1 Exemples de fonctions élémentaires, propriétés de clôtures.

Feuille d’exercices : Corrigé n

^◦

2

Fonctions élémentaires au sens de Kalmar.

Définitions et notations.

Un ensembleF de fonctions ayant un nombre fini d’argument dans N et à valeurs dans N(sous ensemble de

∪p∈N^∗N^Np) est dit clos par opérations élémentairess’il satisfait les conditions suivantes : – il contient les projectionspⁱ_k :N^k−→N(16i6k),pⁱ_k =λx1. . . xk.xi;

– il contient l’addition et la multiplication notées + et × (ou ·) ; il contient δ la fonction caractéristique de l’égalité :

δ(x, y) = 1 si x=y 0 sinon

– qui est clos par composition : si h : N^p −→ N ∈ F, et g1, . . . , gp : Nⁿ −→ N ∈ F, alors la composée h◦(g1, . . . , gp) :Nⁿ −→N∈ F, est définie par :

h◦(g1, . . . , gp)(x1, . . . , xn) =h(g1(x1, . . . , xn), . . . , gp(x1, . . . , xn)) ;

– qui est clos par somme et produit bornés, sif : N^p+1 −→N∈ F alorsΣf la somme bornée def, et Πf le produit borné def, toutes deux deN^p+1−→Ndéfinies par

Σf(a1, . . . , ap, x) = Xx i=0

f(a1, . . . , ap, i) Πf(a1, . . . , ap, x) = Yx i=0

f(a1, . . . , ap, i)

L’ensemble

E

desfonctions élémentairesest le plus petit ensemble clos par opérations élémentaires. Lesprédicats élémentaires et lesensembles élémentaires sont les prédicats surN^p et les sous-ensembles de N^p dont la fonction caractéristique est élémentaire. La fonction caractéristique d’un prédicat P, respectivement d’un ensemble A est notéeχ_P, respectivementχ_A.

On a vu en cours que l’ensemble des fonctions primitives récursives était clos par opérations élémentaires. Toutes les fonctions élémentaires sont donc primitives récursives (et tous les prédicats ou ensembles élémentaires primitifs récursifs). La réciproque est fausse : voir partie 2.

Justifiez les assertions suivantes.

1 Exemples de fonctions élémentaires, propriétés de clôtures.

1.1 Premiers exemples.

1.1.1. Les fonctionsλx.1,sla fonction successeur, etλx.0sont élémentaires.

Solution : λx.1 =λx.δ(p¹₁(x), p¹₁(x)),s(x) =p¹₁(x) +λx.1(x),λx.0 =λx.δ(p¹₁(x), s(x)).

1.1.2. Les fonctions constantesλx1. . . xn.k, oùk∈Nsont élémentaires.

Solution : Soitn>2, on obtient la fonction constante à un argument égale à nen composant nfois la fonction successeur. On obtient ensuite les fonctions constantes àkarguments par composition avec par exemplep^k₁.

λx.n=s|◦ · · · ◦{z s}

n

◦λx.0, λx1. . . xk.n=λx.n◦p^k₁

Les fonctions polynômes à coefficient dansNsont élémentaires, en particulier les fonctions puissancesλx.xⁿ, n>2.

Solution : L’ensembles des fonctions polynômes (à plusieurs variables) surNest le plus petit ensemble contenant projections et fonctions constantes et clos par addition et multiplication (f, g:7→λ~x.f(~x) +G(~x), f, g:7→λ~x.f(~x)×G(~x)). Détaillons la construction pour les fonctions puissances. On a déjàλx.x=p¹₁. On montre par récurrence que les fonctions puissance sont élémentaires :

λx.xⁿ⁺¹=× ◦(λx.xⁿ, λx.x)

1.1.3. Les fonction de testsg, etsg, sont élémentaires.

sg(x) = 1 si x=0 0 sinon

sg(x) = 0 si x=0 1 sinon Solution : sg(x) =λx.δ(p¹₁(x), λx.0(x)),sg=sg◦sg,

1.1.4. La fonctionλa, x.a^xet donc les exponentielles de basea>2,λx.a^x sont élémentaires.

Solution : On a a^x=

Yx i=0

(sg(i) +a×sg(i)) = Yx i=0

+◦(sg◦p²2,× ◦(p¹2, sg◦p²2))(a, x).

