Modèles élémentaires pour la théorie des ensembles

P UBLICATIONS DU D ÉPARTEMENT DE MATHÉMATIQUES DE L YON

J. F. P ^ABION

Modèles élémentaires pour la théorie des ensembles

Publications du Département de Mathématiques de Lyon, 1967, tome 4, fascicule 3 , p. 39-54

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Publications du DépartP.xreiat de Lyon 1967 t. 4 - 3 39

M O D E L E S E L E M E N T A I R E S POUR LA T H E O R I E D E S E N S E M B L E S J . F . P A E I Q N

D a n s est a r t i c l e , l'idée e x p o s é e a u x j o u r n é e s d e logique de la F a c u l t é d e s S c i e n c e s d e Lyon e n 1967 e s t r e p r i s e e t a p p r o f o n d i ? . On v e r r a q u e l'abandon d e l'axiome d e l'ensemble d e s p a r t i e s p e r m e t e n fait d ' a l l e r b e a u c o u p p l u s

l o i n .

N o u s a v o n s le p l u s p o s s i b l e c o n s e r v é le langage u s u e l , l o r s q u e la f o r m a l i s a t i o n ne p r é s e n t e p a s d e d i f f i c u l t é . Les s i g n e s u s u e l s tels q u e = ,

S, { x } , x u y sont r é s e r v é s à l'usage métarrathématique.

La m é t a t h é o r i e ne n é c e s s i t e p a s l'usage i n t é g r a l d'une a x i c m a t i q u e t e l l e q u e c e l l e d e Z e r m e l o - F r a e n k e l (ZF) . U n e e x t e n s i o n d ' o r d r e s u f f i s a n t d e l'arithmétique é l é m e n t a i r e c o n v i e n t . L o r s q u ' i l e s t q u e s t i o n d'ordinaux (dans la m é t a t h é o r i e ) on p e u t s u p p o s e r q u ' i l s'agit d ' o r d i n a u x c o n s t r u c t i b l e s Cau s e n s d e K l e e n e ) .

La logique d e b a s e e s t le c a l c u l d e s p r é d i c a t s d u 1er o r d r e , s e n s é g a l i t é .

Modèles éMtne noires pour la t'iéorie des ensembles

4 0

I - R e l a t i o n s é t a g é e s :

O n sait q u e la t h é o r i e d e s e n s e m b l e s p e u t être c o n s t r u i t e à l ' a i d e d ' u n e s e u l e n o t i o n p r i m i t i v e : 1 ' a p p o r t e n a n c e . Cela i m p l i q u e q u e l e s n o t i o n s u s u e l l e s , t e l l e s q u e c o u p l e s , g r a p h e s , f o n c t i o n s , e t c . , p e u v e n t ê t r e d é f i n i e s e n f o n c - t i o n d e l'appartenance s e u l e . Nous a l l o n s r e p r e n d r e les p r o c é d é s c l a s s i q u e s à l a liiT**redu c o n c e p t de f o r m u l e é t a g é e , q u e nous a l l o n s d ' a b o r d e x p l i q u e r . L°) F o r m u l e s é t a g é e s :

Lo d é s i g n e u n langage sans c o n s t a n t e s i n d i v i d u e l l e s , a y a n t u n s e u l p r é d i c a t , e , d e p o i d s 2. U n e f o r m u l e étagée p r i m i t i v e (f.e.p.) e s t u n e f o r m u l e F p o u r laquelle i l existe u n e suite f i n i e d e f o r m u l e s F⁰, F , . . , , F

* n t e l l e s q u e F ^ = F e t q u e p o u r chaque i < n on a i t l'une d e s c o n d i t i o n s s u i v a n t e s :

. F ^ e s t u n e f o r m u l e é l é m e n t a i r e . I l existe j < i t e l q u e F ^ « 1 F

. I l existe j , k<i t e l s q u e F a F . v F , F , A F. , F .-^ F. o u F .<f->F

1 J * j K k

. I l e x i s t e j < i e t d e s v a r i a b l e s x e t y tels q u e F soit l'une d e s f o r m u l e s s u i v a n t e s :

3 x [ x e y A F j ] , V ^x [ x e y ^ F j ]

Soit S u n e n s e m b l e d ' é n o n c é s (de L0) :

une f o r m u l e F ( x . , . . . , x } e s t dite S-étagée s'il e x i s t e u n e f . e . p . F * ( x . v ï t e l l e q u e

S h V x _ . . . x f F(x . . . , xⁿ î«-> F*(x,, ...,x ]1

i p t - i p i p j

En p a r t i c u l i e r , u n e f o r m u l e <f>-étagée sera dite s i m p l e m e n t é t a g é e . 2°) - E x e m p l e s de f o r m u l e s é t e g é e s :

Les f o r m u l e s i n t r o d u i t e s c i - d e s s o u s ont t o u t e s u n e i n t e r p r é t a t i o n n a t u r e l l e l o r s q u e e e s t i n t e r p r é t é p a r la r e l a t i o n d ' a p p a r t e n a n c e . L a v é r i f i c a t i o n d e

leur c a r a c t è r e é t a g e e s t e n g é n é r a l i m m é d i a t e .

