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experts Devoir pour le mercredi 16 décembre 2020

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(1)

T

experts Devoir pour le mercredi 16 décembre 2020

Numéro : ….. Prénom et nom :……….……….

Note : ….. / 20

I. À tout nombre complexez on associe la matriceA

 

i 1

i 1 z z

z

  

  

  .

On noteP le plan complexe muni d’un repère orthonormé direct

O, ,u v 

.

Déterminer l’ensembleE des points M d’affixez tels que det A

 

z 9.

……….……….

……….……….

……….……….

……….……….

……….……….

……….……….

……….……….

……….……….

……….……….

……….……….

……….……….

……….……….

……….……….

II. On considère pour tout entier naturel n2, la matrice carrée An d’ordren définie par

0 1 0 0

0 0 1

A 0 0

0 1

1 0 0 0

n

 

 

 

 

 

 

 

 

  

.

1°) Dans cette question, on s’intéresse aux matrices 2 0 1

A 1 0

 

  

 , 3

0 1 0

A 0 0 1

1 0 0

 

 

  

 

 

, 4

0 1 0 0 0 0 1 0

A 0 0 0 1

1 0 0 0

 

 

 

 

 

 

.

Vérifier que ces matrices sont inversibles et écrire leurs inverses. On pourra utiliser la calculatrice ou le site dcode pour les matrices A et3 A .4

2°) À l’aide de la question précédente et en considérant éventuellement d’autres valeurs den, conjecturer que An est inversible pour tout entier naturel n2 et écrire son inverse.

3°) Pour tout entier naturel n2, on note Bn la transposée de An. Autrement dit BntAn. Calculer le produit A Bn n et conclure par rapport à la conjecture émise dans la question précédente.

(2)

Corrigé du devoir pour le 16-12-2020

I. À tout nombre complexez on associe la matriceA

 

i 1

i 1 z z

z

 

  

  .

On noteP le plan complexe muni d’un repère orthonormé direct

O, ,u v 

.

Déterminer l’ensembleE des points M d’affixez tels que det A

 

z 9.

 z det A

 

zz z 

i 1 i 1

 

 z det A

 

z z 2  

1 1

 z det A

 

zz 2 

 

2

 z det A

 

zz 22

Soit M un point quelconque deP, d’affixez.

ME Ûdet A

 

z 9

ME Û z 2 2 9 ME Û z 27 ME Û z  7 ME ÛOM 7

E est le cercle de centre O et de rayon 7 .

II. On considère pour tout entier naturel n2, la matrice carrée An d’ordren définie par

0 1 0 0

0 0 1

A 0 0

0 1

1 0 0 0

n

 

 

 

 

 

 

 

 

  

 .

Il est possible de définir la matrice An avec des formules donnant les coefficients.

1°) Dans cette question, on s’intéresse aux matrices 2 0 1

A 1 0

 

  

 , 3

0 1 0

A 0 0 1

1 0 0

 

 

  

 

 

, 4

0 1 0 0 0 0 1 0

A 0 0 0 1

1 0 0 0

 

 

 

 

 

 

.

Vérifier que ces matrices sont inversibles et écrire leurs inverses. On pourra utiliser la calculatrice ou le site dcode pour les matricesA et3 A .4

det A2 1 doncA est inversible2 et 2 1 0 1

A 1 0

 

  

 .

On constate queA21A2.

1 3

0 0 1

A 1 0 0

0 1 0

 

 

  

 

 

1 4

0 0 0 1 1 0 0 0

A 0 1 0 0

0 0 1 0

 

 

 

 

 

 

Dans le cours, on a défini le déterminant d’une matrice carrée uniquement dans le cas d’une matrice carrée d’ordre 2.

La définition du déterminant d’une matrice carrée d’ordre strictement supérieur à 2 n’a pas été donnée car plus compliquée. On ne parle donc pas ici du déterminant des matrices A et3 A , même si la calculatrice permet4 d’obtenir leurs valeurs.

2°) À l’aide de la question précédente et en considérant éventuellement d’autres valeurs den, conjecturer que An est inversible pour tout entier naturel n2 et écrire son inverse.

À l’aide des questions précédentes, on peut conjecturer que An est inversible pour tout entier natureln2 et que

1

0 0 0 1

1 0 0

A 1 0

0 0

0 0 1 0

n

 

 

 

 

 

 

 

 

  

.

3°) Pour tout entier naturel n2, on note Bn la transposée de An. Autrement ditBntAn. Calculer le produit A Bn n et conclure par rapport à la conjecture émise dans la question précédente.

On a

0 0 0 1

1 0 0

B 1 0

0 0

0 0 1 0

n

 

 

 

 

 

 

 

 

  

(obtenue par définition de la transposée d’une matrice).

On calcule ensuite le produit A Bn n.

1 0 0 0

0 1 0

A B 0 0

0 0

1 0 0 1

n n

 

 

 

 

 

 

 

 

  

On a A Bn nIn donc on peut affirmer que An est inversible et que An1Bn.

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