1.1.5. L’ensemble des fonctions élémentaire est clos par définition par cas. SiP est un prédicat élémentaire d’arité n, siget hsont des fonctions élémentaires deNⁿ→N, alors la fonctionf définie par :

si P(x1, . . . , xn) alors f(x1, . . . , xn) =g(x1, . . . , xn) sinon f(x1, . . . , xn) =h(x1, . . . , xn) est élémentaire.

Solution :

f(x1, . . . , xp) =χ_P(x1, . . . , xn)·g(x1, . . . , xn) +sg(χ_P(x1, . . . , xn))·h(x1, . . . , xn)

1.1.6. la fonction prédécesseur nulle en0est élémentaire : pred(0) = 0 pred(x+ 1) =x Solution : On poseδ(x, y) =sg(δ(x, y)):

pred(x) =X

y6x

sg(y)·δ(y, x)

1.2 Prédicats élémentaires.

1.2.1. Les prédicats6et <sont élémentaires.

Solution : Posonsδ(x, y) =sgδ(x, y).

χ<(x, y) =Y

i6x

δ(x, y); χ₆(x, y) =χ<(x, s(y))

1.2.2. La classe des prédicats élémentaires est close par opérations booléennes.

Solution : la classe des prédicats élémentaires est close par négationχ_¬A=sg◦χ_A, et par conjonction, le prédicat A[x1, . . . , xp, y1. . . , yq]∧B[x⁰₁, . . . , x⁰_p0, y1. . . , yq]a pour fonction caractéristique le produit des fonctions caractéristiques deAet deB:

λx1. . . xpx⁰₁. . . x⁰_p0y1. . . yq.χ_A(x1, . . . , xp, y1. . . , yq)×χ_B(x⁰₁, . . . , x⁰_p0, y1. . . , yq).

1.2.3. La classe des prédicats élémentaires est close par quantifications bornées larges et strictes, c’est à dire que si A(x1, . . . , xp, y) est un prédicat élémentaire, alors ∃y 6 x A(x1, . . . , xp, y) et ∀y 6 x A(x1, . . . , xp, y),

∃y < x A(x1, . . . , xp, y)et ∀y < x A(x1, . . . , xp, y)sont des prédicats élémentaires.

Solution : Supposons que le prédicatA(x1, . . . , xp, y)est élémentaire. Alors : χ_{∃y6x A}(x1, . . . , xp, y) =sg

0

@X

y6x

χ_A(x1, . . . , xp, y) 1

A ; χ_{∀y6x A}= Y

y6x

χ_A(x1, . . . , xp, y)

χ_{∃y<x A}(x1, . . . , xp, y) =sg(y)·χ_{∃y6pred(x)A}(x1, . . . , xp, y) χ_{∀y<x A}(x1, . . . , xp, y) =sg(sg(y) +χ∀y6pred(x)A(x1, . . . , xp, y))

1.3 Minimisation bornée.

1.3.1. La classe des fonctions élémentaires est close par le schéma de minimisation bornée, qui à une fonction caractéristiqueχ_F deN^p+1 dansNassocie la fonctionµt6x F deN^p+1 dansNdéfinie par :

µt6x F(a1, . . . , ap, t) =le plus petit entiert6xtel queF(a1, . . . , ap, t) s’il existe,

µt6x F(a1, . . . , ap, t) = 0 sinon.

Solution : S’il n’y a qu’au plus untvérifiantF(a1, . . . , ap, x)on a : µt6x.F(a1, . . . , ap, t) =X

t6x

t·χ_F(a1, . . . , ap, t)

Dans le cas général on est obligé de compliquer un peu : µt6x F(a1, . . . , ap, t) =X

t6x

t·χ_F(a1, . . . , ap, t)·Y

i<t

χ_F(a1, . . . , ap, i)

1.3.2. Applications : la différence positive -·-:N²−→N définie par x-·-y=x−y six6y x-·-y= 0 sinon

ainsi que le reste et le quotient de la division euclidienne dexpary sont des fonctions élémentaires.