Modèles élém entaires pour la théorie des ensembles

4 1

x c y (inclusion) : V u £ u e x- ^ u e y^ j

x = y (égalisé e n e x t e n s i o n ) : (xCy) A (ycx) on a : t - V x y [ ^x ^ y ^ \ / ^u [ u e x < ^ u e y] f j

V u [ u e x 4 - > u e y^ j e s t d o n c é t a g é e , m a i s n o n é t a g é e p r i m i t i v e , P ( x , u , v ) (x e s t la p a i r e {u,v}) :

uex A V e x A V t £ tex —^ t= u v tsv*]

c ( x u,v) (x est le c o u p l e <u,V>) :

R a p p e l o n s q u ' o n p e u t p o s e r , s u i v a n t K u r a t o w s k i :

<u,V> = { { u } , {u, v}}

D'où C(x,u,v) =» "3hk[hex A k e x ^ P ( x , h , k) A P ( h , u , u ) A P(k,u,V)"]

"z e s t u n g r a p h e c o n s t r u i t s u r x et yM c o n d u i t à la f o r m u l e G ( z , x , y ) :

\}t [ t e z - ^ 3 u v [ uex A y e y A C ( t , u , V) i ]

On v e r r a i t a u s s i q u e les n o t i o n s s u i v a n t e s : - z e s t u n ordre s u r x

- z e s t u n e f o n c t i o n d e x v e r s y (en p r e n a n t f o n c t i o n = g r a p h e f o n c t i o n n e l ) - z e s t u n e i n j e c t i o n (resp : u n e s u r j e c t i o n , u n e b i j e c t i o n ) d e x v e r s y.

s ' e x p r i m e n t p a r d e s f o r m u l e s é t a g é e s .

P a r c o n t r e , "z e s t u n b o n ordre s u r x" n e p e u t être r e n d u p a r u n e f o r - m u l e é t a g é e , m a i s p a r u n e f o r m u l e A - é t a g é e , où A d é s i g n e l'énoncé s u i v a n t :

V x "3 y V z [ z C x — ^ z e y ~ ] 3°) - A s p e c t s é m a n t i q u e :

On c o n s i d è r e les s t r u c t u r e s (É = < E, e > o ù e e s t u n e r e l a t i o n b i n a i r e s u r E . P o u r t o u t e p a r t i e n o n vide B d e E , (s>^ d é s i g n e la s t r u c t u r e i n d u i t e p a r <s>sur B . P o u r tout a £ E , on d é f i n i t p a r i n d u c t i o n l e s e n s e m b l e s E (a) :

E°(a) = { a )

Ex( a ) = {x£E |C S N x e a }

Modèles élémentaires pour te théorie des ensembles

4 2 EK+1( d = U E l ( x )

x Œ^K(^a)

Tout é l é m e n t d e E (a) sera a p p e l é k-élfimnnt d e a . U n e p a r t i e H d e E est d i t e :

t r a n s i t i v e si p o u r tout a , a £ M ^ E ¹ (a) C M i n d u c t i v e s i p e u r t o u t a , E ^ a l C M — ) a £ M p a r f a i t e s i e l l e e s t t r a n s i t i v e e t i n d u c t i v e . Exenp les : . E e s t p a r f a i t e

. <f> e s t t r a n s i t i v e . Elle e s t i n d u c t i v e s i e t s e u l e m e n t s i p o u r t o u t a £ E , E-(a) / 4.

. u n é l é m e n t e s t d i t f o n d é s'il n ' e x i s t e p a s d e s u i t e i n f i n i e { a^Q, a , . . . , a ...} telle q u e a⁰ = a e t p o u r t o u t i, a 7 *

1 ⁿ i+:r^a i '

L'ensemble F d e s é l é m e n t s f o n d é s est p a r f a i t .

P r o p o s i t i o n 1 : Soit S u n e n s e m b l e c o m p a t i b l e d ' é n o n c é s d e L0. S o i t F ( x , . . . , x )

1 P

une f o r m u l e S - é t a g é e . On donne u n m o d e l é e s = <E,£> d e S, u n e p a r t i e t r a n s i t i v e non v i d e M d e E , telle que (à ^ soit u n m o d è l e p o u r S . Q u e l s q u e s c i e n t a , . . . , a £ M :

1 P

^ t = F ( a a ) < ^ ( ^ fc= F t a , . . . , a )

•i p il 1 p

i l s u f f i t d e r a i s o n n e r a v e c F é t a g é e p r i m i t i v e . P r o c é d e r a l o r s p a r i n d u c t i o n s u r l'ordre de F (ou nombre d ' o c c u r r e n c e s d e c o n n e c t e u r s d a n s F ] .

