Exercices sur les puissances de matrices

Exercices sur les puissances de matrices

1 Dans chaque cas, calculer Dⁿ pour n».

a) 2 0

D 0 1

 

    b)

3 0 0

D 0 2 0

0 0 4

 

 

  

 

2 On considère la matrice

1 1

2 2

A 1 1

2 2

 

 

  

 

 

 

.

Calculer A² ; en déduire l’expression de Aⁿ pour n»^*. 3 On considère la matrice 1 2

A 0 1

 

  

 .

1°) Calculer A , ² A et ³ A . ⁴

2°) Conjecturer Aⁿ pour n». Démontrer le résultat par récurrence.

Vérifier en utilisant le site dcode, rubrique « puissances de matrices ».

4 On considère les matrices 0 1

M 3 4

  

  

 , 1 0

D 0 3

 

  

 , 1 1

P 1 3

 

   . 1°) Démontrer que P est inversible et déterminer P^1.

2°) Calculer PDP^1. Que remarque-t-on ? 3°) En déduire Mⁿ pour n».

Vérifier en utilisant le site dcode, rubrique « puissances de matrices ».

5 On considère les matrices

0 1 1

1 3 1

M 2 2 2

3 3 1

2 2 2

 

 

 

 

   

 

  

 

 

,

1 0 0

D 0 1 0

0 0 2

 

 

  

 

et

1 1 0

P 1 0 1

0 1 1

  

 

    .

1°) À l’aide de la calculatrice, démontrer que P est inversible et déterminer P^1. 2°) Calculer PDP^1. Que remarque-t-on ?

3°) En déduire Mⁿ pour n».

Vérifier en utilisant le site dcode, rubrique « puissances de matrices ».

6 On considère la matrice

1 1 1

A 1 1 1

1 1 1

 

 

  

 

 

. 1°) Calculer A et ² A . ³

2°) Déterminer Aⁿ pour n»^*. Vérifier en utilisant le site dcode.

7 On considère les suites

 

^{an et}

 

^bn définies sur N par leurs premiers termes a₀2 et b₀1 ainsi que par les relations de récurrence (S) ¹

1

8

2 9

n n n

n n n

a a b

b a b





 

  

 .

1°) Pour tout entier naturel n, on pose X_n ⁿ

n

a b

   

 .

Démontrer que pour tout entier naturel n, on a X_n1AX_n où A est une matrice que l’on définira.

En déduire X_n en fonction de A, X et n. ₀

2°) On pose 1 1

P 1 2

 

   et 7 0

D 0 10

 

  

 .

a) Démontrer que P est inversible et calculer P^1. b) Démontrer que APDP^1.

c) Déterminer Aⁿ en fonction de n par le calcul. Vérifier à l’aide du site « dcode ».

En déduire a et _n b en fonction de n. _n

8 À l’aide d’un logiciel de calcul formel, par exemple « dcode », calculer Aⁿ où n est un entier naturel quelconque dans chacun des cas suivants :

a) 0 1

A 2 3

 

   ; b) 4 3

A 3 2

 

    ; c) 1 0

A 1 2

 

  

  ; d)

1 0 0

A 1 1 1

1 4 3

 

 

   

 

 

.

Vérifier que les formules fonctionnent pour n0 et n1. 9 On considère la matrice 0 1

A 1 0

 

  

 . 1°) Calculer A², A et ³ A . ⁴

2°) Déterminer Aⁿ pour n».

Comparer avec le résultat obtenu en utilisant le site « dcode » (partie sur les puissances de matrices).

10 On considère la matrice

0 0 1

A 1 0 0

0 1 0

 

 

  

 

 

. 1°) Calculer A , ² A et ³ A . ⁴

2°) Déterminer Aⁿ pour n».

Comparer avec le résultat obtenu en utilisant le site « dcode ».

11 On considère la matrice

1 0 0

A 1 1 1

1 4 3

 

 

   

 

 

(matrice déjà considérée dans l’exercice 8 d)).

1°) Déterminer la matrice J telle que A I₃ J. 2°) Calculer les puissances de J d’exposant entier naturel.

3°) En déduire la matrice Aⁿ pour n entier naturel quelconque supérieur ou égal à 1.

Comparer avec le résultat obtenu en utilisant « dcode » dans l’exercice 8 question d) ).

12 On rappelle la propriété du cours suivante :

On pose 1

A 1

a b

a b

  

    où a et b sont deux réels de somme non nulle.

On a alors  n » _A^{n 1 b b}



^{1 a b}



^{n a b}

a a a b

a b a b



     

      .