Solution : On a

x-·-y=µt6x[x+t=y]. Appelonsq(x, d)le quotient dexpardetr(x, d)son reste. On a :

q(x, d) =µt6x[t·d6x] ; r(x, d) =x-·-q(x, d)·d

1.4 Codage des couples, et des p-uplets.

1.4.1. La bijection de Cantorα2:N²→N, définie par :

α2(n, p) = Ã_n+p

X

i=0

i

!

+p= (n+p+ 1)(n+p)

2 +p

est élémentaire ainsi que chaque composante de la réciproqueπ1 et π2.

Solution : La première forme est clairement élémentaire (somme bornée et composition). On utilise la minimisation bornée pour la réciproque :

π1(c) =µn6c[∃p6c α2(n, p) =c] π2(c) =µp6c[∃n6c α2(n, p) =c]

1.4.2. Pour chaque entierk>3, la fonction,αk définie par

αk(x0, . . . , xk) =α2(αk−1(x0, . . . , xn−1), xk)

est une bijection élémentaire, les fonctions composantes de la réciproqueπ_i^k sont élémentaires.

Solution : Par récurrence surk>2.

k= 2: d’après la question précédente.

k7→k+ 1: Pour tout entieru il existe un unique couple(u1, xk+1)tel queu =α2(u1, xk+1)carα2 est bijective. Par hypothèse de récurrence il existe une uniquek-uplet(x1, . . . , xk)tel queαk(x1, . . . , xk) = u1, donc un unique(k+ 1)-uplet(x1, . . . , xk, xk+1)tel queαk+1(x1, . . . , xk+1) =u, etαk+1est donc bijective.

Par composition et hypothèse de récurrenceαk+1est élémentaire. De même pour lesπ^k_i, on a π^k+1_k+1=π2 pour16i < k π^k+1_i =π_i^k◦π1

fonctions qui sont donc élémentaires par composition et hypothèse de récurrence.

1.5 Nombres premiers.

1.5.1. Le prédicat de divisibilité «|» et le prédicat « être premier » sont élémentaires.

Solution :

x|yssi∃q6y x·q=y

ppremier ssip>2∧ ∀q6p(q|p⇒(q= 1∨q=p))

On montre maintenant que la fonctionp:N→Nqui ànassocie len+ 1-ième nombre premier est élémentaire.

1.5.2. On ap(n+ 1) 6 Yn i=0

p(n) + 1.

Solution : Le nombreQ_n

i=0p(n) + 1n’est divisible par aucun des nombres premiersp(i)pouri6n(sinon on auraitp(i)|1 = [(Q_n

i=0p(n) + 1)−Q_n

i=0p(n)]). Soitqun diviseur premier deQ_n

i=0p(n) + 1, on a bien p(n+ 1)6q6

Yn i=0

p(n) + 1

Par récurrence surn,p(n)62²ⁿ(¹).

Solution :

n= 0: (p(0) = 262²⁰.

0, . . . , n7→n+ 1: supposonsp(i)62²ⁱ pouri6n. D’après 1.5.2, p(n+ 1)6

Yn i=0

2²ⁱ= 2

Pn i=0 2i

= 2²ⁿ⁺¹⁻¹+ 162²ⁿ⁺¹⁻¹+ 2²ⁿ⁺¹⁻¹= 2²ⁿ⁺¹.

1.5.3. La fonctionπqui ànassocie le nombre de nombres premiers plus petits ou égaux ànest élémentaire.

Solution : Soitχpremier la fonction caractéristique du prédicat « être premier », dont on déduit du 1.5.1 qu’elle était élémentaire, on a :

π(n) = Xn i=0

χpremier(i).

1.5.4. la fonctionpest élémentaire.

Solution : La fonction λx.2^2x est élémentaire par composition carλx.2^x est élémentaire (voir 1.1.4).

D’après ce qui précède :

p(n) =µx62²ⁿ[xpremier etπ(n) =n+ 1].

1On peut montrer en fait quep(n)62ⁿ⁺¹, en utilisant que pour tout nombren>1, il existe un nombre premierptel quen < p62n (Théorème de Bertrand, conjecturé par ce dernier et démontré par Tchebychef en 1850).

