Evaluer sans la calculatrice. ´ a) 3 · 4 − 5 + 1

(1)

Exercices partie 1

Outils math´ ematiques ´ electroniques 1 – A2019 – Yannick Delbecque

1 Arithm´ etique

Question 1

Evaluer sans la calculatrice. ´ a) 3 · 4 − 5 + 1

b) 3 · (4 − 5 + 1) c) 3 · (4 − 5) + 1 d) 3 · 4 − (5 + 1)

e) (2 · 3 − 7) + 5 f) 2 + 3 − 4 − 5 g) 2 − 4 + 3 − 5 h) (2 + (3 − 4 − 5) Question 2

Evaluer sans la calculatrice. ´ a) 5 + 4 · 2 − 5 · 2 · 3

b) 5 + 1

3 + 6 − 4

c) (5 + 3 · 2 − 2) ÷ (8 − 6 · 4)

d) (5(2 − 3 + 4 · 6)) ÷ (1 − 3 · 5 + 2 · 7)

e) 2(2 − 2(2 + 2) − 2(2 − (2 − (2 − 2(2 + 2))))) Question 3

Simplifier les fractions suivantes sans l’aide de la calcu- latrice.

a) 4 10 b) 12 24

c) 90 36 d) 24

128 e) 95 100

Question 4

Evaluer les expression suivantes en donnant le r´ ´ esultat sous forme de fraction sans l’aide de la calculatrice.

a) 3 5 · 4

7 b) 1

2 + 2 3

c) 1 3 ÷ 2 d) 2

5 + 1 3 − 5

4 + 5 6 Question 5

Evaluer sans la calculatrice et simplifier. ´ a) 1

4 3

+

³₄

3 +

¹₂

c) 3 3 +

¹₂

d) 1

e)

1 4

+

²₅

3 2

−

²₅

f) 4

2 Exposants

Question 6

Evaluer les expressions suivantes sans la calculatrice. ´ a) 2

³

b) 2

⁻³

c) (−2)

³

d) −2

³

e) (−2)

⁴

f) −2

⁴

g) 2

³

· 3

²

· 2

²

2

⁶

· 3 · 2

⁻¹

h) 1 2

⁻²

i)

1 2

−2

j) (2 + 3)

²

k) 2

²

+ 3

²

l) (2

¹⁺³

)

²

Question 7

Simplifier les expressions suivantes.

a) 2

⁵

2

⁻³

b) 2

³

· 3

⁻⁴

3

⁻⁵

· 2

⁴

c) 2

⁴

· 3

²

· 5

⁻¹

2

⁻¹

· 3

⁻³

· 5

²

d) 3

⁻³

4

× 3

⁻²

× 2

⁷

3

⁻⁴

× 2

⁻¹⁰

e) 4 · 25x

³

y

⁻³

z

⁵

2 · 125y

³

x

²

z

⁷

f)

a¹² b²³

b³⁴ a¹⁴

g) 1

10

−1

h)

− 1 3

−2

Question 8

R´ e´ ecrire chacune des expressions ci-dessous ` a l’aide de radicaux sans exposants n´ egatifs ou fractionnaires.

a) 21

^1/2

b) 5

¹⁴

c) 3

^−1/2

d) 8

³⁷

e) 3 · 2

¹²

f) 10

⁻³⁵

g) 3

^5/2

Question 9

Transformer chacune des expressions ci-dessous sous la forme d’une puissance.

a) √ 5 b) √

⁵

3 c)

³

√ 2

⁵

√

3

e) 1

√

4

20 f)

³

r 1 2

⁵

g)

⁵

√ 3

⁷

h) 1

√

5

3

⁷

i)

⁵

r 1

3

⁷

j)

√

3

⁴

(2)

Question 10

Evaluer les expressions suivantes (sans la calculatrice). ´ a) √

25 b)

³

√ 27 c) √

−25 d) √

³

−27

e) ( √

³

8)

⁵

( √

³

8)

²

f) 2

⁻⁵²

· 2

²³

g) p

(−16)

²

h) √ 10 √

15 √ 6 i) √

³

12 √

³

12 √

³

12 j)

³

√ 4

³

√ 12

³

√ 9 Question 11

Simplifier les expressions suivantes. ´ Ecrire la r´ eponse sans exposants n´ egatifs ou fractionnaires.

a) 10

⁵

· 10

³

b) 10

⁵⁰⁰

· 10

³⁰⁰

c) 10

⁹⁹

· 10

⁻¹⁰⁰

d)

