Exercices sur les matrices et déterminants

(1)

Matrices et déterminants

Généralités sur les matrices

Exercice 1 [ 00702 ][correction]

Résoudre l’équationX²=Aoù A=





1 0 1

0 4 2

0 0 16





a) Monter qu’une matriceA∈ M_n(K) est non inversible si, et seulement si, elle est équivalente à une matrice nilpotente.

b) Soitf :Mn(K)→Kune application vérifiant : f(On) = 0,f(In) = 1 et pour toutA, B∈ Mn(K),

f(AB) =f(A)f(B)

Montrer queA∈ Mn(K) est inversible si, et seulement si,f(A)6= 0.

SoitS(x) =

∞

P

n=0

a_nxⁿ le développement en série entière dex7→√ 1 +x.

a) PourN∈N, on pose SN =

N

X

n=0

anxⁿ etRN =

+∞

X

n=N+1

anxⁿ

Montrer que (S_N(x))²−1−xest un polynôme dont la plus petite puissance dex est de degré>N+ 1.

b) SoitA∈ Mn(C) nilpotente. Justifier l’existence d’une matriceB∈ Mn(C) telle que

B²=I+A Exercice 4 [ 00712 ][correction]

SoientD= diag(a1, . . . , an)∈ Mn(K) et

ϕ:M ∈ Mn(K)7→DM−M D a) Déterminer noyau et image de l’endomorphismeϕ.

b) Préciser ces espaces quandD est à coefficients diagonaux distincts.

Soitnun entier>2 etAun hyperplan deMn(C) stable pour le produit matriciel.

a) On suppose queIn ∈ A. Montrer, si/ M²∈ A, queM ∈ A. En déduire que pour touti∈ {1, . . . , n}que la matrice Ei,iest dans A. En déduire une absurdité.

b) On prendn= 2. Montrer que Aest isomorphe à l’algèbre des matrices triangulaires supérieures.

SoientA, B∈ Mn(R) oùB est nilpotente et commute avecA. Montrer queA et A+B sont simultanément inversibles.

SoitA∈GL_n(R) vérifiant

A+A⁻¹=In

Pourk∈N, calculerA^k+A^−k.

Commutation de matrices

On suppose queA, B∈ Mn(K) commutent et queAest inversible.

Justifier que les matricesA⁻¹ et B commutent.

a) Quelles sont les matrices deMn(K) commutant avec toutes les matrices de Mn(K) ?

b) Même question aves les matrices commutant avec toutes celles de GLn(K).

Soientn∈N^?,α1, . . . , αn des complexes distincts,A= diag(α1, . . . , αn) et C(A) ={M ∈ Mn(C), AM =M A}

Montrer que (A^k)06k6n−1 est une base deC(A).

(2)

Soitn∈Navecn>2.

a) Montrer que

{A∈ Mn(R)/∀M ∈GLn(R), AM =M A}={λIn/λ∈R} b) SoitA∈ Mn(R). On suppose que

∀M, N ∈ M_n(R), A=M N ⇒A=N M Montrer qu’il existeλ∈Rtel queA=λI_n

SoitT ∈ Mn(R) une matrice triangulaire supérieure.

Montrer queT commute avec sa transposée si, et seulement si, la matriceT est diagonale.

Soitn>2. Déterminer les matrices deMn(K) commutant avec toutes les matrices symétriques.

Soitn>2. Déterminer les matrices deMn(K) commutant avec toutes les matrices antisymétriques.

Rang d’une matrice

SoitA∈ Mn(K) une matrice carrée de rang 1.

a) Etablir l’existence de colonnesX, Y ∈ Mn,1(K) vérifiant A=X^tY. b) En déduire l’existence deλ∈Ktel que A²=λA.

SoitAune matrice carrée de rang 1. Montrer qu’il existeλ∈Ktel que A²=λA.

SoitH∈ Mn(C) une matrice de rang 1.

a) Montrer qu’il existe des matricesU, V ∈ Mn,1(K) telles queH=U^tV. b) En déduire

H²= tr(H)H

c) On suppose trH 6=−1. Montrer queIn+H est inversible et (I_n+H)⁻¹=I_n− 1

1 + trHH

d) SoientA∈GLn(K) telle que tr(HA⁻¹)6=−1. Montrer queA+H est inversible et

(A+H)⁻¹=A⁻¹− 1

1 + tr(HA⁻¹)A⁻¹HA⁻¹ Exercice 18 [ 00698 ][correction]

SoientA∈ M3,2(R) et B∈ M2,3(R) telles que AB=





1 0 0 0 1 0 0 0 0





a) Déterminer les rangs deA etB.

b) CalculerBAen observant (AB)²=AB.

SoientA∈ M3,2(R) et B∈ M2,3(R) matrices de rang 2 vérifiant (AB)²=AB.

MontrerBA=I2.

SoitA∈ Mn(R) une matrice de rangr.