R e m a r q u e : - La n o t i o n d e f o r m u l e é t a g é e n'est p a s sans lien a v e c c e l l e d e r e l a t i o n a b s o l u e dans le sens de Godel [ 3 ^ • Dans ce d e r n i e r cas c e p e n d a n t il s ' a g i t , d ' m e n o t i o n s y n t a c t i q u e . D a n s s o n i n t e r p r é t a t i o n s é m a n t i q u e , l e s e n s e m b l e s t r a n s i t i f s M sont d é f i n i s s a b l e s p a r u n e f o r m u l e .

D e m ê m e la n o t i o n i n t r o d u i t e i c i d ' é l é m e n t f o n d é e s t e x t é r i e u r e a u x s y s t è m e s f o r m e l s e n v i s a g é s , bien q u ' e l l e r e n v o i e é v i d e m m e n t a u x e n s e m b l e s b i e n - f o n d é s

Modèles élémentaires pour la théorie des ensembles 4 3

i n t r o d u i t s dans Z F , p o u r p r o u v e r la c o m p a t i b i l i t é d e l'axiome d e r é g u l a r i t é . I I - M o d è l e s p o u r la t h é o r i e d e s e n s e m b l e s . :

Dans ce § , nous d é c r i v o n s u n e m é t h o d e p e r m e t t a n t d ' o b t e n i r d e s m o d è l e s p o u r c e r t a i n s s o u s - s y s t è m e s d e la t h é o r i e d e ZerrnelcrFraenkel.

On d o n n e u n langage L, d é n n m b r a b l e , d e base [N, e t c o m p r e n a n t a u m o i n s le p r é d i c a t e e t u n e f a m i l l e i n f i n i e d e p r é d i c a t s m o n a d i q u e s {r

O n d o n n e a u s s i u n e c o r r e s p o n d a n c e d e G o d e l g, q u i à t o u t a s s e m b l a g e A d e L a s s o c i e de m a n i è r e u n i v o q u e u n e n t i e r p o s i t i f g ( A l , a p p e l é n u m é r o d e A.

A p p e l o n s f o r m u l e de rang n t o u t e f o r m u l e d e la f o r m e : r x A F C x )

n

o ù F ( x ) e s t u n e f o r m u l e à u n e v a r i a b l e libre x q u e l c o n q u e .

P o u r n 0 , s o i t A l'ensemble d e s n u m é r o s d e s f o r m u l e s d e rang n . n

P o s o n s A⁰ = tN - U A n o < n

En p a r t i c u l i e r , A^Q c o n t i e n t les n u m é r o s d e s f o r m u l e s d e r a n g 0 . T o u s les A sont i n f i n i s e t d e u x à d e u x d i s j o i n t s ,

n

S i n £ A p , n o u s d i r o n s a u s s i q u e n e s t d e r a n g p .

A p p e l o n s p r é d i a g r a m m e t o u t e n s e m b l e V d ' é n o n c é s d e L t e l q u e :

- A £ V=^r±l e x i s t e u n é n o n c é é l é m e n t a i r e A ' t e l q u e A = A ' o u A = l A ' - I l n ' e x i s t e p a s d ' é n o n c é A t e l q u e A CD e t 1 A C P .

u n p r é d i a g r a m m e 88t,un d i a g r a m m e si de p l u s , p o u r t o u t é n o n c é é l é m e n t a i r e A , A £ P o u T A G P . P o u r t o u t p r é d i a g r a m m e V , s o i t V le d i a g r a m m e o b t e n u e n

a d j o i g n a n t à V l e s n é g a t i o n s d e s é n o n c é s é l é m e n t a i r e s q u i n e s o n t p a s d a n s P . T o u t d i a g r a m m e V d é t e r m i n e d e f a ç o n c a n o n i q u e u n e s t r u c t u r e (à> IV) s u r N

Modèles élémentaires pour la théorie des ensembles

44

1 ° ] - D e s c r i p t i o n d e la m é t h o d e : O n p a r t d e s d o n n é e s s u i v a n t e s :

- S u r c h a q u e A . , on i n t r o d u i t u n ordre d e type w² : A. = { a^K} ²

k v v<or

- O n d o n n e u n p r é d i a g r a m m e A r é p o n d a n t a u x c o n d i t i o n s s u i v a n t e s : . q u e l s q u e s o i e n t n , m £ N , H ( n e m î ^ A

. S i n e m ë A , n £ A^Q e t m é A⁰-

, S i n G A ^ , r ^ n £ A e t si n ^ A ^ , n r^n € A

Cela é t a n t , c o n s t r u i s o n s u n e s u i t e V⁰,V^ , ...,t?ⁿ#... d e p r é d i a g r a m m e comme suit :

. P c = A

• S u p p o s o n s d é f i n i s V⁰,V\,.. • ,£>ⁿ e t d é f i n i s s o n s : 1er c a s . : n = 2 K

Soit B^R » A o U A j U ... U A^K

S u r B ^ , i n t r o d u i s o n s la r e l a t i o n d ' é q u i v a l e n c e s u i v a n t e : a^ub ( 2 k ) < £ 4 p o u r tout p € l M , p e a c P^{o l}4 ^ 7 p e b é t>

P o u r c h a q u e a soit a" la c l a s s e d e a .

