Exercices sur le calcul matriciel

(1)

Calcul matriciel

Opérations sur les matrices

Exercice 1 [ 01247 ][correction]

PourA∈ Mn(K), on noteσ(A) la somme des termes deA.

On pose

J =







1 · · · 1 ... (1) ... 1 · · · 1





 VérifierJ.A.J=σ(A).J.

Pouri, j, k, `∈ {1, . . . , n}, on noteEi,j et Ek,`les matrices élémentaires de Mn(K) d’indices (i, j) et (k, `). Calculer

Ei,j×Ek,`

Soit

M =

a b c d

∈ M2(R) avec 06d6c6b6aetb+c6a+d.

Pour toutn>2, on note

Mⁿ=

an bn

cn dn

Démontrer que, pour toutn>2,

b_n+c_n 6a_n+d_n

SoientA, B∈ Mn(K) vérifiant

AB=A+B Montrer queAet B commutent

Résoudre l’équationX²=A où

A=





1 0 1

0 4 2

0 0 16





SoitA∈GLn(R) vérifiant

A+A⁻¹=In

Pourk∈N, calculerA^k+A^−k.

Problèmes de commutation

Soientλ1, . . . , λn des éléments deKdeux à deux distincts etD= diag(λ1, . . . , λn).

Déterminer les matrices deMn(K) commutant avec D.

SoitA= (ai,j)∈ Mn(K). Montrer que

∀B∈ Mn(K), AB=BA⇔ ∃λ∈K, A=λ.In

SoientA, B∈ Mn(R) oùB est nilpotente et commute avecA. Montrer queA et A+B sont simultanément inversibles.

On suppose queA, B∈ Mn(K) commutent et queAest inversible.

Justifier que les matricesA⁻¹ et B commutent.

a) Quelles sont les matrices deM_n(K) commutant avec toutes les matrices de Mn(K) ?

b) Même question aves les matrices commutant avec toutes celles de GLn(K).

(2)

Soientn∈N^?,α1, . . . , αn des complexes distincts,A= diag(α1, . . . , αn) et C(A) ={M ∈ Mn(C), AM =M A}

Montrer que (A^k)06k6n−1 est une base deC(A).

Soitn∈Navecn>2.

a) Montrer que

{A∈ Mn(R)/∀M ∈GLn(R), AM =M A}={λIn/λ∈R} b) SoitA∈ Mn(R). On suppose que

∀M, N ∈ Mn(R), A=M N ⇒A=N M Montrer qu’il existeλ∈Rtel queA=λI_n

SoitT ∈ Mn(R) une matrice triangulaire supérieure.

Montrer queT commute avec sa transposée si, et seulement si, la matriceT est diagonale.

Soitn>2. Déterminer les matrices deMn(K) commutant avec toutes les matrices symétriques.

Soitn>2. Déterminer les matrices deMn(K) commutant avec toutes les matrices antisymétriques.

SoientD= diag(a1, . . . , an)∈ Mn(K) et

ϕ:M ∈ M_n(K)7→DM−M D a) Déterminer noyau et image de l’endomorphismeϕ.

b) Préciser ces espaces quandD est à coefficients diagonaux distincts.

Calcul des puissances d’une matrice carrée

CalculerAⁿ pour n∈Net les matricesAsuivantes : a) A=

1 1 0 2

b)A=

a b 0 a

c) A=

cosθ −sinθ sinθ cosθ

On considère la matrice

A=





1 1 1 0 1 1 0 0 1



 et on poseB=A−I.

CalculerBⁿ pourn∈Net en déduire l’expression deAⁿ. Exercice 20 [ 01253 ][correction]

CalculerAⁿ pour

A=





1 1 0 0 1 1 0 0 1



 de deux manières différentes.

On considère la matrice

A=

−1 −2

3 4

a) CalculerA²−3A+ 2I. En déduire queAest inversible et calculer son inverse.

b) Pourn>2, déterminer le reste de la division euclidienne deXⁿ par X²−3X+ 2.

c) En déduire l’expression de la matriceAⁿ. Exercice 22 [ 02929 ][correction]

Soit

A=







1 · · · 1

0 1 ...

... . .. . .. ... 0 · · · 0 1







∈ Mn(R)

(3)

a) Soitk∈N^?. Majorer les coefficients deA^k. b) CalculerA⁻¹.

c) Calculer (A⁻¹)^k pourk∈N.

Matrices carrées inversibles

Soit

A=

a b c d

∈ M₂(K) Observer que

A²−(a+d)A+ (ad−bc)I= 0 A quelle conditionAest-elle inversible ? Déterminer alorsA⁻¹.

Calculer l’inverse des matrices carrées suivantes :

a)A=





1 0 −1

2 1 −3

−1 0 2



 b)B=





1 0 1

2 −1 1

−1 1 −1



 c) C=





1 1 −1

2 0 1

2 1 −1





Justifier que

A=







1 (−1)

. ..

0 1





∈ Mn(R) est inversible et déterminerA⁻¹.

[Matrice à diagonale strictement dominante]

SoitA= (ai,j)∈ Mn(C) telle que

∀16i6n, X

j6=i

|ai,j|<|ai,i|

Montrer que la matriceAest inversible.