Déterminer la dimension de l’espace

{B∈ Mn(R)/ABA=On} Exercice 21 [ 01602 ][correction]

SoientA, B∈ Mn(K).

a) Justifier qu’il existeU, V ∈GLn(K) tels que

rg(U A+BV) = min(n,rgA+ rgB)

b) On suppose rgA+ rgB>n. Montrer qu’il existeU, V ∈GLn(K) tels que U A+BV ∈GL_n(R)

(3)

SoientA, B, C, D∈ Mn(K).

a) On note A B

∈ Mn,2n(K) la matrice obtenue en accolant les colonnes de B à droite de celles deA.

Montrer

rg A B

= rgA⇔ ∃U ∈ Mn(K), B=AU b) On note

A C

∈ M2n,n(K) la matrice obtenue en accolant les lignes deCen dessous de celles deA.

Montrer

rg A

C

= rgA⇔ ∃V ∈ Mn(K), C =V A c) En déduire

rg

A B C D

= rgA⇔ ∃U, V ∈ Mn(K),

A B C D

=

A AU V A V AU

SoitGun groupe multiplicatif formé d’éléments de Mn(R).

Montrer que les éléments deGont tous le même rang.

a) Montrer que siC∈ Mn(R) vérifie :

∀X ∈ Mn(R),det(C+X) = detX alors elle est nulle (on pourra étudier le rang deC).

b) Montrer que siAet B deMn(R) vérifient :

∀X ∈ Mn(R),det(A+X) = det(B+X) alorsA=B.

Calculs par blocs

SoientA∈ Mn(K) et

B=

O_n A In On

∈ M_2n(K)

a) Montrer queAest inversible si, et seulement si,B l’est.

b) CalculerB^p pour toutp∈N.

SoientA∈ Mn(K),B∈ Mp(K) etM la matrice M =

A On,p

Op,n B

∈ Mn+p(K) Etablir

rgM = rgA+ rgB

SoientB∈ Mn,p(K) etC∈ Mp(K).

Montrer

rg

In B Op,n C

=n+ rgC

SoientA∈ Mn(K),B∈ Mp(K),C∈ Mn,p(K) et M =

A C Op,n B

∈ Mn+p(K) On supposeB inversible. Etablir

rgM =p⇔A=On

SoientA∈GL_p(R),B∈ M_p,q(R),C∈ M_q(R) et M =

A B Oq,p C

∈ Mp+q(R) Déterminer le rang deM en fonction de celui deC.

(4)

SoitM ∈ Mn(K) une matrice de rangrdécomposée par blocs sous la forme M =

A B C D

avecA∈ Mr(K) supposée inversible.

a) Montrer que pour toute colonneY ∈ M_n−r,1(K) il existe une colonne X ∈ Mr,1(K) telle que

M 0_r Y

!

=M X

0n−r

!

b) En déduire queD=CA⁻¹B.

SoientA, B, C, D∈ Mn(K) et M =

A B C D

∈ M2n(K) On suppose que les matricesA, D et M sont inversibles.

ExprimerM⁻¹.

Soit

A=







1 −1 0 0

0 1 0 0

0 0 −1 1

0 0 0 −1







CalculerAⁿ pour toutn∈Z. Exercice 33 [ 03861 ][correction]

SoientA, B∈ Mn(C) vérifiantA²B =A et rgA= rgB. MontrerB²A=B.

Représentations matricielles

SoientA= (a_i,j)₁₆_i,j₆_n+1∈ Mn+1(R) avec ai,j= j−1

i−1

!

=C_j−1ⁱ⁻¹

etϕ∈ L(Rn[X]) canoniquement représenté parA.

a) Exprimerϕ(P) pour toutP ∈Rn[X].

b) CalculerA^mpour toutm∈N. c) CalculerA⁻¹.

Soienta∈C^? etf :C→Cdéfinie parf(z) =z+a¯z.

Former la matrice de l’endomorphismef duR-espace vectorielCdans la base (1, i).

Déterminer image et noyau def.

SoitEunK-espace vectoriel de dimension 3 muni d’une baseB= (e₁, e₂, e₃).

Soitf ∈ L(E) dont la matrice dans la baseB est A=





0 1 1

0 1 0

−1 1 2





On poseε1=e1+e3,ε2=e1+e2 etε3=e1+e2+e3.

a) Montrer que la familleB⁰= (ε1, ε2, ε3) forme une base deE et déterminer la matrice def dansB⁰.

b) CalculerAⁿ.

SoitEunK-espace vectoriel de dimension 3 muni d’une baseB= (e1, e2, e3).

Soitf ∈ L(E) dont la matrice dans la baseB est A=





0 2 1

−1 2 1

0 1 1





On poseε1=e1+e3,ε2=e1+e2 etε3=e1+e2+e3.

a) Montrer queB⁰ = (ε1, ε2, ε3) forme une base deE et déterminer la matrice de f dansB⁰.

b) CalculerAⁿ.

Quels sont lesf ∈ L(Rⁿ) telles quef(Zⁿ) =Zⁿ?

(5)

Soientf, g∈ L(R²) tel quef²=g²= 0 etf ◦g=g◦f. Calculerf◦g.

Soitω une racine primitiven-ième de 1. On pose F_ω(P) = 1

√n

n−1

X

k=0

P(ω^k)X^k pour toutP ∈Cn−1[X].