1.6 Codage des suites finies.

SoitS l’ensemble des suites finies d’entiers. La suite vide est notée(). SoitΩ :S −→Nla fonction définie par : Ω() = 1 Ω(x0, . . . , xp) =p(0)^1+x0. p(1)^1+x1.· · ·. p(p)^1+xp=

Yp

i=0

p(i)^1+xi 1.6.1. La fonctionΩest injective.

Solution : Remarquons que si la suite finie s est non vide Ω(s) > p(0) = 2 > Ω() = 1, et donc il suffit de vérifier l’injectivité pour les suites non vides. C’est une conséquence immédiate de l’unicité de la décomposition en facteurs premiers, comme on a ajouté1 aux exposants, les seuls exposants à prendre en compte sont bien ceux non nuls.

1.6.2. L’image deΩest un ensemble élémentaire.

Solution : Un entiernest dans l’image deΩsi, dès qu’il a un diviseur premierp, tous les nombres premiers plus petits quepdivisentn:

n∈Im Ωssi∀p6n[(ppremier etp|n)⇒ ∀q6p(qpremier ⇒q|n)]

et doncIm Ωest élémentaire d’après les résultats de la partie 1.2.

1.6.3. la fonctionl:N→Nqui àxassocie la longueur de la suite codée parxsix∈Im Ω,0sinon, est élémentaire.

Solution :

l(x) =χ_{Im Ω}(x)·π(x).

1.6.4. La fonction de «décodage»ι:N²−→N, définie ci-dessous est élémentaire.

ι(i, x) = xi six= Ω(x0, . . . , xp)et 06i6p 0 sinon

Solution : On a vu queλax.a^xest élémentaire (voir 1.1.4).

ι(i, x) = µe6x[p(i)^e6 |x]-·-2 six∈Im Ωetp(i)|x

0 sinon

1.7 Définition par récurrence bornée.

On verra dans la partie 2 que l’ensemble des fonctions élémentaires n’est pas clos par récurrence primitive. On a cependant des définitions par récurrence primitive admissibles à condition que la fonction obtenue soit bornée par une fonction élémentaire.

1.7.1. Sig:Nⁿ→N,h:Nⁿ⁺² →Net b:Nⁿ⁺¹→Nsont élémentaires, alors si la fonctionf vérifie : f(a1, . . . , ap,0) =g(a1, . . . , ap)

f(a1, . . . , ap, x+ 1) =h(a1, . . . , ap, x, f(a1, . . . , ap, x)) f(a1, . . . , ap, x)6b(a1, . . . , ap, x)

f est élémentaire (bien entendu il existe au plus une fonction vérifiant le schéma ci-dessus). Pour cela on définit une fonction qui code la suite des valeurs def.

Solution : récurrence primitive bornée parb: f(~a, x) =µt6b(~a)

"

∃s6 Yx i=0

p(i)^b(~a,i)+1(ι(0, s) =g(~a)et∀i < x ι(i+ 1, s) =h(~a, i, ι(i, s)etι(x, s) =t))

#

1.7.2. On peut de la même façon utiliser un schéma de récurrence sur la suite des valeurs borné. Sig : Nⁿ →N, h:Nⁿ⁺²→Netb:Nⁿ⁺¹→Nsont élémentaires, alors si la fonctionf vérifie :

f(a₁, . . . , a_n,0) =g(a₁, . . . , a_n)

f(a1, . . . , an, x+ 1) =h(a1, . . . , an, x,Ω(f(a1, . . . , an,0), . . . , f(a1, . . . , an, x))) f(a1, . . . , an, x)6b(a1, . . . , an, x)

f est élémentaire.

Solution : récurrence sur la suite des valeurs bornée parb: F(~a, x) =µs6

Yx i=0

p(i)^b(~a,i)+1 2

4ι(0, s) = 2^g(~a)et∀i < x ι(i+ 1, s) =h(~a, i, Yi j=0

p(j)^1+ι(j,s)) 3 5

f(~a, x) =ι(x, F(~a, x))

1.7.3. Par conséquent l’ensemble des fonctions élémentaires et clos sous le schéma suivant. Si g : Nⁿ −→ N, h : N^n+k+1−→Net b:Nⁿ⁺¹→Nsont élémentaires, et sip1, . . . , pk:N−→Nsont des élémentaires et vérifient chacune :

∀x∈Npi(x)6x alorsf :Nⁿ⁺¹−→N, vérifiant :

f(a1, . . . , an,0) =g(a1, . . . , an)

f(a1, . . . , an, x+ 1) =h(a1, . . . , an, x, f(a1, . . . , an, p1(x)), . . . , f(a1, . . . , an, pk(x))) f(a1, . . . , an, x)6b(a1, . . . , an, x)

est élémentaire.

