ pe¹, e2, e3q,x1, x2, x3 PE,M “MatBpx¹, x2, x3q “ pmi,jq_i,jPv1,3w , on a l’ensemble des permutations dev1,3wqui est le suivant :S3 “ Id, τ1,2, τ1,3, τ2,3,`

1 2 3˘ ,`

1 3 2˘(

. Ainsi, det^Bpx¹, x2, x3q “ m1,1m2,2m3,3´m2,1m1,2m3,3

´m³,1m2,2m1,3´m1,1m3,2m2,3

`m2,1m3,2m1,3`m3,1m1,2m2,3

(5) Soit jP v1, nw, siyPVect´

px_iq_i‰j¯ , alors

detBpx1, . . . , x_j`y, . . . , x_nq “detBpx1, x2, . . . , x_nq

(6) detBpx1, . . . , x_j, . . . , x_i, . . . x_nq “ ´detBpx1, . . . , x_i, . . . , x_j, . . . x_nq. Plus généralement, pour σPS_n, pσ‹detBq px1, x2, . . . , x_nq “detB

`x_σp1q, x_σp2q, . . . , x_σpnq˘

“εpσqdetBpx1, x2, . . . , x_nq Théorème

Soit E unK-espace vectoriel de dimensionn,B une base deE etpx¹, x2, . . . , xnq une famille de vecteurs deE de longueur n. Alors

px1, x2, . . . , x_nq est liéeôdetBpx1, x2, . . . , x_nq “0 Par contraposée,

px1, x2, . . . , x_nq est une baseô px1, x2, . . . , x_nq est libreôdetBpx1, x2, . . . , x_nq ‰0 Démonstration

ñ « Djàvu ! »

ð Par contraposée : supposons quepx¹, x2, . . . , xnqest libre, c’est donc une baseCdeE. det^C PA_npE,Kqdonc detC“detCpe1, e2, . . . , e_nqdetB où B“ pe1, e2, . . . , e_nq. En particulier,

1 “ detCpx1, x2, . . . , x_nq

“ det^Cpe1, e2, . . . , e_nqdet^Bpx1, x2, . . . , x_nq det^Cpe1, e2, . . . , e_nq ‰0 car det^C‰0A_npE,Kq donc det^Bpx1, x2, . . . , x_nq ‰0.

3 Déterminant d’un endomorphisme et d’une matrice carrée

3.1 Déterminant d’un endomorphisme 3.1.1 Théorème et définition

Soit E unK-espace vectoriel de dimension finienPN^˚,f PLpEq. Alors il existe un uniqueλPKtel que pour toute baseB de E et@ px1, x2, . . . , x_nq PEⁿ,

detBpfpx1q, fpx2q, . . . , fpxnqq “λdetBpx1, x2, . . . , x_nq λest le déterminant def et se note detf.

Démonstration

Unicité : soit λPKqui convienne etB une base deE. Alors

detBpfpe1q, fpe2q, . . . , fpenqq “λdetBpe1, e2, . . . , e_nq looooooooooomooooooooooon

1

On n’a pas le choix pourλ: on doit prendre λ“detBpfpe1q, fpe2q, . . . , fpe_nqq.

Existence : soit B une base de E, l’application ϕB :px1, x2, . . . , x_nq PEⁿ ÝÑ detBpfpx1q, fpx2q, . . . , fpx_nqq est n-linéaire (car f est linéaire et detB est n-linéaire) et alternée (car detB est alternée). Ainsi, ϕB PA_npE,Kq donc ϕB est proportionnelle à det^B : Dλ^B PK tel que ϕB “λBdet^B. Montrons que λB ne dépend en fait pas deB.