Montrer queF_ωest un automorphisme de Cn−1[X] et exprimer son inverse.

Soientn, petqtrois naturels non nuls et deux applications linéairesu∈ L(R^p,R^q) etv∈ L(R^p,Rⁿ).

a) Démontrer qu’il existe une application linéairew∈ L(Rⁿ,R^q) telle que u=w◦vsi, et seulement si, on a l’inclusion des noyaux

ker(v)⊂ker(u)

Dans ce cas, déterminer toutes les applicationswqui conviennent.

b) Pour résoudre cette question, on utilisera un logiciel de calcul formel.

SoientAet B les matrices deM₃(R) suivantes :

A=





−2 1 1

8 1 −5

4 3 −3



 etB=





1 2 −1

2 −1 −1

−5 0 3





Existe-t-il une matriceC∈ M3(R) telle queA=CB? Déterminer toutes les matricesC solutions.

c) Pour la matriceB donnée dans la question précédente, caractériser par leurs colonnes les matricesA∈ M3(R) pour lesquelles il existeC∈ M3(R) telle que A=CB.

Déterminer dans ce cas l’ensemble des solutionsC.

d) Soient trois applications linéairesu∈ L(R^p,R^q) etv₁, v₂∈ L(R^p,Rⁿ).

Démontrer qu’il existe deux applications linéairesw₁, w₂∈ L(Rⁿ,R^q) telles que u=w₁◦v₁+w₂◦v₂ si, et seulement si,

kerv₁∩kerv₂⊂keru

[Enoncé fourni par le CENTRALE-SUPELEC (CC)-BY-NC-SA]

SoitEun espace vectoriel réel de dimension finie n>2.

a) Indiquer des endomorphismes deE dont la représentation matricielle est la même dans toutes les bases deE.

b) Soit (e1, . . . , en) une base de E. Montrer que pour touti∈ {2, . . . , n}, la famille (e₁+e_i, e₂, . . . , e_n) est une base deE.

c) Déterminer tous les endomorphismes deE dont la représentation matricielle est diagonale dans toutes les bases deE.

d) Quels sont les endomorphismes deE dont la représentation matricielle est la même dans toutes les bases deE?

Soitf un élément non nul de L(R³) vérifiant f³+f = 0

Montrer queR³= kerf⊕Imf et que l’on peut trouver une base dans laquellef a pour matrice

A=





0 0 0

0 0 1

0 −1 0





Matrices semblables

SoientE unK-espace vectoriel de dimensionn∈N^? etf ∈ L(E) tel quefⁿ = 0 etfⁿ⁻¹6= 0.

Montrer qu’il existe une baseBdeE pour laquelle :

Mat_B(f) =







0 1 0

. .. . .. . .. 1

0 0







Soitf ∈ L(E) tel quef²= 0.

Montrer qu’il existe une baseBtelle que la matrice def dansBsoit 0 Ir

0 0

(6)

SoitA∈ M3(R) vérifiant A²= 0 etA6= 0.

Etablir queAest semblable à la matrice

B =





0 0 0 1 0 0 0 0 0





SoitA∈ Mn(K) vérifiant

Aⁿ⁻¹6=On et Aⁿ=On

Etablir queAest semblable à la matrice

B =







0 1 (0)

. .. . .. . .. 1

(0) 0







SoitA∈ Mn(K) une matrice non nulle telle que les espaces ImAet kerAsoient supplémentaires.

Montrer que la matriceAest semblable à une matrice de la forme A⁰ 0

0 0

avecA⁰ ∈GLr(K)

SoitA∈ Mn(K) une matrice non nulle telle queA²= 0.

Montrer queAest semblable à B=

0 Ir

0 0

avecr= rgA.

SoitA∈ M3(R) non nulle vérifiant

A³+A=O₃ Montrer queAest semblable à la matrice





0 0 0

0 0 −1

0 1 0





SoitM ∈ M4(R) telle queM²+I= 0.

Montrer queM est semblable à la matrice







0 −1 0 0

1 0 0 0

0 0 0 −1

0 0 1 0







SoitA∈ M_n(R) de trace nulle.

Montrer queAest semblable à une matrice de la forme







0 ?

. ..

? 0







SoitA∈ Mn(K) une matrice de rang 1.

a) Montrer queAest semblable à une matrice dont lesn−1 premières colonnes sont nulles.

b) En déduire

A²= tr(A).A et det(In+A) = 1 + trA

Quelles sont les matrices carrées réelles d’ordrenqui commutent avec diag(1,2, . . . , n) et lui sont semblables ?

(7)

SoientAetB dansMn(R) semblables surC. Montrer queAetB sont semblables surR.

Soitf :Mn(C)→Cnon constante telle que :

∀(A, B)∈ Mn(C)², f(AB) =f(A)f(B) PourA∈ Mn(C), prouver l’équivalence :

Ainversible ⇔f(A)6= 0

SoitA∈ M3(R) non nulle vérifiantA²=O3. Déterminer la dimension de l’espace

C={M ∈ M3(R)/AM −M A=O₃}

Les matrices suivantes sont-elles semblables ?