On pose 0,8 0,1 A 0, 2 0, 9

 

  

 .

En appliquant le résultat du cours rappelé dans l’encadré, calculer Aⁿ pour n entier naturel quelconque.

Comparer avec le résultat obtenu en utilisant « dcode ».

13 On considère la matrice 0

A 1 0

1 1

0

a ab

a b

ab b

 

 

 

 

 

 

 

 

où a et b sont des réels non nuls fixés.

1°) À l’aide du site « dcode », vérifier que A est inversible et déterminer son inverse.

2°) Démontrer le résultat obtenu en calculant A²A. 14 On pose 0, 2 0,1

A 0,3 0, 4

 

  

 .

À l’aide du site « dcode », déterminer Aⁿ en fonction de n.

Démontrer que la suite

 

^An converge et déterminer sa limite.

15 À l’aide de la calculatrice, conjecturer la limite L de la suite

 

^An dans chacun des cas suivants : 16 À l’aide d’un logiciel de calcul formel, par exemple XCas, déterminer la limite L de la suite

 

^{An .}

Solutions détaillées

1 Dans chaque cas, calculons Dⁿ pour n».

Dans les deux cas, on applique la propriété sur les matrices diagonales.

a) 2 0

D 0 1

 

   

D est une matrice diagonale donc  n »

 

2 0

D

0 1

n n

n

 

   .

b)

3 0 0

D 0 2 0

0 0 4

 

 

  

 

 

D est une matrice diagonale donc n »

 

3 0 0

D 0 2 0

0 0 4

n n n

n

 

 

 

 

 

 

 

.

2

1 1

2 2

A 1 1

2 2

 

 

  

 

 

 

Calculons A . ²

2

1 1 1 1 1 1

2 2 2 2 2 2

A A A A

1 1 1 1 1 1

2 2 2 2 2 2

     

     

       

     

     

     

Autre méthode : (rédigée à la suite d’une demande de Caroline Quériaud le 24-3-2016 *)

A2 A A

2

1 1 1 1

2 2 2 2

1 1 1 1

A

2 2 2 2

   

   

   

   

   

   

2 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1

A 2 2

   

    

   

2 1 1 1 1 1 A 1

1 1 1 4

  

   

  

2 1 2 2

2 2

A 4

 

  

 

2

1 1

2 2

1 1

2 2 A

 

 

  

 

 

 

A2A

* Elle m’a posé la question : « Pourquoi ce n’est pas ²

1 1 1 1

1 1 1

2 2 2 2

A 1 1 1 1 2 2 4

2 2 2 2

   

   

     

   

   

   

? »

Déduisons-en l’expression de Aⁿ pour n»^*. D’après le cours,  n »^* AⁿA.

On dit que la matrice A est idempotente.

3

1 2 A 0 1

 

  

 

1°) Calculons A , ² A et ³ A . ⁴

2 1 4

A A A

0 1

 

    

 

3 2 1 6

A A A

0 1

 

    

 

4 3 1 8

A A A

0 1

 

    

 

2°)

Conjecturons Aⁿ pour n».

On peut conjecturer que  n » 1 2

A 0 1

n  n

  

 .

Démontrons le résultat par récurrence.

Pour n», on définit la phrase ^{P n : «}

 

^An ^1 ₀ ²₁^n

  ».

Vérifions que ^P

 

⁰ est vraie.

Par définition, on a ⁰ ₂ 1 0

A I

0 1

 

   

 . On peut donc écrire ⁰ 1 2 0

A 0 1

  

  

 .

On en déduit que ^P

 

⁰ est vraie.

Supposons que P k soit vraie pour un entier naturel k fixé c’est-à-dire

 

1 2

A 0 1

k  k

  

 .

Démontrons qu’alors ^{P k}

 

^1 est vraie.

On a : A^k1A^kA

1 2 1 2

0 1 0 1

 k  

   

   

1 2 2

0 1

k

 

  

 

^{1 2}

 

¹

0 1

 k 

  

 

D’où ^{P k}

 

^1 est vraie.

Donc d’après le principe de récurrence, ^{P n}

 

est vraie pour tout entier naturel n.

Autre méthode :

On écrit AI +B₂ avec 0 2

B 0 0

 

  

 .

On vérifie aisément que B est une matrice nilpotente d’ordre 2.

On a I B₂ BI₂B.

On peut donc appliquer la formule du binôme de Newton qui donne immédiatement le résultat.