Soientn∈N\ {0,1} etω= exp ^2iπ_n

. On pose A=

ω^{(k−1)(`−1)}

16k,`6n∈ Mn(C) CalculerAA. En déduire que¯ Aest inversible et calculerA⁻¹. Exercice 28 [ 01260 ][correction]

Soit

A=





2 −1 2

5 −3 3

−1 0 −2



 a) Calculer (A+I)³.

b) En déduire queA est inversible.

SoitA= (1−δi,j)∈ Mn(R) a) CalculerA².

b) Montrer queAest inversible et exprimerA⁻¹. Exercice 30 [ 01262 ][correction]

SoitA∈ Mn(K) telle que la matriceI+Asoit inversible. On pose B= (I−A)(I+A)⁻¹.

a) Montrer queB= (I+A)⁻¹(I−A).

b) Montrer queI+B est inversible et exprimerAen fonction deB. Exercice 31 [ 03420 ][correction]

SoientA, B, C ∈ M_n(K) (n>2) non nulles vérifiant ABC=O_n

Montrer qu’au moins deux des matricesA, B, C ne sont pas inversibles.

Montrer que la matrice

A=







0 1 1 1

1 0 1 1

1 1 0 1

1 1 1 0





 est inversible et calculer son inverse.

(4)

Montrer que les matrices carrées d’ordren>2 suivantes sont inversibles, et déterminer leur inverse par la méthode de Gauss

a)A=







1 −a (0)

. .. . .. . .. −a

(0) 1







b)B=







1 (1)

. ..

(0) 1







c)C=







1 2 · · · n . .. . .. ...

. .. 2

(0) 1







Symétrie matricielle

Déterminer une condition nécessaire et suffisante pour que le produit de deux matrices symétriques soit encore une matrice symétrique.

Montrer queSn(R) etAn(R) sont des sous-espaces vectoriels supplémentaires de Mn(R).

Structures formées par un ensemble de matrices

SoitE l’ensemble des matrices de la forme M(a, b, c) =





a b c 0 a b

0 0 a



 aveca, b, c∈R.

Notre objectif est d’établir que l’inverse d’une matrice inversible deE appartient encore àE, sans pour autant calculer cet inverse.

a) Montrer que (E,+, .) est unR-espace vectoriel dont on précisera la dimension.

b) Montrer que (E,+,×) est un anneau commutatif.

c) A quelle condition sur (a, b, c)∈R³, la matriceA=M(a, b, c) est-elle inversible dansM3(R) ? On suppose cette condition vérifiée. En considérant l’application f :E→E définie parf(X) =AX, montrer queA⁻¹∈E.

[Matrices de permutation]

Soitn∈N\ {0,1}. Pourσ∈Sn, on note P(σ) = δ_i,σ(j)

16i,j6n∈ Mn(R) appelée matrice de permutation associée àσ.

a) Montrer que

∀(σ, σ⁰)∈S²_n, P(σ◦σ⁰) =P(σ)P(σ⁰)

b) En déduire queE={P(σ)/σ∈Sn} est un sous-groupe de GLn(R) isomorphe àSn.

c) Vérifier que

t(P(σ)) =P(σ⁻¹)

SoitEl’ensemble des matrices deM2(K) de la forme A=

a+b b

−b a−b

avec (a, b)∈K²

a) Montrer queE est un sous-espace vectoriel deM2(K), en donner une base.

b) Montrer queE est un sous-anneau commutatif deM2(K).

c) Déterminer les inversibles deE.

d) Déterminer les diviseurs de zéro deE c’est-à-dire les matricesAetB ∈E vérifiantAB=O₂ avecA, B6=O₂.

On dit qu’une matriceA= (ai,j)∈ Mn(K) est centro-symétrique si

∀(i, j)∈[[1, n]]², an+1−i,n+1−j=ai,j

a) Montrer que le sous-ensembleC deMn(K) formé des matrices centro-symétriques est un sous-espace vectoriel deMn(K).

b) Montrer que le produit de deux matrices centro-symétriques deMn(K) est aussi centro-symétrique.

c) SoitAcentro-symétrique deM_n(K) et inversible.

En considérant l’applicationX 7→AX deCversC, montrer queA⁻¹ est centro-symétrique.

(5)

Matrice d’une application linéaires

Déterminer la matrice relative aux bases canoniques des applications linéairesf suivantes :

a)f : (

R³→R²

(x, y, z)7→(x+y, y−2x+z) b)f : (

R³→R³

(x, y, z)7→(y+z, z+x, x+y) c)f :

(

R3[X]→R3[X]

P 7→P(X+ 1) d)f : (

R3[X]→R⁴

P 7→(P(1), P(2), P(3), P(4))

On considère les sous-espaces vectoriels supplémentaires deR³ suivants : P=

(x, y, z)∈R³|x+ 2y−z= 0 etD= Vect(w) oùw= (1,0,−1) On noteB= (i, j, k) la base canonique deR³.

On notepla projection vectorielle surP parallèlement àD,qcelle sur D parallèlement àP, et enfin,sla symétrie vectorielle par rapport àP et parallèlement àD.

a) Former la matrice depdansB.

b) En déduire les matrices, dansB, deqet des.