A=







3 6 −5 −2

−1 −6 5 −2

−1 −10 8 −3

0 −3 2 0







etB=







1 2 6 21

0 2 2 5

0 0 3 2

0 0 0 5







SoitGune partie de Mn(R) non réduite à la matrice nulle.

On suppose que (G,×) est un groupe. Montrer qu’il exister∈N^? tel que le groupe (G,×) soit isomorphe à un sous-groupe de (GL_r(R),×).

Trace

Existe-t-il des matricesA, B∈ Mn(K) vérifiant AB−BA=In?

SoientA, B∈ Mn(K) des matrices vérifiant AB−BA=A Calculer tr (A^p) pourp∈N^?.

SoientE unK-espace vectoriel de dimension finie etf ∈ L(E) de rang 1.

Montrer

f²= tr(f).f

A quelle condition un endomorphisme de rang 1 est-il un projecteur ?

SoientA∈ Mn(R) et ϕl’endomorphisme de Mn(R) défini par ϕ(M) =M A

Exprimer la trace deϕen fonction de celle deA.

SoitM une matrice carrée de taillenà coefficients dansKsous-corps deC. Montrer que si trM = 0, il existe deux matricesAetB telles que

M =AB−BA

Soitϕune forme linéaire surMn(K). Montrer qu’il existeA∈ Mn(K) tel que pour toutM ∈ Mn(K),ϕ(M) = tr(AM).

On note tr la forme linéaire trace surE=Mn(K).

Etablir

ker(tr) = Vect{[A, B]/A, B∈E}

où l’on note [A, B] =AB−BA.

(8)

Etablir que Vect{AB−BA/A, B∈ Mn(R)}est un hyperplan deMn(R).

SoitA∈ Mn(R). Résoudre l’équation

X+^tX= tr(X)A d’inconnueX ∈ M_n(R).

a) Dans un espace de dimension finie, pourquoi le rang d’un projecteur est-il égal à sa trace ?

b) SoitA∈ Mn(K) vérifiantA^q =In. Montrer

dim ker(A−In) = 1 q

q−1

X

k=0

tr(A^k)

SoientE un espace vectoriel de dimension finie etGun sous-groupe de GL(E) de cardinal finin. Montrer

dim





\

g∈G

ker(g−IdE)



= 1 n

X

g∈G

trg

SoitKun corps de caractéristique nulle et H une partie non vide et finie de GLn(K) stable par multiplication.

a) SoitM ∈H. Montrer quek∈N^?7→M^k∈H n’est pas injective.

En déduire queH est un sous-groupe de GLn(K).

Soient

q=|H| et P= 1 q

X

M∈H

M

b) Montrer, siM ∈H, queM P =P M =P. En déduireP²=P.

c) Trouver un supplémentaire, dansMn,1(K), stable par tous les éléments deH, de

\

M∈H

ker(M −I_n)

d) Montrer que

X

M∈H

trM ∈qN Que dire si cette somme est nulle ?

a) SoitGun sous-groupe de GLn(R) tel que P

g∈G

trg= 0. Montrer que P

g∈G

g= 0.

b) SoitGun sous-groupe fini de GLn(R),V un sous-espace vectoriel de Rⁿ stable par les éléments deG. Montrer qu’il existe un supplémentaire deV dansRⁿ stable par tous les éléments deG.

SoitT une forme linéaire surMn(K) vérifiant

∀A, B∈ Mn(K), T(AB) =T(BA) Etablir queT ∈Vect{tr}.

Soitf une forme linéaire surMn(R) vérifiant

∀A, B∈ Mn(R),f(AB) =f(BA) Montrer quef est proportionnelle à la trace.

a) Soitf une forme linéaire surMn(R) vérifiant

∀A, B∈ M_n(R),f(AB) =f(BA) montrer quef est proportionnelle à la trace.

b) Soitgun endomorphisme de l’espace vectoriel Mn(R) vérifiant g(AB) =g(BA)

pour toutesA, B∈ Mn(R) etg(In) =In. Montrer queg conserve la trace.

(9)

SoitA∈ Mn(R). Calculer la trace de l’endomorphismef ∈ Mn(R) donné par f(M) =AM+M A

PourA etB fixées dansMn(R), résoudre dansMn(R) l’équation X = tr(X)A+B

SoitE unR-espace vectoriel de dimension finien >1.

Montrer quef ∈ L(E) de rang 1 n’est pas forcément un projecteur.

Montrer quef ∈ L(E) de rang 1 et de trace 1 est un projecteur.

Trouver une base deL(E) constituée de projecteurs.

SoientA1, . . . , Ak∈ Mn(R) vérifiant

A1+· · ·+Ak =In et ∀16i6k, A²_i =Ai

Montrer

∀16i6=j6k, AiAj =On

Déterminants

SoitA∈ Mn(K) de colonnesC1, . . . , Cn.

Calculer le déterminant de la matriceB de colonnes C1−C2, . . . , C_n−1−Cn, Cn−C1

SoientA, B∈ Mn(R) telles queAB=BA.

Montrer que det(A²+B²)>0.