4

0 1

M 3 4

  

  

  1 1

P 1 3

 

    1 0 D 0 3

 

  

 

1°) Démontrons que PDP^1M.

   

det P      1 3 1 1 2

Le déterminant de P est non nul donc P est inversible.

1 1 3 1

P 2 1 1

   

   

1 1 1 1 0 1 3 1

PDP 1 3 0 3 2 1 1

       

        

1 1 1 1 1 0 3 1

1 3 0 3 1 1

PDP 2

       

           

1 0 1

3 4 PDP^   

  

 

PDP^1M

2°) Déduisons-en Mⁿ pour n».

On sait que PDP^1M donc n » MⁿPD P^{n 1}.

 n » 1 1 1 0 1 3 1

M 1 3 0 3 2 1 1

n

n

  

     

        

 n » 1 1 1 1 0 3 1

1 3 0 3 1

M 2 ⁿ 1

n     

      

 n » M 1 1 3 ₁ 3 1

1 1

2 1 3

n n n



 

  

     

 n »

1 1

3 3 1 3

2 2

3 3 1 3

2 M

2

n

n n

n n

   

 

 

    

 

 

5

0 1 1

1 3 1

M 2 2 2

3 3 1

2 2 2

 

 

 

 

  

 

 

  

 

 

1 0 0

D 0 1 0

0 0 2

 

 

  

 

 

1 1 0

P 1 0 1

0 1 1

  

 

  

  

 

1°) Calculer PDP^1.

Avec la calculatrice, on observe que P est inversible et on obtient ¹

1 1 1

P 1 1 1 1

2 1 1 1



 

 

    .

On ne peut pas justifier que P est inversible autrement que par la calculatrice. En effet, P est une matrice carrée d’ordre 3 et la notion de déterminant d’une matrice carrée d’ordre 3 n’a pas été étudiée.

1

1 1 0 1 0 0 1 1 1

PDP 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1

2 0 1 1 0 0 2 1 1 1



    

   

     

     

   

1

0 2 2

1 1 3 1

2 3 3 1

PDP^

 

 

   

  

 

PDP^1M

2°) Déduisons-en Mⁿ en fonction de n ( n»).

On a : MPDP^1.

Donc  n » MⁿPD P^{n 1} (propriété du cours)

 n »

 

1 0 0

1 1 0 1 1 0

1 1 0 1 0 1 0 1 0 1

2 0 1 1 0 0 2 0 1 1

n n

 

 

   

   

       

 n »

     

     

1 1

1

1 1 1 1 1 1

1 1 2 1 2 1 2

2

1 2 1 2 1 2

n n n

n n n

n n n n n

 



       

 

     

 

       

 

6 1 1 1

A 1 1 1

1 1 1

 

 

  

 

 

1°) Calculons A et ² A . ³

À la calculatrice ou à la main, on trouve :

2

3 3 3

A 3 3 3

3 3 3

 

 

  

 

 

3

9 9 9

A 9 9 9

9 9 9

 

 

  

 

 

2°) Déterminer Aⁿ pour n»^*. Vérifier en utilisant le site dcode.

On constate que A²3A.

D’après un résultat du cours, on peut dire que  n »^* Aⁿ3^n1A.

Il s’agit de la propriété : « Si A²qA où q est un réel, alors  n »^* Aⁿq^n1A ».

On peut donc écrire  n »^*

1 1 1

1 1 1

1 1 1

3 3 3

A 3 3 3

3 3 3

n n n

n n n n

n n n

  

  

  

 

 

  

 

 

 

.

7

 

^{an et}

 

^bn : suites définies sur N par leurs premiers termes a₀2 et b₀1 ainsi que par les relations de récurrence (S) ¹

1

8

2 9

n n n

n n n

a a b

b a b





 

  



Il s’agit de l’étude de suites couplées définies par des relations linéaires.

1°)

Posons 8 1

A 2 9

 

  

 .

 n » AX_n A ⁿ

n

a b

   

 

 n » 8 1 2 9

AX ⁿ

n n

a b

  

  

  

 n »

AX 8 9 2

n

n n

n

a bn

a b

  

   

 n » ¹

1

AX ⁿ

n n

a b





 

  

 

 n » AX_nX_n1

D’après le cours, on peut aisément exprimer X_n en fonction de A, X et n. ₀

 n » X_nA Xⁿ ₀

3°) 1 1

P 1 2

 

   ; 7 0

D 0 10

 

  

 

a) Calculons P^1.

Le déterminant de P est égal à ^{det P}     ^{1 2 1}

 

^{1 3}. det P0 donc P est inversible.