â e s t f i n i o u d é n o m b r a b l e : r a n g e o n s les é l é m e n t s de â d a n s u n o r d r e l e x i c c g r a p h i q u e , e n c l a s s a n t d ' a b o r d p a r r a p p o r t a u r a n g , e n s u i t e p a r r a p p o r t à l'ordre n a t u r e l . D'où u n e s u i t e d e t y p e T$W² : â = { { a^a>

V V<Tg

P o u r c h a q u e v / 0 e t <T on i n t r o d u i t a l o r s l'énoncé a^K+1e a³ a v v 2e c a s : n » 2 k + l

S o i t a £ A. , : a e s t le n u m é r o d'une f o r m u l e d e r a n g k + 1 , F ( x ) . P o u r tout P t e l q u e ^ 3 ^ F t p ) , o n i n t r o d u i t p e a .

n E n f i n on p o s e V ⁼ V .

Modèles élémentaires pour la théorie des ensembles. 4 5

La r e l a t i o n e d é f i n i e p a r n £ m ^ ? n e m d ? d é f i n i t u n e s t r u c t u r e C§ * s u r N . 2 ° ) " P r o p r i é t é s d e la s t r u c t u r e o b t e n u e :

L e m m e 1 : S o i e n t a , b £ B ^ et n > 2 k . Si en>b (2k) e t a / b , arvb (n) P o s o n s C • â = Ê r e l a t i v e m e n t à .

Dans C , a e t b o c c u p e n t d e s p l a c e s d i f f é r e n t e s v e t y , a v e c p a r e x e m p l e v < p .

k+1

Dans V 2^+i' k ^{r G}Ç ° i t a ^ q u e n e r e ç o i t p a s a .

a n i b n e r e ç o i v e n t p l u s d ' é l é m e n t s d e r a n g k + 1 d a n s la s u i t e d e s c o n s t r u c - t i o n s . D o n c a e t b ne f i g u r e n t p l u s d a n s u n e m é m o c l a s s e .

Lemme 2 : S o i e n t a , b £ B ^ e t n > 2 k . Si a-ub ( n ) , a l o r s a « b .

Les é l é m e n t s d e a e t b d e r a n g s < k sont d é j à a t t r i b u é s d a n s Ï ^ K ' D o n c ai)b(2k) e t i l r e s t e à a p p l i q u e r le lemme 1.

L e m m e 3 : Si a e A^k , E⁴t a ) C B ^{K + 1}

S u p p o s o n s q u ' i l e x i s t e n , n e E (a) e t n ^ A ^ a v e c £ > k + l * n n ' a p u ê t r e i n t r o d u i t q u e dans la t r a n s i t i o n de ^2( £ - l ) à + D on C e x i s t e b d a n s a"

( m o d u l o 2 (£^.1)) q u i o c c u p e u n e p l a c e a n t é r i e u r e à c e l l e d e a . D ' a p r è s l'ordre c h o i s i s u r a , le rang d e b e s t <:k.

D o n c a , b £ B^R e t a<vb (2(£-l)î avec 2 ( £ - l ) > 2 k

D'après le lemme 2, a s b , ce q u i e s t c o n t r a d i c t o i r e .

Lemme 4 : S o i t a - A ^ . P o u r q u e n ^ t a ) , il f a u t e t i l s u f f i t q u e ^{n e 2}^ ^ 2 k - » - l#

P o u r p > k , a n e p e u t r e c e v o i r d ' é l é m e n t s q u e d a n s les t r a n s i t i o n s d u t y p e à P²p + 1 '^{1g s é l é m e n t s} r e ç u s é t a n t a l o r s d ' a r d r e p + 1 .

D ' a p r è s le lemme 3, c e c i e s t i m p o s s i b l e .

Modèles élémentah*spour la théorie des ensembles

46 On e n d é d u i t :

P r o p o s i t i o n 2 : E¹la) - E^l(b) « b„

En e f f e t E ^ a ) = E ^ b J ^ a / u b (2k+l) si a , b ' e Bk

On c o n c l u t p a r le lemme 2.

Lemme 5 : S o i t F ( x . , . . . , x ) une f o r m u l e de L⁰« Q u e l s que s o i e n t a , . . . , a e B

1 p 1

p K

k 1 P C P2 k3 1 p

En e f f e t , l e s 1-éléments d e s é l é m e n t s d e q u i sont d e r a n g ^k s o n t a t t r i b u é s d è s T ?^{2 k}.