Soitϕl’endomorphisme de Rⁿ[X] défini par ϕ(P) =P(X+ 1).

a) Ecrire la matriceAdeϕdans la base canoniqueBdeRⁿ[X].

b) Justifier queAest inversible et calculerA⁻¹.

SoientA= (a_i,j)₁₆_i,j₆_n+1∈ M_n+1(R) avec a_i,j= j−1

i−1

!

=C_j−1ⁱ⁻¹ etϕ∈ L(Rn[X]) canoniquement représenté parA.

a) Exprimerϕ(P) pour toutP ∈Rn[X].

b) CalculerA^m pour toutm∈N. c) CalculerA⁻¹.

Soienta∈C^? etf :C→Cdéfinie parf(z) =z+a¯z.

Former la matrice de l’endomorphismef duR-espace vectorielCdans la base (1, i).

Déterminer image et noyau def.

Matrice d’un endomorphisme dans une base bien choisie

SoitE unK-espace vectoriel de dimension 3 etf ∈ L(E) tel quef²6= 0 et f³= 0.

Montrer qu’il existe une base deE dans laquelle la matrice def est





0 0 0 1 0 0 0 1 0





Soitf un endomorphisme d’unK-espace vectorielE de dimensionn∈N^?vérifiant fⁿ = 0 etfⁿ⁻¹6= 0

a) Justifier qu’il existe un vecteurx∈E tel que la famille B= x, f(x), f²(x), . . . , fⁿ⁻¹(x)

forme une base de E.

b) Déterminer les matrices def, f², . . . , fⁿ⁻¹ dans cette base.

c) En déduire que

{g∈ L(E)/g◦f =f◦g}= Vect(Id, f, f², . . . , fⁿ⁻¹)

SoitEunK-espace vectoriel muni d’une baseB= (i, j, k).

Soitf l’endomorphisme de E dont la matrice dansBest A=





2 −1 −1

1 0 −1

1 −1 0



 a) CalculerA². Qu’en déduire surf?

b) Déterminer une base de Imf et kerf.

c) Quelle est la matrice def relativement à une base adaptée à la supplémentarité de Imf et kerf?

(6)

Soit

A=





2 −1 −1

−1 2 −1

−1 −1 2



 On noteB= (e1, e2, e3) la base canonique deR³.

Soitf l’endomorphisme deR³ dont la matrice dansBestA.

a) Déterminer kerf et Imf. Démontrer que ces sous-espaces sont supplémentaires dansR³.

b) Déterminer une base adaptée à cette supplémentarité et écrire la matrice def dans cette base.

c) Décriref comme composée de transformations vectorielles élémentaires.

SoientE unK-espace vectoriel de dimensionn∈N^? etf ∈ L(E) tel quefⁿ = 0 etfⁿ⁻¹6= 0.

Montrer qu’il existe une baseB deEpour laquelle :

Mat_B(f) =







0 1 0

. .. . .. . .. 1

0 0







Soitf ∈ L(E) tel quef²= 0.

Montrer qu’il existe une baseB telle que la matrice def dansBsoit 0 I_r

0 0

Changement de bases

Soit

A=





3 1 −3

−1 1 1

1 1 −1



 On noteB= (e1, e2, e3) la base canonique deR³.

Soitf l’endomorphisme de R³dont la matrice dansB estA.

On poseε1= (1,1,1), ε2= (1,−1,0), ε3= (1,0,1) etB⁰= (ε1, ε2, ε3).

a) Montrer queB⁰ constitue une base deR³. b) Ecrire la matrice def dans cette base.

c) Déterminer une base de kerf et de Imf.

Soitf ∈ L(R³) représenté dans la base canoniqueB par :





2 1 −1

0 1 0

1 1 0





a) SoitC= (ε₁, ε₂, ε₃) avecε₁= (1,0,1), ε₂= (−1,1,0), ε₃= (1,1,1).

Montrer queC est une base.

b) Déterminer la matrice def dansC.

c) Calculer la matrice defⁿ dansBpour toutn∈N.

SoitEunK-espace vectoriel muni d’une baseB= (e1, e2, e3).

Soitf l’endomorphisme de E dont la matrice dansBest

A=





2 −1 0

−2 1 −2

1 1 3



 SoitB⁰= (ε1, ε2, ε3) la famille définie par







ε₁=e₁+e₂−e₃ ε2=e1−e3

ε₃=e₁−e₂

a) Montrer queB⁰ est une base deE et former la matriceD def dansB⁰. b) Exprimer la matrice de passageP deBàB⁰ et calculerP⁻¹.

c) Quelle relation lie les matricesA, D, P etP⁻¹? d) CalculerAⁿ pour toutn∈N.

SoitEunK-espace vectoriel de dimension 3 etB= (e1, e2, e3) une base deE.

(7)

On considère les matrices A=





4 −2 −2

1 0 −1

3 −2 −1



 etD=





0 0 0 0 1 0 0 0 2



 Soitf l’endomorphisme deE dont la matrice dans la baseBestA.

a) Montrer qu’il existe une baseC= (ε₁, ε₂, ε₃) deE telle que la matrice def dansC soitD.

b) Déterminer la matriceP de GL₃(R) telle queA=P DP⁻¹. CalculerP⁻¹. c) CalculerAⁿ pour toutn∈N.

d) En déduire le terme général des suites (xn)_n∈_N,(yn)_n∈_Net (zn)_n∈_Ndéfinies par :





 x0= 1 y₀= 0 z0= 0

et ∀n∈N,







xn+1= 4xn−2(yn+zn) yn+1=xn−zn

zn+1= 3xn−2yn−zn

Soientb= (i, j) etB = (I, J) deux bases d’unR-espace vectoriel de dimension 2 etP la matrice de passage debà B.