SoientA∈ Mn(C) et ϕA∈ L(Mn(C)) déterminé par ϕA(M) =AM Calculer la trace et le déterminant deϕA

On dit qu’une matriceA∈ Mn(R) est élément de GLn(Z) si la matriceA est à coefficients entiers, qu’elle est inversible et que son inverse est à coefficients entiers.

a) Montrer que siA∈GLn(Z) alors|detA|= 1.

b) SoientA, B∈ Mn(R) vérifiant :

∀k∈ {0,1, . . . ,2n}, A+kB∈GLn(Z) Calculer detAet detB.

SoientA∈ Mn(R) (n>2) de colonnesA1, . . . , An et B∈ Mn(R) de colonnes B₁, . . . , B_n déterminées par

B_j =X

i6=j

A_i

Exprimer detB en fonction de detA.

On noteV l’ensemble des matrices à coefficients entiers du type







a b c d d a b c c d a b b c d a







etGl’ensemble desM ∈V inversibles dansM₄(R) et dont l’inverse est dansV. a) Quelle est la structure deG?

b) SoitM ∈V. Montrer queM ∈Gsi, et seulement si, detM =±1.

c) Donner un groupe standard isomorphe àGmuni du produit.

(10)

Soient des matricesA, B∈ Mn(Z) telles que detAet detB sont premiers entre eux.

Montrer l’existence deU, V ∈ Mn(Z) telles que U A+V B =In

SoitA∈ M_n(C) vérifiant pour toutX ∈ M_n(C), det(A+X) = detA+ detX Montrer que detA= 0 puisA= 0.

SoientAet H dansMn(R) avec rgH = 1. Montrer : det(A+H) det(A−H)6detA²

Soientn∈N^?,E unK-espace vectoriel de dimensionn,f ∈ L(E) et B= (e1, ..., en) une base de E. Montrer que pour tout (x1, ..., xn)∈Eⁿ :

n

X

j=1

detB (x1, ..., f(xj), ..., xn) = tr(f) det

B (x1, ..., xn)

SoientA∈ M2n(R) antisymétrique etJ ∈ M2n(R) la matrice dont tous les coefficients sont égaux à 1. Etablir

∀x∈R,det(A+xJ) = detA

SoitA= (ai,j)∈ Mn(R) vérifiant

∀(i, j)∈ {1, . . . , n}², a_i,j>0 et∀i∈ {1, . . . , n},

n

X

j=1

a_i,j61 Montrer

|detA|61

On note GLn(Z) l’ensemble formé des matrices inversibles d’ordrenà coefficients entiers dont l’inverse est encore à coefficients entiers.

Soienta1, . . . , an des entiers (n>2). Montrer qu’il existe une matrice de GLn(Z) dont la première ligne est formée des entiersa1, a2, . . . , an si, et seulement si, ces entiers sont premiers dans leur ensemble.

SoitA= (a_i,j)∈ Mn(R) vérifiant

∀i∈ {1, . . . , n},|ai,i|>X

j6=i

|ai,j|

a) Montrer queAest inversible.

b) On suppose en outre

∀i∈ {1, . . . , n}, ai,i>0 Montrer que detA >0.

Calcul de déterminants

Calculer le déterminant

a₁+x (x) . ..

(x) an+x

oùx, a1, . . . , an réels.

Soientx1, . . . , xn∈C. Calculer

Vn(x1, . . . , xn) =

1 x1 x²₁ · · · xⁿ⁻¹₁ 1 x₂ x²₂ · · · xⁿ⁻¹₂

... ... ... ... 1 xn x²_n · · · xⁿ⁻¹_n

(11)

Calculer poura1, . . . , an∈Kle déterminant suivant

Dn=

1 a1 a²₁ · · · aⁿ⁻²₁ aⁿ₁ 1 a₂ a²₂ · · · aⁿ⁻²₂ aⁿ₂ ... ... ... ... ... 1 a_n a²_n · · · aⁿ⁻²_n aⁿ_n

Calculer

Dk =

1 a₁ · · · a^k−1₁ a^k+1₁ · · · aⁿ₁ 1 a₂ · · · a^k−1₂ a^k+1₂ · · · aⁿ₂ ... ... ... ... ... 1 a_n · · · a^k−1_n a^k+1_n · · · aⁿ_n

Soitλ1, . . . , λn∈Cdistincts et P(X) =

n

Q

i=1

(X−λi). Calculer :

∆(X) =

P(X) X−λ1

P(X)

X−λ2 · · · _X−λ^P(X)

n

1 1 · · · 1 ... ... ... λⁿ⁻²₁ λⁿ⁻²₂ · · · λⁿ⁻²_n

Pour (i, j)∈[[1, n]]², on considèreai∈Retbj∈Rtels queai+bj6= 0.

Calculer

det 1

a_i+b_j

16i,j6n

[déterminant de Cauchy]

Traiter en particulier le cas où

∀i∈[[1, n]], ai=bi=i[déterminant de Hilbert]

Etablir que l’inverse de la matriceH =

1 i+j−1

16i,j6n

est à coefficients entiers.