Dé*finition : soit F ( x . , . . . , x ) u n e f o r m u l e de L . 1 p

Nous d i r o n s q u ' e l l e v é r i f i e la c o n d i t i o n (B) si p o u r tout e n t i e r k, i l e x i s t e u n e n t i e r mCk) tel que p o u r tout n > m ( k ) e t q u e l s q u e s o i e n t a , . . . , a £ B

1

p k '

£> fc= F ( a¹, . . . , a^pî < É = > & C ! M { = F C a j . . . . , a ) E x e m p l e s :

. Toute f o r m u l e é l é m e n t a i r e v é r i f i e la c o n d i t i o n ( B ) .

. S i F e t G v é r i f i e n t la c o n d i t i o n (B) i l e n est d e m ê m e d e I F , F v G , F A G^#

Lemme 6 : S i F ( x , y , ..., y^p) v é r i f i e la c o n d i t i o n ( D ) , il e n e s t d e m ê m e de : 3 x [ x e z A F(x, y^,.. . , yp) } e t V x [ x e z - ^ F ( x , y^,..., y^)]

N . B . il se p e u t q u e z soit l'une des v a r i a b l e s y , ...,y .

S o i t k u n e n t i e r , e t m(k+l) l'entier a s s o c i é à F , r e l a t i f à k + 1 . S o i e n t y « S u p { m ( k + l ) , 2 k + l } e t njy .

On d o n n e a,b ,...,b € B.

1 P k

Si

(L !=-3xTxea

L l P

il e x i s t e c tel q u e c f i E1( a ) e t d i ^ F C c b ,.,.,b ) 1 P C 6 E¹( a ) = ^ C € B^k+r

Modèles élémentaires pour la théorie des ensembles

47 D o n c , p u i s q u e n > m ( k + l ) , it> ) fcr F ( c , b , ... ,b ).

n / P

De m ê m e , p u i s q u e n^2K+ ce a

I n v e r s e m e n t , si

<éw

^

xTxea

)1

n ^L ! p

i l e x i s t e c t e l q u e (¿(9 ) t= ce a e t (S (0 ) F ( c , b , .,b ) n n 1 P N é c e s s a i r e m e n t , c € B , . , d o n c (sf^FCc,b ,...,b )

K+l 1 P

C o r o l l a i r e : e n p a r t i c u l i e r , t o u t e f o r m u l e é t a g é e de L^Q v é r i f i e la c o n d i t i o n ( B ) . L e m m e 7 : S o i t F t x , y , . . « , y ) une f o r m u l e d e L v é r i f i a n t la c o n d i t i o n (B) e t

1 P

d e plus la c o n d i t i o n s u i v a n t e :

P o u r t o u t e n t i e r k, i l e x i s t e p { k ) t e l q u e , q u e l s q u e s o i e n t b ,...,b G B. e t a GIN.

1 P ^K

F C a , b , . . . , b î = ^ a € B r...

1 P p C K3

Q u e l s q u e s o i e n t b , ...,b EITJ, i l e x i s t e a £ i N tel q u e : 1 P

E ^ a ) = { n l ( E t = F C n , b ,b )}

1 P S o i t q = S u p { k , p ( k î }

P o s o n s y = m(q) e t s o i t l a f o r m u l e d e rang y, d e n u m é r o c : r x A F ( x , b . , .,b )

P 1 P

D a n s ^2]x* ^{c r G}Ç ° i t e x a c t e m e n t p o u r é l é m e n t s les é l é m e n t s n tels q u e

\=r F(n,b , .. .,b ).

1 P

D a n s Vⁿ , on c o n s t r u i t l'élément a c h e r c h é . 2y + l

3° J- Enoncés v a l i d e s dansis s

A x i o m e d ' c x t e n s i o n a l i t é CE) : r é s u l t e d e la p r o p o s i t i o n 2.

A x i o m e de la p a i r e (P) :

S o i t la f o r m u l e : x E y^V x = y²

- Elle e s t é t a g é e , donc v é r i f i e la c o n d i t i o n ( B ) ,

- S i a , b £ B ^ e t si (s (= c = a v c = b , a l o r s c = a o u c = b d o n c ^c£ ^ . On e s t d a n s les c o n d i t i o n s d u lemme 7 : q u e l s q u e s o i e n t a e t b i l

Modèles élémentaires pour la théorie des ensembles 48

e x i s t e c t e l q u e E¹ te) - { a , b } . A x i o m e d e r é u n i o n (U)

O n p a r t d e la f o r m u l e étagée»

- 1 y2r *ey^{2 A} Y2 yi"]

Q u e l s q u e s o i e n t n e t a , si (S k 3 y² [" n e y² A )/z^^] » n CE² ( a ) . Donc a t B R^ n £ B k +2 .

D o n c p o u r tout a il e x i s t e b t e l q u e E ^ b ) = V, ) E^l[x) = E²f a ) S c h é m a d e s é p a r a t i o n tS) :

Soit F C x , \/i, ..., y ) u n e f o r m u l e é t a g é e . P o u r tout z, la f o r m u l e :

x e z A F t x , y1, . . . , y ] e s t é t a g é e e t v é r i f i e les h y p o t h è s e s d u lemme 7.