Pourx∈E, notons

v= Mat_bxet V = Mat_Bx a) Retrouver la relation entrevet V.

b) Soientf ∈ L(E) et

m= Mat_bf et M = Mat_Bf Retrouver la relation entremet M.

c) Par quelle méthode peut-on calculermⁿ lorsqu’on connaît deux vecteurs propres non colinéaires def.

SoitE unK-espace vectoriel de dimension 3 muni d’une baseB= (e1, e2, e3).

Soitf ∈ L(E) dont la matrice dans la baseBest A=





0 1 1

0 1 0

−1 1 2



 On poseε₁=e₁+e₃,ε₂=e₁+e₂ et ε₃=e₁+e₂+e₃.

a) Montrer que la familleB⁰= (ε₁, ε₂, ε₃) forme une base deE et déterminer la matrice def dansB⁰.

b) CalculerAⁿ.

SoitEunK-espace vectoriel de dimension 3 muni d’une baseB= (e1, e2, e3).

Soitf ∈ L(E) dont la matrice dans la baseB est A=





0 2 1

−1 2 1

0 1 1



 On poseε₁=e₁+e₃,ε₂=e₁+e₂ etε₃=e₁+e₂+e₃.

a) Montrer queB⁰ = (ε₁, ε₂, ε₃) forme une base deE et déterminer la matrice de f dansB⁰.

b) CalculerAⁿ.

SoitEunK-espace vectoriel muni d’une baseB= (e₁, e₂, e₃).

Soitf l’endomorphisme de E dont la matrice dansBest A=





3 −2 2

1 2 0

1 1 1





a) Montrer qu’il existe une baseC= (ε1, ε2, ε3) deE dans laquelle la matrice représentative def est une matrice diagonaleD de coefficients diagonaux : 1,2 et 3.

b) Déterminer la matrice de passageP deBà C. Calculer P⁻¹. c) Quelle relation lie les matricesA, D, P etP⁻¹?

d) CalculerAⁿ pour toutn∈N.

Rang d’une matrice

Calculer le rang de familles de vecteurs suivantes deR³ : a) (x₁, x₂, x₃) avecx₁= (1,1,0), x₂= (1,0,1) etx₃= (0,1,1) b) (x₁, x₂, x₃) avecx₁= (2,1,1), x₂= (1,2,1) etx₃= (1,1,2) c) (x₁, x₂, x₃) avecx₁= (1,2,1), x₂= (1,0,3) etx₃= (1,1,2).

Calculer le rang des applications linéaires suivantes : a)f :K³→K³définie par

f(x, y, z) = (−x+y+z, x−y+z, x+y−z)

(8)

b)f :K³→K³définie par

f(x, y, z) = (x−y, y−z, z−x) c)f :K⁴→K⁴ définie par

f(x, y, z, t) = (x+y−t, x+z+ 2t,2x+y−z+t,−x+ 2y+z)

Calculer le rang des matrices suivantes en fonction des paramètres :

a)





1 1 1

b+c c+a a+b

bc ca ab



 b)





1 cosθ cos 2θ cosθ cos 2θ cos 3θ cos 2θ cos 3θ cos 4θ





c)







a b (0)

. .. . .. (0) . .. b

b (0) a







Soientn∈N^? et M ∈ Mn(R) définie par

M =







1 1 0 · · · 0 0 1 1 . .. ... ... . .. . .. . .. 0 0 . .. . .. 1 1 0 · · · 0 1







a) Donner le rang deM et la dimension de son noyau.

b) Préciser noyau et image deM. c) CalculerMⁿ.

SoitAetB deux matrices carrées d’ordre 3 telles queAB=O₃.

Montrer que l’une au moins de ces matrices est de rang inférieur ou égal à 1.

SoientA∈ M3,2(R) et B∈ M2,3(R) telles que AB=





1 0 0 0 1 0 0 0 0



 a) Déterminer les rangs deA etB.

b) CalculerBAen observant (AB)²=AB.

SoientA∈ M3,2(R) et B∈ M2,3(R) matrices de rang 2 vérifiant (AB)²=AB.

MontrerBA=I2.

SoitGun groupe multiplicatif formé d’éléments deMn(R).

Montrer que les éléments deGont tous le même rang.

SoientA, B∈ Mn(C) vérifiantA²B =Aet rgA= rgB. MontrerB²A=B.

Systèmes d’équations linéaires

Discuter, selonmparamètre réel, la dimension des sous-espaces vectoriels deR³ suivants :

a)F = (

(x, y, z)∈R³|

( x+my+z= 0 mx+y+mz= 0

) b)

F =







(x, y, z)∈R³|







x+y+mz= 0 x+my+z= 0 mx+y+z= 0





 .

On considère, pourmparamètre réel, les sous-espaces vectoriels deR³ : F =

(x, y, z)∈R³|x+my+z= 0 etmx+y−mz = 0 et G=

(x, y, z)∈R³|x−my+z= 0 . a) Déterminer la dimension deF etG.

b) Discuter, selon la valeur dem, la dimension du sous-espace vectorielF∩G.