On pose

Pn(X) =Xⁿ−X+ 1 (avecn>2) a) Montrer quePn admetnracines distinctesz1, . . . , zn dansC. b) Calculer le déterminant de







1 +z₁ 1 · · · 1 1 1 +z2 . .. ... ... . .. . .. 1 1 · · · 1 1 +zn







[Déterminant de Hurwitz]

Soienta, λ1, . . . , λn∈C. Calculer le déterminant de la matrice suivante

H=







a+λ₁ (a) . ..

(a) a+λn







Soienta1, . . . , an, b1, . . . , bn ∈C. Calculer le déterminant de la matrice de coefficient

ai,j=

ai+bi sii=j bj sinon

Soient un natureln>2 et (x1, . . . , xn) une famille denréels distincts de [0, π].

On pose

Pn= Y

16i<j6n

(cosxj−cosxi) et on considère la matriceMn∈ Mn(R) de coefficient général

mi,j = cos ((j−1)xi)

a) Montrer quem_i,j est un polynôme en cosx_i et donner son coefficient dominant.

b) Calculer detMn en fonction dePn.

(12)

Montrer

Dn =

1 n n−1 . . . 2

2 1 . .. 3

... . .. . .. . .. ... n−1 . .. 1 n n n−1 . . . 2 1

= (−1)ⁿ⁺¹(n+ 1)nⁿ⁻¹ 2

Pour une famille denréels distincts (xk) de [0, π], on pose Pn = Y

16i<j6n

(cosxi−cosxj)

a) Combien le produit définissantP_n comporte-t-il de facteurs ?

b) Pour (i, j)∈[[1,4]]² écrire la matriceM ∈ M4(R) de coefficient général mi,j= cos ((j−1)xi)

c) Montrer quem_i,j est un polynôme en cosx_i.

d) Calculer detM en fonction deP₄et montrer |detM|<24

Déterminants tridiagonaux

Poura∈K^?, calculer

Dn=

2a a (0)

a . .. . .. . .. . .. a

(0) a 2a

Soit (a, b)∈R²; calculer

Dn=

a+b b (0)

a . .. . .. . .. . .. b

(0) a a+b

[n]

Soienta, b∈C^? distincts. Calculer

D_n=

a+b ab (0) 1 . .. . ..

. .. . .. ab

(0) 1 a+b

Soientx∈Cetn∈N^?. Calculer

D_n =

1 +x² x (0)

x . .. . .. . .. . .. x

(0) x 1 +x²

[n]

Soientθ∈Retn∈N^?. Calculer

Dn =

2 cosθ 1 (0)

1 . .. . .. . .. . .. 1

(0) 1 2 cosθ

[n]

Calculer

Dn=

0 1 (0)

n 0 2

n−1 . .. . .. . .. . .. n

(0) 1 0

[n+1]

(13)

Déterminant par blocs

SoientA, B, C, D∈ Mn(K). On suppose queD est inversible et queC etD commutent. Etablir

det

A B C D

= det(AD−BC)

SoientA, B, C, D∈ M_n(K) avecDinversible. Etablir det

A B C D

= det(AD−BD⁻¹CD)

SoientA, B, C, D∈ Mn(K) avecAC=CA. Montrer que det

A C B D

= det(DA−BC)

a) SoientA, B∈ Mn(R). Montrer que det

A B

−B A

>0

b) SoientA, B∈ Mn(R) telles queAB=BA. Montrer que det(A²+B²)>0.

c) Trouver un contre-exemple à b) siAetB ne commutent pas.

d) SoientA, B, C, D∈ Mn(R) telles queAC=CA. Montrer que det

A B C D

= det(AD−CB)

SoientA, B∈ M_n(R).

a) Montrer

A B B A

= det(A+B) det(A−B) b) Justifier

A −B

B A

>0

SoientB∈ Mn(R) et

A=

I_n B B I_n

∈ M2n(R) a) A quelle condition la matriceAest-elle inversible ? b) Donner son inverse quand cela est possible.

On considère une matriceM ∈ Mn(K) inversible écrite sous la forme M =

A B C D

avecA∈ Mp(K) et D∈ Mn−p(K).

On écrit la comatrice deM sous une forme analogue comM =

A⁰ B⁰ C⁰ D⁰

avecA⁰∈ Mp(K) etD⁰∈ M_n−p(K).

Vérifier

detA⁰ = det(M)^p−1detD

SoientA, B, C, D∈ Mn(R).

a) On supposeC^tD symétrique etD inversible. Montrer que det

A B C D

= det A^tD−B^tC

b) On suppose toujoursC^tD symétrique mais on ne suppose plusD inversible.

Montrer que l’égalité précédente reste vraie.

SoientA, B, C, Ddes matrices carrées d’ordren, réelles et commutant deux à deux. Montrer que la matrice

M =

A B C D

est inversible si, et seulement si,AD−BC l’est.

(14)

Corrections

Exercice 1 :[énoncé]

Une matriceX solution commute avecA.