Solution : La fonctionfest définie par récurrence sur la suite des valeurs bornée, en posant : f(~a, x+ 1) =h(~a, x, ι(p1(x),Ω(f(~a,0), . . . , f(~a, x))), . . . , ι(pk(x),Ω(f(~a,0), . . . , f(~a, x))) )

2 Une fonction primitive récursive non élémentaire.

On pose exp(x) = 2^x, et pour k ∈ N, exp^k = exp◦ · · · ◦exp

| {z }

k

(exp⁰(x) = x), puis E(x) =exp◦ · · · ◦exp

| {z }

x

(x).

On constate facilement que E, est théoriquement calculable (même si elle croit rapidement). Cette fonction est construite par diagonalisation à partir des fonctions (toutes élémentaires en fonction de xpar composition) exp^k, k∈N.

Cette fonction peut se définir en utilisant la fonction intermédiaire à deux argumentsB=λxk.exp^k(x), qui se définit par récurrence primitive récursive :

B(x,0) =x

B(x, k+ 1) =exp(B(x, k))

E(x) =B(x, x)

Les fonctions B et E sont donc primitives récursives. Nous n’avons pas montré la clôture de l’ensemble des fonctions élémentaires par récurrence primitive récursive en général, et il ne l’est effectivement pas comme le montre ce qui suit.

On dit qu’une fonctionf :N−→:Ndomineune fonctiong:N^p−→Nsif est supérieure àg à partir d’un certain rang, i.e.

∃K∈N∀x1,· · ·, xp∈Ng(x1· · ·xp)6f(sup(x1,· · ·, xp, K)) Soit

E

⁰ l’ensemble des fonctionsf dominée par l’une au moins des fonctionsexp^k. 2.1. Les fonctionexp^k sont croissantes.

Solution : La fonctionexp⁰=λx.xet la fonctionexpsont croissantes, par composition les fonctionexp^k sont croissantes.

2.2. les fonctionsλk.exp^k(x)sont croissantes (x∈Nétant fixé).

Solution : La fonctionexp vérifie exp(x) = 2^x > x pourx ∈ N, on a donc par croissance de exp^k, exp^k+1(x)> exp^k(x).

2.3.

E

⁰ contient les fonctions de base de la définition des fonctions élémentaires.

Solution : p^k_i(x1, . . . , xk)6sup(x1, . . . , xk)pourx1, . . . , xk∈N, x+y62 sup(x, y)62^sup(x,y)pourx, y∈N,

x×y6sup(x, y)²62^sup(x,y,4)pourx, y∈N, δ(x, y)6162^sup(x,y)pourx, y∈N.

2.4.

E

⁰ est clos par composition.

Solution : Supposons que pourh:N^p−→ N∈ F, et etg1, . . . , gp:Nⁿ −→N∈ F, on ait des entiers K, K1, . . . , Kp, etk, k1, . . . , kptels que (on note~xpourx1, . . . , xn) :

g1(~x)6exp^k1(sup(~x, K1)) ...

gp(~x)6exp^kp(sup(~x, Kp))

h(y1, . . . , yp)6exp^k(sup(y1, . . . , yp, K)) on a alors :

h(g1(~x), . . . , gp(~x))6exp^k(sup(exp^k1(sup(~x, K1)), . . . , exp^kp(sup(~x, Kp)), K)). Les fonctionsexp^k et lesexp^ki sont croissantes (2.0.1), donc, en posantK0= sup(K1, . . . , Kn, K):

h(g1(~x), . . . , gp(~x))6exp^k(sup(exp^k1(sup(~x, K0)), . . . , exp^kp(sup(~x, K0)), K0)).