(9)

Résoudre en fonction du paramètrem∈C, les systèmes suivants d’inconnues complexes :

a)







x−y+z=m x+my−z= 1

x−y−z= 1

b)







mx+y+z= 1 x+my+z=m x+y+mz=m² c)







mx+y+z+t= 1 x+my+z+t=m x+y+mz+t=m+ 1

Soienta, b∈C. Résoudre le système :







ax+by+z= 1 x+aby+z=b x+by+az= 1

Résoudre le système d’équations suivant d’inconnues complexes :











x₁ + x₂ + x₃ + ... + x_n = 1 x₁ + 2x₂ + 2x₃ + ... + 2x_n = 1 x₁ + 2x₂ + 3x₃ + ... + 3x_n = 1

... ... ...

x1 + 2x2 + 3x3 + ... + nxn = 1

Résoudre le système d’équations suivant d’inconnues complexes :











x1 + x2 = 0

x1 + x2 + x3 = 0

x2 + x3 + x4 = 0

. .. . .. . .. ...

xn−2 + xn−1 + xn = 0 xn−1 + xn = 0

Soienta1, ..., an des points du plan complexe.

Déterminer à quelle(s) condition(s) il existe au moins un polygone ànsommets z1, ..., zn tel que :

ai est le milieu de [zi, zi+1] etan est le milieu de [zn, z1].

Discuter suivantaetb et résoudre







ax+ 2by+ 2z= 1 2x+aby+ 2z=b 2x+ 2by+az= 1

Résoudre, en discutant selona, b∈Rle système











ax+y+z+t= 1 x+ay+z+t=b x+y+az+t=b² x+y+z+at=b³

Matrices équivalentes

a) Montrer qu’une matriceA∈ M_n(K) est non inversible si, et seulement si, elle est équivalente à une matrice nilpotente.

b) Soitf :Mn(K)→Kune application vérifiant :f(On) = 0,f(In) = 1 et pour toutA, B∈ Mn(K),

f(AB) =f(A)f(B)

Montrer queA∈ Mn(K) est inversible si, et seulement si,f(A)6= 0.

SoitA∈ M_n(R) une matrice de rangr.

Déterminer la dimension de l’espace

{B∈ M_n(R)/ABA=O_n}

(10)

SoientA, B∈ Mn(K).

a) Justifier qu’il existeU, V ∈GLn(K) tels que

rg(U A+BV) = min(n,rgA+ rgB)

b) On suppose rgA+ rgB >n. Montrer qu’il existeU, V ∈GLn(K) tels que U A+BV ∈GLn(R)

a) Montrer que siC∈ Mn(R) vérifie :

∀X ∈ Mn(R),det(C+X) = detX alors elle est nulle (on pourra étudier le rang deC).

b) Montrer que siAet B deMn(R) vérifient :

∀X ∈ Mn(R),det(A+X) = det(B+X) alorsA=B.

SoitA∈ Mn,p(K) de rangr. Montrer qu’il existe des matricesB etC respectivement dansMn,r(K) etMr,p(K) telles queA=BC.

Matrices de rang 1

SoitA∈ Mn(K) une matrice carrée de rang 1.

a) Etablir l’existence de colonnesX, Y ∈ Mn,1(K) vérifiant A=X^tY. b) En déduire l’existence deλ∈Ktel que A²=λA.

SoitAune matrice carrée de rang 1. Montrer qu’il existeλ∈Ktel que A²=λA.

SoitH∈ Mn(C) une matrice de rang 1.

a) Montrer qu’il existe des matricesU, V ∈ Mn,1(K) telles queH=U^tV. b) En déduire

H²= tr(H)H

c) On suppose trH 6=−1. Montrer queIn+H est inversible et (In+H)⁻¹=In− 1

1 + trHH

d) SoientA∈GLn(K) telle que tr(HA⁻¹)6=−1. Montrer queA+H est inversible et

(A+H)⁻¹=A⁻¹− 1

1 + tr(HA⁻¹)A⁻¹HA⁻¹

Rang d’une matrice par blocs

SoientA, B, C, D∈ Mn(K).

a) On note A B

∈ Mn,2n(K) la matrice obtenue en accolant les colonnes de B à droite de celles deA.

Montrer

rg A B

= rgA⇔ ∃U ∈ Mn(K), B=AU b) On note

A C

∈ M2n,n(K) la matrice obtenue en accolant les lignes de Cen dessous de celles deA.

Montrer

rg A

C

= rgA⇔ ∃V ∈ M_n(K), C =V A c) En déduire

rg

A B C D

= rgA⇔ ∃U, V ∈ M_n(K),

A B C D

=

A AU V A V AU

SoientA∈ Mn(K),B∈ Mp(K) etM la matrice M =

A On,p

O_p,n B

∈ Mn+p(K) Etablir

rgM = rgA+ rgB

(11)

SoientB∈ Mn,p(K) etC∈ Mp(K).