Soit B et C deux bases de E, montrons que λB “ λC. det^C P A_npE,Kq donc Dµ P K^˚ tel que detC “µdetB donc pour px1, x2, . . . , x_nq PEⁿ,

detCpfpx¹q, fpx²q, . . . , fpxnqq “ λCdetCpx¹, x2, . . . , xnq

“ λCµdetBpx1, x2, . . . , x_nq

mais aussi detCpfpx1q, fpx2q, . . . , fpx_nqq “ µdetBpfpx1q, fpx2q, . . . , fpx_nqq

“ µλBdetBpx1, x2, . . . , x_nq Puisque detB ‰0A_npE,Kq,µpλ^C´λBq “0 donc λC“λB carµ‰0.

Remarque Avec les notations du théorème, si f P LpEq, et si Bpe¹, e2, . . . , enq est une base de E, alors detf “det^Bpfpe¹q, fpe²q, . . . , fpenqq.

Ainsi, si f “αIdE, detf “detBpαe1, αe2, . . . , αe_nq “αⁿ. 3.1.2 Résultats importants

Critère d’inversibilité

Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie,f PLpEq. Alorsf PglpEq ôdetf ‰0.

En effet, soitB“ pe¹, e2, . . . , enqune base deE,fest un isomorphisme si et seulement sipfpe¹q, fpe²q, . . . , fpenqq est une base deE, c’est-à-dire si detBpfpe1q, fpe2q, . . . , fpenqq “detf ‰0.

Propriétés multiplicatives du déterminant

#

" !

SoitE unK-espace vectoriel de dimension finie. On a les résultats suivants : (1) Pour f, gPLpEq, detpf˝gq “detfdetg“detpg˝fq.

(2) Pour f PLpEq etnPN, detpfⁿq “ pdetfqⁿ. (3) Pour f PglpEq, detf^´1“ 1

detf. Plus généralement, pour nPZ, detpfⁿq “ pdetfqⁿ. Démonstration

(1) Soit B“ pe1, e2, . . . , e_nq une base deE, alors

detpf ˝gq “detBpfpgpe1qq, fpgpe2qq, . . . , fpgpe_nqqq

Or,@ px1, x2, . . . , x_nq PEⁿ, detBpfpx1q, fpx2q, . . . , fpxnqq “detfdetBpx1, x2, . . . , x_nq d’où detpf˝gq “ detfdetBpgpe1q, gpe2q, . . . , gpe_nqq

“ detfdetg (2) Récurrence surn, on a bien detBpIdEq “1.

(3) ψ : pglpEq,˝q ÝÑ pK^˚,ˆq f ÞÑdetf

est un morphisme de groupes donc @xPglpEq, ψ` x^´1˘

“ pψpxqq^´1 d’où le résultat.

Remarque et définition

On vient de voire que ψ : glpEq ÝÑK^˚ f ÞÑdetf

est un morphisme de groupes de pglpEq,˝q dans pK^˚,ˆq et on définit SLpEqcomme étant Kerf “ tf PglpEq |detf “1u. SLpEqest un sous-groupe deglpEqappelé groupe spécial linéaire.

Multiplication par un scalaire Pourf PLpEq etαPK, detpαfq “αⁿdetf où n“dimE.

En effet, soitB“ pe¹, e2, . . . , enq une base deE,

detpαfq “ detBpαfpe1q, αfpe2q, . . . , αfpenqq

“ αⁿdetBpfpe1q, fpe2q, . . . , fpenqq

“ αⁿdetf 3.2 Déterminant d’une matrice carrée 3.2.1 Faits de base

Soit M PM_npKq, on pose

detM “detbc_npc₁pMq,c₂pMq, . . . ,c_npMqq Il est clair queM “Matbc_npc₁pMq,c₂pMq, . . . ,c_npMqqdonc

detM “ ÿ

σPSn

εpσq

n

ź

k“1

Mrσpkq, ks

En pratique, detM s’écrit aussi

detM “

Mr1,1s ¨ ¨ ¨ Mr1, ns

... ...