√ 10

⁵

· √

10

⁻³

e) 27

^(2/3)

f) 2

^1/2

· 2

^2/3

g)

³

r 27 8 h)

q √ 2

¹²

3 Notation scientifique et de l’ing´ e- nieur

Question 12

Ecrire les nombres suivants en nombre d´ ´ ecimal sans utiliser de puissance.

a) 10

⁷

b) 10

⁻⁴

c) 10

⁻⁷

d) 1

10

⁻⁵

Question 13

Ecrire les nombres suivants en utilisant la notation scien- ´ tifique ET la notation de l’ing´ enieur. En supposant qu’il s’agit d’une mesure en unit´ e inconnue « u » , indiquer comment ´ ecrire cette mesure avec le bon pr´ efixe multi- plicateur.

a) 43 000 b) 0,00032

c) 2 145 000 000 d) 0,000 000 001 2 Question 14

Effectuer les op´ erations suivantes en conservant la nota- tion scientifique.

a) 3 · 10

²

+ 4 · 10

³

b) 7 · 10

⁻²

+ 2 · 10

⁻³

c) 4 · 10

³

− 3 · 10

²

d) 3,2 · 10

⁻⁴

− 5 · 10

⁻⁵

Question 15

Effectuer les op´ erations suivantes en conservant la nota- tion scientifique.

a) (5 · 10

³

)(5 · 10

⁻³

) b) 8 · 10

⁻²

2 · 10

⁻³

c) (2 · 10

²

)(4 · 10

⁻⁵

) 4 · 10

⁵

d) (4 · 10

²

)(6 · 10

⁻⁶

)

(2 · 10

⁻¹

)(2 · 10

⁴

) Question 16

Effectuer les conversions indiqu´ ees.

a) 45000 W en kilowatts b) 3,45 millivolts en microvolts

c) 46778975 m` etres en gigam` etres d) 0,00056 milli henri en nanohenri

Question 17

Effectuer les additions suivantes et exprimer la somme

`

a l’aide de la notation de l’ing´ enieur. Conserver trois d´ ecimales.

a) 1,5 mJ + 0,107 mJ + 49 J b) 500 µs + 64 ms + 0,01 s

c) 45,75 W + 42 mW + 27,75 W d) 22,9 mJ + 40 J + 50 mJ

e) 0,10 A + 47,2 mA + 18,5 µA f) 9,10 Ω + 0,003 kΩ + 0,002 Ω

4 Binaire, octal et hexad´ ecimal

Question 18

Convertir de binaire ` a d´ ecimal les nombres suivants.

a) 110

_bin

b) 1101

_bin

c) 111001

_bin

d) 101101111

_bin

Question 19

Ecrire les nombres suivants en utilisant les unit´ ´ es bi- naires.

a) 2

¹¹

b b) 2

²⁴

b

c) 2

⁷

b d) 2

³⁵

b

e) 2

²⁹

b

f) 2

⁴⁶

b

(3)

Ecrire les nombres de bit suivant sous la forme d’une ´ puissance de 2.

a) 64 Mib b) 128 Kib

c) 512 Gib d) 32 Tib

e) 8 Kib f) 16 Gib

Question 21

Un fournisseur d’acc` es Internet offre une vitesse de t´ e- l´ echargement ` a 15 Mb par seconde et une capacit´ e de transfert maximale de 100 Go. Si on t´ el´ echarge ` a la vitesse maximale, en combien d’heures atteint-on la capacit´ e maximale ?

Question 22

Convertir de d´ ecimal ` a binaire les nombres suivants.

a) 35 b) 92

c) 341 d) 4 629

e) 476 813 f) 1 482 748

Question 23

Convertir de binaire ` a octal les nombres suivants.

a) 101 110

bin

b) 1 101 001 011

bin

Question 24

Convertir de binaire ` a hexad´ ecimal les nombres suivants.

a) 111 0001 1010

_bin

b) 1011 0001 1101 1001

_bin

Question 25

Convertir les nombres suivants en binaire.

a) 77

_oct

b) 426

_oct

c) 1B4

_hex

d) E2F 7

_hex

Question 26

Effectuer les changements de base suivants.

a) 0x F0 5D en d´ ecimal b) 0d 1 227 en binaire

c) 0b 1010 1011 en hexad´ ecimal d) 0o 1 234 567 en binaire

Effectuer les op´ erations suivantes.