D o n c , q u e l s q u e soient a , b , . . . , b^p i l e x i s t e c t e l q u e : E^x( c ) = { n l é ^ n e a A F ( n , b ,...,b ) }

1 P

C'est u n c a s p a r t i c u l i e r d u schéma d e s é p a r a t i o n (le s c h é m a g é n é r a l s'obtient e n s u p p r i m a n t la c o n d i t i o n " F é t a g é e " ) .

A x i o m e du p r o d u i t tPr) : S o i t la f o r m u l e

tl) 1 uv [ u e y A v e z A C ( x , u , v) 3

E t a g é e , e l l e v é r i f i e la c o n d i t i o n [ B ) . S o i t la f o r m u l e : x = y V x = z

q u i v é r i f i e les h y p o t h è s e s du lemme 7 a v e c p(K) = K, q = K, y = 2 ( k + l ) + l

Ceci m o n t r e q u e q u e l s q u e s o i e n t a a , b , l'élément c t e l q u e E-^tc) « { a , b } est d e rang ^ 2 * + 3 si a , b £ B ^ . D o n c l'élément d t e l q u e E^lid) = { { a } , { a , b } } e s t de r a n g $ 4 k + 9 .

(1) r e m p l i t d o n c les c o n d i t i o n s d u lomme 7.

Modèles élémentaires pour la théorie des ensembles 49

A u t r e m e n t d i t , q u e l s q u e s o i e n t a , b i l e x i s t e c d o n t les 1-éléments s o n t les c o u p l e s <u,v> a v e c u G E ^ a ) e t v c E¹( b ) .

N . B . D a n s Z F , la c o n s t r u c t i o n d u p r o d u i t p e u t ê t r e d é r i v é e d e l'axiome d e l ' e n s e m b l e d e s p a r t i e s e t du s c h é m a d e s é p a r a t i o n (même r e s t r e i n t aux

f o r m u l e s é t a g é e s ) . M a i s nous v e r r o n s q u e < S ne r é a l i s e p a s n é c e s s a i r e m e n t l'axiome de l'ensemble des p a r t i e s .

4 ° ) - M o d è l e s spéciaux :

N o u s a l l o n s m a i n t e n a n t p r é c i s e r les c o n d i t i o n s i n i t i a l e s , m o d i f i a n t a i n s i l ' e n s e m b l e d e la c o n s t r u c t i o n e n v u e du r é s u l t a t d é s i r é .

A ° - Ordinaux - E n t i e r s :

V o i c i q u e l q u e s f o r m u l e s é t a g é e s : T r a n s ( x ) : Yy [" yex — y y c x ~ ] A(x) : V y [ y e x - ^ C y^ey ) " ]

BCxî : V y [ y e x — ^ T r a n s( y ) * ]

CCx) : V y z [ yex A zex—^[\/=z v y e z y z e y ) ~ ]

T r a n s ( x ) A A C x ) A B(x) A CCx) signifie q u e x e s t t r a n s i t i f e t q u e l ' a p p a r t e n a n c e i n d u i t s u r x u n e r e l a t i o n d'ordre (strict) t c t ^ l .

S i o n a d j o i n t la c o n d i t i o n : T o u t e p a r t i e n o n v i d e d e x a u n p l u s p e t i t é l é m e n t pour l'ordre i n d u i t p a r l ' a p p a r t e n a n c e , o n o b t i e n t la

tic-^initicn

A s s u m o n s les a x i o m e s E , P , U e t le s c h é m a S ( r e s t r e i n t ) . O n m o n t r e a l o r s l ' e x i s t e n c e d'un e n s e m b l e v i d e u n i q u e 0 : 0 est u n o r d i n a l .

Si a e s t u n o r d i n a l , a U { a > (qui e x i s t e p a r P e t U) e s t u n o r d i n a l .

En p a r t i c u l i e r , 0 , { 0 } , {o, {n }}, ..,, {o, { o } , {o, { o } } , . . . } s o n t d e s o r d i n a u x q u i dans u n e i n t e r p r é t a t i o n n a t u r e l l e r e p r é s e n t a n t les e n t i e r s ^

Modèles élém entires pour la théorie des ensembles 50

Un o r d i n a l a e s t d i t d e 2e e s p è c e si x £ a = ^ x U { x } e a (on d i t a u s s i q u e a e s t l i m i t e ) . Ceci s' e x p r i m e • p a r u n e f o r m u l e é t a g é e LCx) :

V y [ y e x -=y 3 z [ zex A CxCz /i x e z A V t T t e z- ^ t e x V t=x])]

U n e f o r m e d e 1 ^axiome d e l'infini e s t a l o r s : (I) 3 x [ Crd(x) A L C x ) ]

T o u t é l é m e n t d'un o r d i n a l est u n o r d i n a l . S i a e s t u n o r d i n a l , les

o r d i n a u x d e 2e e s p è c e q u i a p p a r t i e n n e n t à a sont donc les e n s e m b l e s x v é r i f i a n t : L(x) A xect

L é t a n t é t a g é e , ils f o r m e n t u n e n s e m b l e e n v e r t u du s c h é m a 3 . S i c e t e n s e m b l e est n o n v i d e , il a u n p l u e p e t i t é l é m e n t q u i est le p l u s p e t i t o r d i n a l limite u>. E n v e r t u d e C I ) , i l s u f f i t d e p r e n d r e l'ordinal a u ( a } o ù a e s t u n o r d i n a l limite q u e l c o n q u e , p o u r d é t e r m i n e r w.