Mrn,1s ¨ ¨ ¨ Mrn, ns

Exemples –

a c b d

“ad´bc –

m1,1 m1,2 m1,3

m2,1 m2,2 m2,3

m3,1 m3,2 m3,3

“ m1,1m2,2m3,3 ´ m2,1m1,2m3,3 ´m3,1m2,2m1,3 ´m1,1m3,2m2,3 `m2,1m3,2m1,3 ` m3,1m1,2m2,3

Déterminants classiques

On a aussi det Diagpα1, α2, . . . , α_nq “α1¨ ¨ ¨α_n car si bc_n“ pe1, e2, . . . , e_nq,c_ipDiagpα1, α2, . . . , α_nqq “α_ie_i.

Mieux, siM PTSnpKq, alors detM “

n

ź

i“1

Mri, is.

En effet, soit σ PS_nz tIdu, alors Di P v1, nw tel que σpiq ą i. En effet, dans le cas contraire, @k P v1, nw, σpkq ďkdoncσp1q ď1 etσp1q P v1, nwdoncσp1q “1, puisσp2q “2, etc. On a donc@kP v1, nw,σpkq “kdonc σ “Id, ce qui est faux. On a alorsMrσpiq, is “0 car M est triangulaire supérieure donc

n

ź

k“1

Mrσpkq, ks “0.

σ ne contribue pas à la somme, il ne reste donc que le terme qui correspond à Id d’où detM “ εpIdq

loomoon

1 n

ź

k“1

Mrk, ks

3.2.2 Propriétés du déterminant d’une matrice carrée (1) SiM PM_npKq, alorsM Pgl_npKq ôdetM ‰0.

En effet, on sait que

M est inversible ô pc₁pMq,c₂pMq, . . . ,c_npMqq est une base de Kⁿ ô detbc_npc₁pMq,c₂pMq, . . . ,c_npMqq ‰0

ô detM ‰0

(2) Soit E un K-espace vectoriel de dimension finienPN^˚,B une base deE.

(a) Pour px1, x2, . . . , x_nq PEⁿ, detBpx1, x2, . . . , x_nq “detMatBpx1, x2, . . . , x_nq.

(b) Pour f PLpEq, detf “detMatBpfq.

Montrons ces deux propriétés.

(a) Soit M “MatBpx1, x2, . . . , x_nq, on a vu que

detBpx¹, x2, . . . , xnq “ ÿ

σPSn

εpσq

n

ź

k“1

Mrσpkq, ks

“ detM (b) En écrivantB“ pe¹, e2, . . . , enq, on a alors

detf “ detBpfpe1q, fpe2q, . . . , fpe_nqq

“ detMatBpfpe1q, fpe2q, . . . , fpe_nqq

“ detMatBpfq (3) Pour A, BPM_npKq,kPN,pPZ:

– detpABq “detAdetB; – detA^k“ pdetAq^k;

– si APgl_npKq, detA^´1 “ 1

detA et detA^p“ pdetAq^p.

En effet, soient a, b P LpKⁿq les applications canoniquement associées à A et B. Alors a˝b est cano- niquement associée à AB donc detpABq “ detpa˝bq “ detadetb “ detAdetB. Puis par récurrence,

@k P N, detA^k “ pdetAq^k et on a bien det In “ 1. Les propriétés inhérentes au morphisme de groupes ψ: gl_npKq ÝÑK

AÞÑdetA

assure le dernier résultat.

Remarques

– ϕ: M_npKq ÝÑK AÞÑdetA

est surjective, pourλPK,λ“det Diagpλ,1,1, . . . ,1q.

Avec les notations précédentes, Kerψ ou l’ensemble des matrices de déterminant 1 est un sous groupe de pgl_npKq,˝q noté SLnpKq.

– SiAPM_npKq est telle que detA“1, alorsAPgl_npKq donc SLnpKq “ tAPM_npKq |detA“1u.

– Si E est un K-espace vectoriel de dimension nPN^˚, f PLpEq etB une base deE, alors f PSLpEq ô MatBpfq PSLnpKq.