Montrer

rg

In B Op,n C

=n+ rgC

SoientA∈ Mn(K),B∈ Mp(K),C∈ Mn,p(K) et M =

A C Op,n B

∈ Mn+p(K) On supposeB inversible. Etablir

rgM =p⇔A=O_n

SoientA∈GL_p(R),B∈ M_p,q(R),C∈ M_q(R) et M =

A B O_q,p C

∈ Mp+q(R) Déterminer le rang deM en fonction de celui deC.

Calcul par blocs

SoientA∈ Mn(K) et

B=

On A In On

∈ M_2n(K) a) Montrer queAest inversible si, et seulement si,B l’est.

b) CalculerB^p pour toutp∈N.

SoitM ∈ Mn(K) une matrice de rangrdécomposée par blocs sous la forme M =

A B C D

avecA∈ Mr(K) supposée inversible.

a) Montrer que pour toute colonneY ∈ Mn−r,1(K) il existe une colonne X ∈ Mr,1(K) telle que

M 0_r Y

!

=M X

0n−r

!

b) En déduire queD=CA⁻¹B.

SoientA, B, C, D∈ Mn(K) et M =

A B C D

∈ M2n(K) On suppose que les matricesA, D etM sont inversibles.

ExprimerM⁻¹.

Soit

A=







1 −1 0 0

0 1 0 0

0 0 −1 1

0 0 0 −1





 CalculerAⁿ pour toutn∈Z.

Trace

Existe-t-il des matricesA, B∈ Mn(K) vérifiant AB−BA=In?

SoientA, B∈ Mn(K) des matrices vérifiant AB−BA=A Calculer tr (A^p) pourp∈N^?.

(12)

SoientE unK-espace vectoriel de dimension finie etf ∈ L(E) de rang 1.

Montrer

f²= tr(f).f

A quelle condition un endomorphisme de rang 1 est-il un projecteur ?

SoientA∈ Mn(R) et ϕl’endomorphisme de Mn(R) défini par ϕ(M) =M A

Exprimer la trace deϕen fonction de celle deA.

SoitM une matrice carrée de taillenà coefficients dansKsous-corps deC. Montrer que si trM = 0, il existe deux matricesAetB telles que

M =AB−BA

Soitϕune forme linéaire surMn(K). Montrer qu’il existeA∈ Mn(K) tel que pour toutM ∈ Mn(K),ϕ(M) = tr(AM).

On note tr la forme linéaire trace surE=Mn(K).

Etablir

ker(tr) = Vect{[A, B]/A, B∈E}

où l’on note [A, B] =AB−BA.

Etablir que Vect{AB−BA/A, B∈ Mn(R)}est un hyperplan deMn(R).

SoitA∈ Mn(R). Résoudre l’équation

X+^tX= tr(X)A d’inconnueX ∈ Mn(R).

a) Dans un espace de dimension finie, pourquoi le rang d’un projecteur est-il égal à sa trace ?

b) SoitA∈ Mn(K) vérifiantA^q =In. Montrer

dim ker(A−In) =1 q

q−1

X

k=0

tr(A^k)

SoientE un espace vectoriel de dimension finie etGun sous-groupe de GL(E) de cardinal finin. Montrer

dim





\

g∈G

ker(g−IdE)



= 1 n

X

g∈G

trg

SoientK=RouCetH une partie non vide et finie de GLn(K) stable par multiplication.

a) SoitM ∈H. Montrer quek∈N^?7→M^k∈H n’est pas injective.

En déduire queH est un sous-groupe de GLn(K).

Soient

q=|H| etP = 1 q

X

M∈H

M

b) Montrer, siM ∈H, queM P =P M =P. En déduireP²=P.

c) Trouver un supplémentaire, dansMn,1(K), stable par tous les éléments deH, de

\

M∈H

ker(M −In) d) Montrer que

X

M∈H

trM ∈qN Que dire si cette somme est nulle ?

a) SoitGun sous-groupe fini de GLn(R) tel que P

g∈G

trg= 0. Montrer que P

g∈G

g= 0.

(13)

b) SoitGun sous-groupe fini de GLn(R),V un sous-espace vectoriel deRⁿ stable par les éléments deG. Montrer qu’il existe un supplémentaire deV dansRⁿ stable par tous les éléments deG.

SoitT une forme linéaire surMn(K) vérifiant

∀A, B∈ Mn(K), T(AB) =T(BA) Etablir queT ∈Vect{tr}.

Soitf une forme linéaire surM_n(R) vérifiant

∀A, B ∈ Mn(R),f(AB) =f(BA) Montrer quef est proportionnelle à la trace.

a) Soitf une forme linéaire surM_n(R) vérifiant

∀A, B ∈ Mn(R),f(AB) =f(BA) montrer quef est proportionnelle à la trace.

b) Soitgun endomorphisme de l’espace vectoriel Mn(R) vérifiant g(AB) =g(BA)

pour toutesA, B∈ Mn(R) etg(In) =In. Montrer queg conserve la trace.

SoitA∈ Mn(R). Calculer la trace de l’endomorphismef ∈ Mn(R) donné par f(M) =AM+M A

PourA etB fixées dansMn(R), résoudre dansMn(R) l’équation X = tr(X)A+B

SoitEunR-espace vectoriel de dimension finien >1.

Montrer quef ∈ L(E) de rang 1 n’est pas forcément un projecteur.

Montrer quef ∈ L(E) de rang 1 et de trace 1 est un projecteur.