Les é l é m e n t s de w sont p a r d é f i n i t i o n les e n t i e r s .

D é f i n i t i o n : Soit a u n o r d i n a l d é n o m b r a b l e . Nous d i r o n s q u e (s e s t a- s t a n d a r d s'il e x i s t e une a-suite t ^^v} < d ' e n t i e r s t e l l e q u e , q u e l s q u e s o i e n t v , x < a , a e a ssi v < x .

v x

A l o r s i l est aisé de v o i r q u e les a ^ sont d e s ordinaux d a n s le m o d è l e (s.

L e m m e 8 : 8i <é est a - s t a n d a r d p o u r c&co, a l o r s CI) e s t v a l i d e d a n s <s . en e f f e t , a e s t tel a u e <L N LCa ).

P r o p o s i t i o n 3 : P o u r t o u t o r d i n a l d é n o m b r a b l e a , i l e x i s t e u n e s t r u c t u r e (S a- s t a n d a r d q u i ne v é r i f i e p a r l'axiome CR) de r é g u l a r i t é .

S u p p o s o n s é v i d e m m e n t a^co

P r é c i s o n s p o u r c e l a le p r é d i a g r a m m e A :

S o i t {a°} la s u i t e d e s é l é m e n t s d e Ac r a n g é s d a n s u n e ( a+ l ) - s u i t e v v ^ a

on i n t r o d u i t d a n s A les é n o n c é s s u i v a n t s :

Modules élémentaires pour la théorie des ensembles

51 . S i v<T<a 5 a ° e a °

v T

• a°ea°

a a

On v o i t q u e les c l a s s e s m o d u l e (o) sont t o u t e s r é d u i t e s à u n é l é m e n t . D o n c les 1-éléments d e a0 p o u r v<a sont les a ° tels q u e T<V .

v T P u i s q u e a ° e a ° , l'axiome CR) e s t é v i d e m m e n t f a u x ,

a a B ) - A x i o m e d u c h o i x 'C) :

S u p p o s o n s q u e le langage L c o m p r e n n e , outre e , u n p r é d i c a t b i n a i r e p , e t i n t r o d u i s o n s dans A les é n o n c é s s u i v a n t s :

. si rv$m , n p m . si n > m , *7(npm)

Soit la f o r m u l e s u i v a n t e :

" 3v v £ u e y A V e y A C ( x , u , v ) A U p v ]

Elle v é r i f i e les c o n d i t i o n s d u lemme 7 : d o n c p o u r t o u t a les c o u p l e s

<tt,V> tels que u i a , v ê a e t u ^ v f o r m e n t les 1-éléments d'un é l é m e n t b , q u i e s t u n b o n ordre s u r a

C ) - E n u m é r a b i l i t é :

S u p p o s o n s q u e L c o n t i e n n e , outre e e t p , u n p r é d i c a t b i n a i r e £ i n t e r p r é t é p a r l'égalité e t 2 p r é d i c a t s t e r n a i r e s r e p r é s e n t a n t la somme e t le p r o d u i t d a n s A l o r s ¿ ( A 3 c o n t i e n t u n m o d è l e s t a n d a r d d e l ' a r i t h m é t i q u e .

En p a r t i c u l i e r t o u t e r e l a t i o n r é c u r s i v e y est r e p r é s e n t a b l e a u sens s t r i c t , p a r une f o r m u l e n e c o n t e n a n t p a s e .

S o i t u n m o d è l e C c o + D - s t a n d a r d , d a n s l e q u e l l'ensemble d e s e n t i e r s e s t r é c u r s i f .

L ' a p p l i c a t i o n : n — y a° e s t donc u n e b i j e c t i o n r é c u r s i v e . D o n c i l e x i s t e n

d a n s L une f o r m u l e F(x,y) t e l l e q u e , q u e l s q u e s o i e n t n e t p :

< £ ( A ) M F ( n , p ) ^ p = a° .

M odèles élém entaires pour la théorie des ensembles

52

N o t o n s q u e F v é r i f i e la c o n d i t i o n ( B ) .

S o i t u) l'ensemble d e s e n t i e r s (dans <& ). C o n s i d é r o n s la f o r m u l e s u i v a n t e : 3 u v [vécu A u e y A C(x,v,u) A F ( U , v f ]

on p e u t lui a p p l i q u e r le lemme 7 : p o u r t o u t a , l'ensemble d o s c o u p l e s <n,a°>

n

tels q u e n e Ex( a ) e x i s t e . Ceci e s t le g r a p h e d'une i n j e c t i o n d e a d a n s u>.