La fonctionλxk.exp^k(x)est croissante enk(2.0.2), donc, en posantk0= sup(k1, . . . , kn)(K06exp^k0K0) : h(g1(~x), . . . , gp(~x))6exp^k(exp^k0(sup(~x, K0))))

et en utilisant la croissance deexp^k0:

h(g1(~x), . . . , gp(~x))6exp^k+k0(sup(~x, K0)) c’est à dire que la fonctionh◦(g1, . . . , gp)est dominée parexp^k+k0.

2.5. Par récurrence surk, pour tout entierx>5on a(x+ 1)·exp^k(x)6exp^k+1(x).

Solution :

k= 0: Montrons(x+ 1)·x62^x pourx>5par récurrence surx. On a2⁵= 32>6·5 = 30). Par ailleurs commex>5>2:

(x+ 2)(x+ 1) =x(x+ 1) + 2(x+ 1)62x(x+ 1) Donc si(x+ 1)x62^x,(x+ 2)(x+ 1)62^x+1.

k7→k+ 1: Supposons que pourx>5,(x+ 1)·exp^k(x)6exp^k+1(x). On a donc (x+ 162^x) : (x+ 1)·exp^k+1(x)62^x·exp^k+1(x)62^x+expk(x)62^2·expk(x) et commex>5>2et par hypothèse de récurrence :

(x+ 1)·exp^k+1(x)62^x·expk(x)62^expk+1(x)=exp^k+2(x)

2.6.

E

⁰ est clos par somme bornée.

Solution : Soit une fonctionf:N^p+1→Net des entiersketKtels que (on note~apoura1, . . . , ap) : f(~a, x)6exp^k(sup(~a, x, K)).

On a alors :

X

i6x

f(~a, x)6X

i6x

exp^k(sup(~a, i, K))

et commeexp^k est croissante X

i6x

f(~a, x)6X

i6x

exp^k(sup(~a, x, K)) = (x+ 1)exp^k(sup(~a, x, K))

on poseK0= sup(K,5)et on utilise la question précédente : X

i6x

f(~a, x)6exp^k+1(sup(~a, x, K0)).

La fonctionfest donc dominée parexp^k+1.

2.7. Pour tout entierx>5, pour tout entierk>1,[exp^k(x)]^x+16exp^k+1(x) (en utilisant le 2.0.5).

Solution : On a vu au 2.0.5 que pourx>5,(x+ 1)·exp^k(x)6exp^k+1(x). On en déduit que pourk∈N [exp^k+1(x)]^x+1= 2^{expk(x)·(x+1)}62^expk+1(x)=exp^k+2(x)

ce qui donne bien le résultat cherché en prenantk+ 1>1pourk.

2.8.

E

⁰ est clos par produit borné.

Solution : Soit une fonctionf:N^p+1→Net des entiersketKtels que (on note~apoura1, . . . , ap) : f(~a, x)6exp^k(sup(~a, x, K)).

On utilise comme au 2.0.6 la croissance deexp^k, on a en posantK0= sup(K,5): Y

i6x

f(~a, x)6Y

i6x

exp^k(sup(~a, i, K))6Y

i6x

exp^k(sup(~a, x, K0)) =exp^k(sup(~a, x, K0))^x+1

On posek0= sup(k,1), on a d’après la question précédente Y

i6x

f(~a, x)6exp^k0+1(sup(~a, x, K0)).

La fonctionfest donc dominée parexp^k0+1.

2.9. Soit

E

l’ensemble des fonctions élémentaires,

E

⊂

E

⁰.

Solution : L’ensemble

E

⁰ est clos sous les opérations élémentaires d’après les questions précédentes, il contient donc l’ensemble des fonctions élémentaires.

2.10. La fonctionE domine toutes les fonctions élémentaires, donc n’est pas élémentaire.

Solution : On a vu que pour toute fonction élémentairef:N^p→N, il existe des entiersKetktelle que pour toutx1, . . . , xp:

f(x1, . . . , xp)6exp^k(sup(x1, . . . , xp, K))

mais la fonctionλxk.exp^k(x)est croissante sur ses deux composantes (d’après 2.0.1 et 2.0.2) donc, en posant K0=sup(k, K)

f(x1, . . . , xp)6exp^{sup(x1,...,xp,K0)}(sup(x1, . . . , xp, K0)) =E(sup(x1, . . . , xp, K0))

et doncEdomine toutes les fonctions élémentaires. SiEétait élémentaire,λx.E(x) + 1le serait également, mais ne peut être dominée parE. DoncEn’est pas élémentaire.