Trouver une base deL(E) constituée de projecteurs.

SoientA1, . . . , Ak ∈ Mn(R) vérifiant

A1+· · ·+Ak =In et ∀16i6k, A²_i =Ai

Montrer

∀16i6=j6k, A_iA_j=O_n

Application des matrices à l’étude d’applications li- néaires

Soientf, g∈ L(R²) tel que f²=g²= 0 etf ◦g=g◦f. Calculerf◦g.

Soitωune racine primitive n-ième de 1. On pose Fω(P) = 1

√n

n−1

X

k=0

P(ω^k)X^k pour toutP∈Cn−1[X].

Montrer queF_ω est un automorphisme de Cn−1[X] et exprimer son inverse.

SoitEun espace vectoriel réel de dimension finie n>2.

a) Indiquer des endomorphismes deE dont la représentation matricielle est la même dans toutes les bases deE.

b) Soit (e₁, . . . , e_n) une base de E. Montrer que pour touti∈ {2, . . . , n}, la famille (e₁+e_i, e₂, . . . , e_n) est une base deE.

c) Déterminer tous les endomorphismes deE dont la représentation matricielle est diagonale dans toutes les bases deE.

d) Quels sont les endomorphismes deE dont la représentation matricielle est la même dans toutes les bases deE?

(14)

Soitf un élément non nul deL(R³) vérifiant f³+f = 0

Montrer queR³= kerf⊕Imf et que l’on peut trouver une base dans laquellef a pour matrice

A=





0 0 0

0 0 1

0 −1 0





Soientu, v:Rn[X]→Rn[X] définies par

u(P) =P(X+ 1) etv(P) =P(X−1) a) Calculer rg(u−v) en utilisant sa matrice.

b) Retrouver ce résultat d’une autre manière.

Quels sont lesf ∈ L(Rⁿ) telles quef(Zⁿ) =Zⁿ?

(15)

Corrections

Exercice 1 :[énoncé]

Notons

A= (ai,j)∈ Mn(K) On a

σ(A) =

n

X

k=1 n

X

`=1

ak,`

Par produitB=A.J= (b_i,j) avecb_i,j=

n

P

`=1

a_i,`.1 etC=J.A.J=J.B= (c_i,j) avec

ci,j=

n

X

k=1

1.bk,j=

n

X

k=1 n

X

`=1

ak,l=σ(A) AinsiC=σ(A).J.

On peut décrire

Ei,j = (δp,iδq,j)16p,q6n etEk,`= (δp,kδq,`)16p,q6n

On a alors

A=Ei,jEk,`= (ap,q) avec

ap,q=

n

X

r=1

(δp,iδr,j)(δr,kδq,`) = (

n

X

r=1

δr,jδr,k)δp,iδq,` =δj,kδp,iδq,`

Ainsi

Ei,jEk,`=δj,kEi,`

Pourn>1, en exploitantMⁿ⁺¹=M×Mⁿ, on a











an+1=aan+bcn

b_n+1=ab_n+bd_n cn+1=can+dcn

dn+1=cbn+ddn

Par suite

an+1+dn+1−(bn+1+cn+1) = (a−c)(an−bn) + (b−d)(cn−dn) Sachanta>c etb>d, il suffit d’établira_n>b_n et c_n >d_n pour conclure.

Dans le casn= 1, la propriété est vérifiée.

Dans le casn>2, exploitons la relationMⁿ=Mⁿ⁻¹×M











an=an−1a+bn−1c bn =a_n−1b+b_n−1d c_n =c_n−1a+d_n−1c dn=c_n−1b+d_n−1d On a alors

an−bn=an−1(a−b) +bn−1(c−d) etcn−dn=cn−1(a−b) +dn−1(c−d) Puisqu’il est évident quea_n−1, b_n−1, c_n−1, d_n−1>0 (cela se montre par

récurrence), on obtient sachanta−b>0 etc−d>0 les inégalités permettant de conclure.

Notons que l’hypothèseb+c6a+dne nous a pas été utile.

On a

(In−A)(In−B) =In−A−B+AB=In

On en déduit queI_n−Aest inversible et queI_n−B est son inverse. L’égalité (In−B)(In−A) =In

entraîne alors

BA=A+B et on peut conclure queA etB commutent.

Une matriceX solution commute avecA.

En étudiant l’équationAX=XAcoefficients par coefficients, on observe queX est de la forme





a 0 x 0 b y 0 0 c





(16)

Pour une telle matrice, l’équationX²=Aéquivaut au système :









 a²= 1 b²= 4 c²= 16 (a+c)x= 1 (b+c)y= 2

Les solutions sont donc





1 0 1/5 0 2 1/3

0 0 4



,





−1 0 1/3 0 2 1/3

0 0 4



,





1 0 1/5

0 −2 1

0 0 4



,





−1 0 1/3

0 −2 1

0 0 4



,





1 0 −1/3

0 2 −1

0 0 −4



etc. . .

PosonsB_k =A^k+A^−k. On vérifie A^k+A^−k

A+A⁻¹

=A^k+1+A^−(k+1)+A^k−1+A^−(k−1) et donc

Bk=Bk+1+Bk−1

SachantB₀= 2I_n etB₁=I_n, on a par récurrenceB_k =λ_kI_n avec (λ_k) la suite récurrente linéaire double déterminée par

(λ0= 2, λ1= 1 λ_n+1=λ_n−λ_n−1 Après résolution

λn= 1 +i√ 3ⁿ

+ 1−i√ 3ⁿ 2ⁿ

SoitA= (ai,j)∈ Mn(K).