1 1 2 1

P 3 1 1

   

  

 

b) Démontrons que APDP^1.

1 1 1 7 0 1 2 1

PDP 1 2 0 10 3 1 1

      

      

1 1 7 10 2 1

7 20 1 PDP 3

1

    

   

1 1 24 3

6 27 PDP 3

  

  

 

1 8 1

2 9 PDP^  

  

 

PDP^1A

c) Déduisons-en a et _n b en fonction de n. _n

 n » ⁰

0

n An

n

a a

b b

   

   

   

 n » AⁿPD P^{n 1}

 n » 7 0 ¹

P P

0 10

n

  

  

 

 n » 7 0 ¹

P P

0 10

n n

  

  

 

 n » 1 1 1 7 0 2 1

1 2 1 1

3 0 10

n n



 

   

    

 n » 1 1 1 2 7 7 1 2

3 10 10

n n

n n

   

 

   

 n » 1 2 7 10 7 10

3 2 7 2 10 7 2 10

n n n n

n n n n

     

       

 n » 1 2 7 10 7 10 2

3 2 7 2 10 7 2 10 1

n n n n

n

n n n n

n

a b

 

       

  

          

    on écrit X_n

1 4 7 2 10 7 10

3 4 7 4 10 7 2 10

n n n n

n n n n

      

        

1 3 7 3 10

3 3 7 6 10

n n

n n

    

     

7 10

7 2 10

n n

n n

  

    

On en déduit que  n » 7 10

7 2 10

n n

n

n n

n

a b

  



   

 .

8

a) 0 1

A 2 3

 

   ; b) 4 3

A 3 2

 

    ; c) 1 0

A 1 2

 

  

  ; d)

1 0 1

A 1 1 1

1 4 3

 

 

   

 

 

.

a) n » 2 2₁ 2₁ 1

A 2 2 2 1

n n

n

n n

   

    

Pour n0, on obtient

0 0

0 1 0 1

2 1 1 1 1 0

2 2 2 1

2 2 2 1 0 1

2 2^ 2^ 1

 

       

 

          

  .

Or A⁰I₂.

La formule fonctionne donc pour n0.

Pour n1, on obtient

1 1

1 1 1 1

2 2 2 1 0 1

2 2 2 1

2 4 4 1 2 3

2 2^ 2^ 1

 

      

          

  .

Or 0 1

A 2 3

 

  .

La formule fonctionne donc pour n1.

b) n » 3 1 3

A 3 1 3

n n n

n n

  

   

c)  n » 1 0

A 2 1 2

n

n n

 

   

d)  n »

 

 

1 0 0

A 3 1 2

2

2 4 2 1

n n n

n n

n n n n

 

  

 

   

 

   

 

On vérifie que les formules fonctionnent pour n0 et n1 en se souvenant que A⁰I où I désigne la matrice identité d’ordre p (p étant la taille de la matrice A) et AA.

9 0 1

A 1 0

 

  

 

1°)

2

2

1 0

A I

0 1

 

 

  ³ 0 1

A A

1 0

 

 

  ⁴ 1 0

A 0 1

 

  

 

2°) On a A²I₂ donc la suite

 

^An est périodique de période 2.

On utilise la propriété du cours suivante.

Soit A une matrice carrée.

S’il existe un entier naturel p1 tel que A^pI, alors la suite

 

^An est périodique de période p (c’est un résultat de cours).

Ainsi :

• pour tout entier naturel n pair, on a AⁿI₂ ;

• pour tout entier naturel n impair, on a AⁿA.

Comparer avec le résultat obtenu avec le site « dcode ».

Avec « dcode, on obtient

   

   

1 1 1 1

A 1

2 1 1 1 1

n n

n

n n

     

 

       .

La formule coïncide bien puisque pour n pair

 

^1n1 et pour n impair

 

^{1n 1.}

Il est intéressant d’avoir une formule unifiée.

10

0 0 1

A 1 0 0

0 1 0

 

 

  

1°)

2

0 1 0

A 0 0 1

1 0 0

 

 

  

 

 

³ ₃

1 0 0

A 0 1 0 I

0 0 1

 

 

 

 

 

A⁴ A A³  A I₃ A

2°) Il y a plusieurs manières de répondre à la question.

La suite

 

^An est périodique de période 3.

Soit A une matrice carrée.

S’il existe un entier naturel p1 tel que A^pI, alors la suite

 

^An est périodique de période p (c’est un résultat de cours).