D o n c i l e s t c o m p a t i b l e d ' a s s u m e r , a v e c E , P , U P r , S , I l'énoncé s u i v a n t : ( Eⁿ) "Pour tout e n s e m b l e a , i l e x i s t e une i n j e c t i o n d e a d a n s w " .

On p e u t m o n t r e r , e n r e p r o d u i s a n t le r a i s o n n e m e n t c a n t a r i e n c l a s s i q u e , que c e c i i m p l i q u e la n é g a t i o n d e l'axiome d e l'ensemble d e s p a r t i e s (P )

T o u t e f o i s :

P r o p o s i t i o n 4 : S i <£> est (co+l)-standard, l'énoncé suivant e s t v a l i d e :

(P_p) "Pour tout e n s e m b l e a , i l e x i s t e u n e n s e m b l e b d o n t les é l é m e n t s sont les parties finies de a " .

A p p e l o n s e n s e m b l e f i n i u n e n s e m b l e a tel q u ' i l e x i s t e u n e n t i e r v e t u n e b i j e c t i o n de v sur a . S i < ê est ( w + D - s t a n d a r d , les e n t i e r s d e ^ sont f i n i s (dans le m é t a s y s t è m e ) , d o n c a est f i n i d a n s Cs> ssi E ^ a ) est f i n i .

Si a < £ 3 ^ , le g r a p h e d'une b i j e c t i o n d'un e n t i e r sur a est a u p l u s d e rang 2 C 4 k + 9 î + l . Ceci m o n t r e q u e la f o r m u l e F(x) qui s i g n i f i e : "x e s t f i n i "

v é r i f i e la c o n d i t i o n ( B ) , e t que F ( x ) A ( x c y ) v é r i f i e les c o n d i t i o n s d u l e m m e 7.

D ) - A x i o m e d e r é g u l a r i t é :

Lemme 9 : S i (É> est un m o d è l e p o u r (E,P,U,S,I,C,Pr) a - s t a n d a r d , p o u r t o u t e p a r t i e p a r f a i t e M de [N, (S ^ est u n m o d è l e a - s t a n d a r d p o u r le m ê m e s y s t è m e .

Modèles élémentaires pour la théorie des ensembles 53

E x e m p l e s de v é r i f i c a t i o n s : . S o i t a e M .

S o i t b l'élément de IN d o n t les 1-éléments s o n t les 2 - é l é m e n t s d e a.

Ex( b ) C M (car M e s t t r a n s i t i f ) , d o n c ben (car M e s t inductif) : d o n c U e s t v a l i d e d a n s

. si a £ M e t s i E1 (b) Q E1 ( a ) , El( b ) c M * d o n c b€ M : donc t o u t e " p a r t i e "

de a e s t a u s s i dans Pl. E n p e r t i c u l i e r i l y a c o n s e r v a t i o n d e s ordres sur a, d o n c des b o n s - o r d r e s s'il y e n a.

. S o i e n t { a ^ } ^ ^ les o r d i n a u x de (s d e t y p e < a . P a r i n d u c t i o n , o n m o n t r e

que a^

- a0 e s t le v i d e , d o n c a0£ M

- si a £ M p o u r v<T< a , E ^ t a ) C M , d o n c a £ M .

v T T

Donc £ p| est a - s t a n d a r d .

. P o u r le s c h é m a S, e n u t i l i s e r a la p r o p o s i t i o n 1.

P r o p o s i t i o n 5 ; P o u r tout o r d i n a l a* d é n c m b r a b l e , il e x i s t e u n m o d è l e a - s t a n d a r d p o u r le s y s t è m e ( E , P , U , S , I , C , P r , R ) .

O n p a r t d'un m o d è l e a - s t a n d a r d ( s * e t o n c o n s i d è r e CsTp où F e s t l'ensemble d e s é l é m e n t s f o n d é s . R e s r (toujours) v a l i d e d a n s O n a p p l i q u e a l o r s le

lemme 9 à la p a r t i e p a r f a i t e F .

Modèles élém entires pour la théorie des ensembles

54

B i b l i o g r a p h i e :

[1] B E T H : T h e f o u n d a t i o n s o f m a t h e m a t i c s , N o r t h . H o l l a n d [2] F R A E N K E L e t

B A R - H I L L E L : F o u n d a t i o n s of s e t t h e o r y , N o r t h - H o l l a n d . [3] G Q D E L : T h e c o n s i s t e n c y of t h e c o n t i n u u m h y p o t h e s i s

P r i n c e t o n .

[ 4 ] P O N A S S E : L o g i q u e m a t h é m a t i q u e , O . C . D . L .

[ 5] K L E E N E : I n t r o d u c t i o n t o m e t a m a t h e m a t i c s . N o r t h - H o l l a n d .

Manuscrit remis le 3 0 septembre 1957 J , F . PABION Assistant

Département de Mathématiques 43, bd du 11 novembre 1918 VILLEURBANNE