a) 101

_bin

+ 110

_bin

b) 10101

_bin

+ 110001

_bin

c) 111111

_bin

+100101

_bin

d) 1101001

_bin

+ 1101001

_bin

Question 28

Effectuer les op´ erations suivantes.

a) 110

bin

− 101

bin

b) 110100

bin

− 101001

bin

Question 29

Effectuer les op´ erations suivantes.

a) 1101

_bin

· 10

_bin

b) 10101

bin

· 111

bin

c) 1010100

_bin

· 1101

_bin

d) 10111

bin

· 11011

bin

Question 30

Effectuer les calculs suivants.

a) 0b 1001+0b 111 1111 b) 0b 101 × 0b 11 1111

c) 0b 101 0110 − 0b 10 1010 d) 0x F0 5D + 0x A B1 23

Question 31

Convertir les nombres suivant avec 8 bits en compl´ ement

` a un.

a) 4 b) −4 c) 56 d) −12 e) −100

Question 32

Convertir les nombres suivant avec 8 bits en compl´ ement

` a deux.

a) 4 b) −4 c) 56 d) −12 e) −100

Question 33

Additionner les nombres suivants en binaire, en repr´ e- sentant les nombres n´ egatifs avec 4 bits en compl´ ement

` a deux.

a) 4 + (−3) b) −2 + (−2) c) −5 + 5

(4)

5 R´ esidus et arithm´ etique modu- laire

Question 34

Effectuer les divisions avec reste suivantes. ´ Ecrire le r´ esultat sous la forme n = aq + r.

a) 16 ÷ 3 b) 49 ÷ 5

c) 1372 ÷ 4

d) 3921 ÷ 6 e) 32 ÷ 2

f) 33 ÷ 2

g) 34 ÷ 2

Question 35

Donner les r´ esidus suivants.

a) (5 mod 4) b) (7 mod 4) c) (30 mod 4) d) (105 mod 4)

e) (32 mod 5)

f) (123 mod 10) g) (123 mod 3) h) (30 mod 4)

i) (−7 mod 8) j) (−1 mod 11)

Question 36

Dire si les congruences suivantes sont vraie ou fausse.

a) 75 ≡ 1 mod 2 b) 42 ≡ 1 mod 2 c) 4 ≡ 7 mod 3 d) 424 ≡ 72 mod 10

e) 99 ≡ 6 mod 3 f) −1 ≡ 5 mod 6 g) −32 ≡ −5 mod 7 h) 18 ≡ 0 mod 9

Question 37

Effectuer les op´ erations suivantes.

a) 473 + 280 mod 2 b) 36 + 5 mod 6

c) 44 + 78 mod 5

d) 26 − 50 mod 12

e) 56 × 391 mod 2

f) 321 × 48 mod 3

(5)

R´ eponses aux exercices

Arithm´ etique

Question 1 a) 8

b) 0

c) −2 d) 6

e) 4 f) −4

g) −4 h) −4

Question 2 a) −17 b) 4

c) −9

16 d) @

e) 12

Question 3 a) 2

5 b) 1 2

c) 5 2 d) 3

16

e) 19 20

Question 4 a) 12

35 b) 7

6 c) 1

6 d) 19

60

Question 5 a) 12

25 b) 7

6

c) 6 7 d) 4 5

e) 13 22 f) 5

3

Exposants

Question 6

a) 8 b) 1 8 c) −8

d) −8 e) 16

f) −16 g) 3 h) 4 i) 4

j) 25 k) 13 l) 256

Question 7

a) 2⁸ b) 3

2

c) 2⁵·3⁵ 5³ d) 9 e) 2x

5y⁶z²

f) a³⁴ b¹⁷¹² g) 10 h) 9

Question 8 a) √

21 b) √⁴

5 c) 1

√3 d) √⁷

8³

e) 3√ 2 f) 1

√5

10³ g) √

3⁵

Question 9

a) 5¹² b) 3¹⁵ c) 2⁵³

d) 5²³ e) 20⁻¹⁴

f) 2⁻⁵³

g) 3⁷⁵ h) 3⁻⁷⁵

i) 3⁻⁷⁵

j) 3²

Question 10

a) 5 b) 3 c) @

d) −3 e) 8

f) 2⁻¹¹⁶ g) 16 h) 30

i) 12 j) 6√³

2

Question 11 a) 10⁸ b) 10⁸⁰⁰ c) 10⁻¹ = 1

10 d) 10⁵⁻³1/2

= 10 e) 9

f) 2^7/6=√⁶ 2⁷ g) 3/2 h) 2³

Notation scientifique et de l’ing´ enieur

Question 12

a) 10 000 000 b) 0,000 1

c) 0,000 000 1 d) 100 000

Question 13

a) 4,3×10⁴ et 43×10³; 43ku b) 3,2×10⁻⁴ et 320×10⁻⁶; 320µu c) 2,145×10⁹ et 2,145×10⁹; 2,145 Gu d) 1,2×10⁻⁹ et 1,2×10⁻⁹. 1,2 nu