En étudiant l’équationAX=XAcoefficients par coefficients, on observe queX est de la forme





a 0 x

0 b y

0 0 c





Pour une telle matrice, l’équationX²=Aéquivaut au système :









 a²= 1 b²= 4 c²= 16 (a+c)x= 1 (b+c)y= 2

Les solutions sont donc





1 0 1/5 0 2 1/3

0 0 4



,





−1 0 1/3 0 2 1/3

0 0 4



,





1 0 1/5

0 −2 1

0 0 4



,





−1 0 1/3

0 −2 1

0 0 4



,





1 0 −1/3

0 2 −1

0 0 −4



etc. . .

a) SiAn’est pas inversible alors rgA < n. Or il est possible de construire une matrice nilpotente de rang égal à rgA. Deux matrices étant équivalentes si, et seulement si, elles ont le même rang, on peut conclure queA est équivalente à une matrice nilpotente. La réciproque est immédiate.

b) SiAest inversible alorsf(A)f(A⁻¹) =f(In) = 1 doncf(A)6= 0. SiAn’est pas inversible alorsAest équivalente à une matrice nilpotenteB. Pour celle-ci, on a f(B) = 0 carf(Bⁿ) =f(B)ⁿ. Puisqu’on peut écrireA=P BQavecP etQ inversibles, on peut concluref(A) = 0.

a) On a

SN(x)²−1−x=SN(x)²−S(x)²=RN(x)(S(x) +SN(x))

C’est donc une série entière dont le premier terme non nul est au moins unx^N⁺¹. D’autre part (SN(x))²−1−xest un polynôme.

b) PourN tel queA^N = 0, (SN(A))²−I−A=On doncB=SN(A) convient.

a)DEi,j=aiEi,j etEi,jD=ajEi,j donc

ϕ(Ei,j) = (ai−aj)Ei,j

PosonsI=n

(i, j)∈[[1, n]]²/ai6=aj

o et J =n

(i, j)∈[[1, n]]²/ai=aj

o

= [[1, n]]²\I.

Pour (i, j)∈I,E_i,j∈Imϕet pour (i, j)∈J,E_i,j∈kerϕ.

Ainsi

Vect{E_i,j/(i, j)∈I} ⊂Imϕet Vect{E_i,j/(i, j)∈J} ⊂kerϕ Or

dim Vect{Ei,j/(i, j)∈I}+ dim Vect{Ei,j/(i, j)∈J}=n²= dim Imϕ+ dim kerϕ donc

dim Vect{Ei,j/(i, j)∈I}= dim Imϕ et

dim Vect{Ei,j/(i, j)∈J}= dim kerϕ puis

Vect{Ei,j/(i, j)∈I}= Imϕet Vect{Ei,j/(i, j)∈J}= kerϕ b) SiD est à coefficients diagonaux distincts alors

I=n

(i, j)∈[[1, n]]²/i6=jo

et J ={(i, i)/i∈[[1, n]]}

Par suite Imϕest l’espace des matrices de diagonale nulle tandis que kerϕest l’espace des matrices diagonales.

a) SupposonsM²∈ A.Aet Vect(I_n) étant supplémentaires dansM_n(C), on peut écrireM =A+λI_n avecA∈ A. On a alorsM²=A²+ 2λAI_n+λ²I_n d’où l’on tireλ²I_n ∈ Apuisλ= 0 ce qui donneM ∈ A.

Pouri6=j,E_i,j² = 0∈ AdoncEi,j∈ ApuisEi,i=Ei,j×Ej,i∈ A. Par suite In =E1,1+· · ·+En,n∈ A. Absurde.

(15)

b) Formons une équation de l’hyperplanAde la formeax+by+cz+dt= 0 en la matrice inconnueM =

x y z t

avec (a, b, c, d)6= (0,0,0,0). Cette équation peut se réécrire tr(AM) = 0 avecA=

a c b d

.

PuisqueI₂∈ A, on a trA= 0. Soitλune valeur propre deA.

Siλ6= 0 alors−λest aussi valeur propre deA et doncAest diagonalisable via une matriceP.

On observe alors que les matricesM deAsont celles telles que P⁻¹M P a ses coefficients diagonaux égaux.

Mais alors pourM =P

1 1 0 1

P⁻¹ etN =P

1 0 1 1

P⁻¹ on aM, N ∈ A alors queM N ∈ A.

Siλ= 0 alorsA est trigonalisable en

0 α 0 0

avecα6= 0 via une matriceP.

On observe alors que les matricesM deAsont celles telles que P⁻¹M P est triangulaire supérieure. L’applicationM 7→P⁻¹M P est un isomorphisme comme voulu.

SupposonsAinversible. PuisqueA etB commutent,A⁻¹ etB aussi. CommeB est nilpotente,−A⁻¹B l’est aussi. Or il est classique d’observer que siN est nilpotente,I−N est inversible d’inverse I+N+· · ·+N^p−1avecpl’ordre de nilpotence deN. AinsiI+A⁻¹B est inversible etA+B=A(I+A⁻¹B) aussi.

SupposonsA+B inversible, puisque−B est nilpotente et commute avecA+B, A=A+B−B est inversible.