Ainsi :

• pour tout entier naturel n de la forme 3k avec k entier naturel, on a AⁿI₂ ;

• pour tout entier naturel n de la forme 3k1 avec k entier naturel, on a AⁿA ;

• pour tout entier naturel n de la forme 3k2 avec k entier naturel, on a AⁿA². Comparer avec le résultat obtenu avec le site « dcode ».

L’expression obtenue avec « dcode» utilise des nombres complexes mais n’est pas facile à comparer.

11

1 0 0

A 1 1 1

1 4 3

 

 

   

 

 

(matrice déjà considérée dans l’exercice 8 d)).

1°) Déterminer la matrice J telle que A I₃ J.

1 0 0

A 1 1 1

1 4 3

 

 

   

 

 

On écrit JAI₃ ce qui donne

0 0 0

J 1 2 1

1 4 2

 

 

    .

2°) Calculer les puissances de J d’exposant entier naturel.

On calcule les premières puissances à la main ou à la calculatrice.

2

0 0 0

J 1 0 0

2 0 0

 

 

  

 

 

3

0 0 0

J 0 0 0

0 0 0

 

 

  

 

 

D’après une propriété du cours, on peut dire que

0 0 0

J 0 0 0

0 0 0

n

 

 

  

 

 

pour tout entier naturel n3. 3°) En déduire la matrice Aⁿ pour n entier naturel quelconque supérieur ou égal à 1.

Comparer avec le résultat obtenu en utilisant « dcode » dans l’exercice 8 question d) ).

On applique la formule du cours suivante qui découle de la formule du binôme de Newton pour les matrices.

 n »

0

A J

k n

n k

k

n k





   



 

Comme toutes les puissances de J d’exposant entier naturel supérieur ou égal à 3 sont égales à la matrice nulle, pour tout entier naturel n2,

2

0

A J

k

n k

k

n k





   



  ce qui donne

   

0 1 2 0 1 2 2

3

1 1

A J J J J J J I J J

0 1 2 2 2

n n n n n n n n

n  n 

     

           

      .

On obtient aisément

 

 

1 0 0

A 3 1 2

2

2 4 2 1

n n n

n n

n n n n

 

  

 

   

 

   

 

.

On constate que la formule reste valable pour n0 et n1.

Donc on obtient n »

 

 

1 0 0

A 3 1 2

2

2 4 2 1

n n n

n n

n n n n

 

  

 

   

 

   

 

résultat qui coïncide avec celui obtenu dans

l’exercice 8 en utilisant « dcode ».

12

On pose 1

A 1

a b

a b

  

    où a et b sont deux réels de somme non nulle.

On a alors n » _A^{n 1 b b}



^{1 a b}



^{n a b}

a a a b

a b a b



     

      .

0,8 0,1 A 0, 2 0, 9

 

  

 

 n » _A ^{1 0,1 0,1}



^{1 0, 2 0,1}



^{0, 2 0,1}

0, 2 0, 2 0, 2 0,1

0, 2 0,1 0, 2 0,1

n

n       

      

 n » ^{1 0,1 0,1}



^{1 0,3}



^{0, 2 0,1}

0, 2 0, 2 0, 2 0,1

0,3 0,3

A

n

n      

    

 n » ^{1 1 1}

 

^{0, 7 2 1}

2 2 2

3 3

A 1

n

n     

    

 n »

   

   

1 2 0, 7 1 0, 7 1

3 2 2 0, 7 2 0, 7 A

n n

n

n n

    

 

     

(on peut conserver le coefficient 1

3 en facteur) On vérifie le résultat avec celui fourni par le site « dcode ».

13 1°)

1

2 2 2

1 1

A 2 2 2

1 1 1

2 2 2

a ab

b a

ab b

 

 

 

 

  

 

  

 

 

2°) On a A² A 2I₃.

Cette relation peut s’écrire ^{A A I}



^{ 3}



^2I3 ou encore ^A1₂



^AI3



^I3.

On en déduit que A est inversible et ^A11₂



^AI3



^.

On retrouve l’expression obtenue avec « dcode ».

14

 n » 0, 25 0, 5 0, 75 0,1 0, 25 0, 5 0, 25 0,1 A 0, 75 0, 5 0, 75 0,1 0, 25 0,1 0, 75 0, 5

n n n n

n

n n n n

       

        

On a 1 0,5 1   et 1 0,1 1   donc 0,5ⁿ_{n  } 0 et 0,1ⁿ_{n  } 0.

On en déduit 0 0

A 0 0

n n  

 

  

 . La suite

 

^An converge vers la matrice nulle.