3 Une autre caractérisation des fonctions élémentaires.

On peut définir les fonctions élémentaires en utilisant le schéma de récurrence borné de la partie 1.7. Plus précisément on va montrer que l’ensemble des fonctions élémentaires

E

égale

E

⁰⁰ le plus petit sous-ensemble de

∪p∈N^∗N^Np qui :

– Contient les projectionspⁱ_n, la fonction nulle λx.0, la fonction successeurs, l’addition +, la fonction expo- nentielle de base2,λx.2^x;

– est clos par composition ; – est clos par récurrence bornée.

3.1 E

⁰⁰

⊂ E

On Utilise les résultats de la partie 1 pour montrer

E

⁰⁰⊂

E

.

3.2 E ⊂ E

⁰⁰

On montre successivement : 3.2.1. La multiplication est dans

E

⁰⁰;

Solution : par récurrence bornée :

x·0 = 0

x·s(y) =x·y+x x·y62^x+y

3.2.2. La fonctionλx.1, les fonctionssg etsg sont dans

E

⁰⁰.

Solution : par composition pourλx.1, par récurrence bornée poursgetsg: λx.1 =s◦λx.0 sg(0) = 0

sg(x+ 1) = 1 sg(x)61

sg(0) = 1 sg(x+ 1) = 0 sg(x)61

3.2.3. Le prédécesseur, la différence positive,χ6, la fonction caractéristique de6, etδ, celle de l’égalité sont dans

E

⁰⁰.

Solution : par récurrence bornée pour le prédédesseur et la différence positive, par composition en utilisant les fonctionssg,set+pourχ6etδ.

pred(0) = 0 pred(x+ 1) =x pred(x)6x

x-·-0 =x

x-·-(y+ 1) =pred(x-·-y) x-·-y6x

χ6(x, y) =sg(s(y)-·-x) δ(x, y) =sgą

χ6(x, y) +χ6(y, x)ć

3.2.4. Sif :N^p+1→Nest élémentaire, la fonctionfM qui calcule le plus petit entiertpour lequel le maximum des valeurs def(~a, y)pour06y6xest atteint est élémentaire.

Solution :

fM(~a, x) =µt6x.[∀y6x f(~a, y)6fM(~a, t)]

3.2.5. Sif ∈

E

⁰⁰, alorsfM ∈

E

⁰⁰.

Solution : Par récurrence bornée : fM(~a,0) = 0

fM(~a, x+ 1) =sif(fM(~a, x))6f(~a, x+ 1)alorsx+ 1sinonfM(~a, x)

=χ6(f(fM(~a, x)), f(~a, x+ 1))·(x+ 1) +sg(χ6(f(fM(~a, x)), f(~a, x+ 1)))·fM(~a, x) fM(~a, x)6x

3.2.6. L’ensemble

E

⁰⁰est clos par somme et produit bornés.

Solution : Par récurrence bornée, en utilisant queλx.(x+ 1)·f(~a, fM(~a, x))est dans

E

⁰⁰par compo- sition pourla somme bornée, en utilisant que l’exponentielle est dans

E

⁰⁰ par récurrence bornée, et donc λx.f(~a, fM(~a, x))^x+1est dans

E

⁰⁰par composition :

P₀

i=0f(~a, i) =f(~a,0) P_x+1

i=0f(~a, i) =P_x

i=0f(~a, i) +f(~a, x+ 1) P_x

i=0f(~a, i)6(x+ 1)·f(~a, fM(~a, x))

x⁰= 1 x^y+1=x^y·x x^y6(2^x)^y) = 2^x·y

Q₀

i=0f(~a, i) =f(~a,0) Q_x+1

i=0f(~a, i) =Q_x

i=0f(~a, i) +f(~a, x+ 1) Q_x

i=0f(~a, i)6f(~a, fM(~a, x))^x+1

On a donc bien

E

⊂

E

⁰⁰donc

E

=

E

⁰⁰.