PosonsBk =A^k+A^−k. On vérifie A^k+A^−k

A+A⁻¹

=A^k+1+A^−(k+1)+A^k−1+A^−(k−1) et donc

Bk=Bk+1+Bk−1

SachantB0= 2In etB1=In, on a par récurrenceBk =λkIn avec (λk) la suite récurrente linéaire double déterminée par

(λ₀= 2, λ₁= 1 λn+1=λn−λ_n−1

Après résolution

λ_n= 1 +i√ 3ⁿ

+ 1−i√ 3ⁿ 2ⁿ

Il suffit d’écrire

A⁻¹B =A⁻¹(BA)A⁻¹=A⁻¹(AB)A⁻¹=BA⁻¹

a) SoitM ∈ Mn(K) commutant avec toute matrice deMn(K).

Pouri6=j, on a Ei,jM =M Ei,j.

L’égalité des coefficients d’indice (i, i) donnemj,i= 0.

L’égalité des coefficients d’indice (i, j) donnemj,j =mi,i.

Par suite la matriceM est scalaire. La réciproque est immédiate.

b) On reprend l’étude ci-dessus en étudiant la commutation deM avecIn+Ei,j

qui conduit à nouveau à l’égalitéE_i,jM =M E_i,j. On obtient la même conclusion.

En étudiant l’égalitéAM =M A, on justifieC(A) =Dn(C).C(A) est donc un sous-espace vectoriel de dimensionn. De plus il contient évidemment les éléments A^k pour k∈ {0, . . . , n−1} (et, plus généralement, tout polynôme enA).

Supposons

λ0I+λ1A+· · ·+λn−1Aⁿ⁻¹= 0

Le polynômeP =λ0+λ1X+· · ·+λn−1Xⁿ⁻¹est annulateur de A, donc les α1, . . . , αn qui sont valeurs propres deAsont aussi racines deP qui possède alors plus de racines que son degré. On peut alors affirmerP = 0 puis

λ₀=. . .=λ_n−1= 0.

La famille (A^k)₀₆_k₆_n−1 est une famille libre ànéléments deC(A), c’en est donc une base

a) L’inclusion⊃est immédiate.

Inversement, soitA∈ Mn(R) commutant avec toute matrice M ∈GLn(R).

Soienti, j∈ {1, . . . , n} aveci6=j.

PourM =In+Ei,j, la relationAM=M A donne AEi,j=Ei,jA

(16)

L’identification des coefficients d’indices (i, j) et (j, j) donnent respectivement ai,i=aj,j etaj,i= 0

On en déduit que la matriceA est diagonale et que ses coefficients diagonaux sont égaux, autrement dit,Aest une matrice scalaire.

b) SoitB∈GLn(K). On peut écrire

A= (AB⁻¹)B et donc

A=B(AB⁻¹) On en déduit

AB=BA

et ainsi la matriceAcommute avec toute matrice inversible. On peut alors conclure queAest une matrice scalaire.

Par récurrence surn>1.

La propriété est immédiate pourn= 1.

Supposons la propriété vraie au rangn>1.

SoitT ∈ Mn+1(K) triangulaire supérieure commutant avec sa transposée.

On peut écrire

T =

α ^tX On,1 S

avecα∈K,X ∈ Mn,1(K) etS ∈ Mn(K) triangulaire supérieure.

L’identification du coefficient d’indice (1,1) dans la relation^tT T =T^tT donne α²=α²+^tXX

On en déduitX =On,1 et l’égalité^tT T =T^tT donne alors^tSS=S^tS.

Par hypothèse de récurrence, la matriceS est diagonale et par conséquent la matriceT l’est aussi.

Récurrence établie.

SoitA= (a_i,j)∈ M_n(K) une matrice commutant avec toutes les matrices symétriques.

Soienti < j∈ {1, . . . , n}.

La matriceAcommute avec la matrice symétriqueEi,j+Ej,ice qui permet d’écrire

A(Ei,j+Ej,i) = (Ei,j+Ej,i)A L’égalité des coefficients d’indice (i, j) donne

ai,i=aj,j

La matriceAcommute avec la matrice symétriqueEi,i ce qui permet d’écrire AEi,i=Ei,iA

L’égalité des coefficients d’indice (i, j) donne ai,j= 0

On en déduit que la matriceAest de la formeλIn avecλ∈K. La réciproque est immédiate.

Casn= 2

Les matrices antisymétriques sont colinéaires à la matrice 0 1

−1 0

En étudiant la commutation d’une matrice deM2(R) avec cette dernière, on obtient que les matrices deM2(R) commutant avec les matrices antisymétriques sont de la forme

a b

−b a

Casn>3

SoitA= (ai,j)∈ Mn(K) une matrice commutant avec toutes les matrices antisymétriques.

Soienti < j∈ {1, . . . , n}etk∈ {1, . . . , n} aveck6=i, j.

La matriceAcommute avec la matrice antisymétriqueEi,j−Ej,ice qui permet d’écrire

A(Ei,j−Ej,i) = (Ei,j−Ej,i)A L’égalité des coefficients d’indice (i, j) et (k, j) donne

ai,i=aj,j etak,i = 0

On en déduit que la matriceAest de la formeλIn avecλ∈K. La réciproque est immédiate.