B=AD= (bi,j) avecbi,j=ai,jλj et C=DA= (ci,j) avecci,j=λiai,j. On aAD=DAsi, et seulement si,

∀16i, j6n, ai,jλi =ai,jλj

soit

∀16i, j6n, ai,j(λi−λj) = 0

Lesλ1, ..., λn étant deux à deux distincts,AD=DAsi, et seulement si,

∀16i6=j6n, ai,j = 0 ce qui signifier queAest diagonale.

SiAest solution alorsAEi,j =Ei,jAimpliqueai,i=aj,j etai,k = 0 pourk6=i doncA=λ.In.

La réciproque est immédiate.

SupposonsAinversible. PuisqueAet B commutent,A⁻¹et B aussi. CommeB est nilpotente,−A⁻¹B l’est aussi. Or il est classique d’observer que siN est nilpotente,I−N est inversible d’inverse I+N+· · ·+N^p−1 avecpl’ordre de nilpotence deN. AinsiI+A⁻¹B est inversible etA+B=A(I+A⁻¹B) aussi.

SupposonsA+B inversible, puisque−B est nilpotente et commute avec A+B, A=A+B−B est inversible.

Il suffit d’écrire

A⁻¹B =A⁻¹(BA)A⁻¹=A⁻¹(AB)A⁻¹=BA⁻¹

a) SoitM ∈ Mn(K) commutant avec toute matrice deMn(K).

Pouri6=j, on a Ei,jM =M Ei,j.

L’égalité des coefficients d’indice (i, i) donnemj,i= 0.

L’égalité des coefficients d’indice (i, j) donnem_j,j =m_i,i.

Par suite la matriceM est scalaire. La réciproque est immédiate.

b) On reprend l’étude ci-dessus en étudiant la commutation deM avecI_n+E_i,j qui conduit à nouveau à l’égalitéE_i,jM =M E_i,j. On obtient la même conclusion.

(17)

En étudiant l’égalitéAM =M A, on justifieC(A) =Dn(C).C(A) est donc un sous-espace vectoriel de dimensionn. De plus il contient évidemment les éléments A^k pourk∈ {0, . . . , n−1} (et, plus généralement, tout polynôme enA).

Supposons

λ0I+λ1A+· · ·+λn−1Aⁿ⁻¹= 0

Le polynômeP =λ0+λ1X+· · ·+λ_n−1Xⁿ⁻¹est annulateur de A, donc les α1, . . . , αn qui sont valeurs propres deAsont aussi racines deP qui possède alors plus de racines que son degré. On peut alors affirmerP = 0 puis

λ0=. . .=λn−1= 0.

La famille (A^k)06k6n−1est une famille libre ànéléments deC(A), c’en est donc une base

a) L’inclusion⊃est immédiate.

Inversement, soitA∈ Mn(R) commutant avec toute matrice M ∈GLn(R).

Soienti, j∈ {1, . . . , n} aveci6=j.

PourM =In+Ei,j, la relationAM =M A donne AEi,j=Ei,jA

L’identification des coefficients d’indices (i, j) et (j, j) donnent respectivement ai,i=aj,j etaj,i= 0

On en déduit que la matriceA est diagonale et que ses coefficients diagonaux sont égaux, autrement dit,Aest une matrice scalaire.

b) SoitB∈GLn(K). On peut écrire

A= (AB⁻¹)B et donc

A=B(AB⁻¹) On en déduit

AB=BA

et ainsi la matriceAcommute avec toute matrice inversible. On peut alors conclure queAest une matrice scalaire.

Par récurrence surn>1.

La propriété est immédiate pourn= 1.

Supposons la propriété vraie au rangn>1.

SoitT ∈ Mn+1(K) triangulaire supérieure commutant avec sa transposée.

On peut écrire

T =

α ^tX O_n,1 S

avecα∈K,X ∈ Mn,1(K) etS ∈ Mn(K) triangulaire supérieure.

L’identification du coefficient d’indice (1,1) dans la relation^tT T =T^tT donne α²=α²+^tXX

On en déduitX =On,1 et l’égalité^tT T =T^tT donne alors^tSS=S^tS.

Par hypothèse de récurrence, la matriceS est diagonale et par conséquent la matriceT l’est aussi.

Récurrence établie.

SoitA= (ai,j)∈ Mn(K) une matrice commutant avec toutes les matrices symétriques.

Soienti < j∈ {1, . . . , n}.

La matriceAcommute avec la matrice symétriqueEi,j+Ej,ice qui permet d’écrire

A(Ei,j+Ej,i) = (Ei,j+Ej,i)A L’égalité des coefficients d’indice (i, j) donne

ai,i=aj,j

La matriceAcommute avec la matrice symétriqueE_i,i ce qui permet d’écrire AEi,i=Ei,iA

L’égalité des coefficients d’indice (i, j) donne a_i,j= 0

On en déduit que la matriceAest de la formeλIn avecλ∈K. La réciproque est immédiate.