Question 14 a) 4,3·10³ b) 7,2·10⁻²

c) 3,7·10³ d) 2,7·10⁻⁴

Question 15 a) 2,5·10 b) 4·10

c) 2·10⁻⁸ d) 6·10⁻⁷

Question 16 a) 45 kW b) 3450µV

c) 0,46778975 Gm d) 560 nh

Question 17 a) 49,002 J b) 74,5 ms

c) 73,542 W d) 40,073 J

e)

147,218 mA f) 12,102 Ω

Binaire, octal et hexad´ ecimal

Question 18

a) 6 b) 13 c) 57 d) 367

Question 19 a) 2 Kib b) 16 Mi

c) 128 b d)

32 Gib e)

512 Mib f)

64 Tib

Question 20 a) 2²⁶b b) 2¹⁷b

c) 2³⁹ b d) 2⁴⁵ b

e) 2¹³b f) 2³⁴b

(6)

Question 21

Pour comparer la vitesse de téléchargement avec la capacité, on les convertit toutes les deux en bits.

15 Mb = 15·10⁶b.

100 Go = 100·10⁹ o

= 10¹¹ o

= 8·10¹¹ b

On divise la capacit´e en blocs de 15·10⁶ b : 8·10¹¹

15·10⁶= 8 1510¹¹⁻⁶

=8/15 1 0⁵

Il faut donc 8

1510⁵ secondes pour attendre la limite, soit approximativement 53333 secondes. Cela ´equivaut `a 14.81 heures.

Question 22 a) 10 0011bin

b) 101 1100bin

c) 1 0101 0101bin

d) 1 0010 0001 0101bin

e) 111 0100 0110 1000 1101bin

f) 1 0110 1001 1111 1111 1100bin

Question 23

a) 56oct b) 1513oct

Question 24

a) 71Ahex b) B1D9hex

b) 1 0001 0110bin

c) 1 1011 0100bin

d) 1110 0010 1111 0111bin

Question 26 a) 61533

b) 0b 100 1100 1011 c) 0x AB

d) 0b 101 0011 1001 0111 0111 e) 0b 1 0010 0011 0100

Question 27 a) 1011bin

b) 1000110bin

c) 1100100bin

d) 11010010bin

Question 28

a) 1bin b) 1011bin

Question 29 a) 11010bin

b) 10010011bin

c) 10001000100bin

d) 1001101101bin

Question 30 a) 0b 1000 1000 b) 0b 1 0011 1011 c) 0b 10 1100 d) 0x B A1 80

b) 1111 1011bin

c) 0011 1000bin

d) 1111 1100bin

e) 1001 1011bin

Question 32

a) 0000 0100bin

b) 1111 1100bin

c) 0011 1000bin

d) 1111 0100bin

e) 1001 1100bin

Question 33

a) 0100bin+ (1101)bin= (0001)bin

b) (1110)bin+ 1110bin= (1100)bin

c) (1011)bin+ 0101bin= (0000)bin

5.1 R´ esidus et arithm´ etique modulaire

Question 34

a) 5 reste 1, 16 = 5·3 + 1 b) 9 reste 4, 49 = 9·5 + 4

c) 343 reste 0, 1372 = 343·4 d) 653 reste 3, 3921 = 653·6 + 3

e) 16 reste 0, 32 = 2·16 + 0 f) 16 reste 1, 32 = 2·16 + 1 g) 17 reste 0, 32 = 2·17 + 0

Question 35

a) 1 b) 3 c) 2 d) 2

e) 2 f) 3 g) 0 h) 2

i) 1 j) 10

Question 36 a) Vrai b) Faux

c) Vrai

d) Faux e) Vrai

f) Vrai

g) Faux h) Vrai

Question 37

a) 1 b) 5

c) 2 d) 0

e) 1 f) 0