Exercices sur les matrices
I
On considère les matricesA=
µ2 −3 1
5 z 3
¶ etB=
x −1
−3 y
−14 −1
1. Déterminer les réelsx,yetzpour que le produit des deux matricesAB=
µ1 0 0 1
¶ .
2. Peut-on conclure que la matriceBest l’inverse de la ma- triceA?
II
On considère les matricesA=
µ7 5
−4 −3
¶ etI=
µ1 0 0 1
¶ . 1. Déterminer la matriceA2.
2. (a) Vérifier queA2−4A=I.
(b) En déduire la matriceA−1, inverse de la matriceA.
III
On considère la matriceM=
1 −1 2
−3 1
2 −3
−2 1 −3
.
On noteI=
1 0 0 0 1 0 0 0 1
la matrice identité d’ordre 3.
1. Calculer la matriceM2.
2. (a) Calculer la matriceM+2M2.
(b) En déduire queMest inversible et exprimerM−1en fonction des matricesIetM.
(c) CalculerM−1.
IV
Un artisan fabrique trois articlesA,BetC.
Chacun de ces trois articles est obtenu à partir de trois ma- tières premières différentesm1,m2etm3.
Le tableau suivant présente les quantités, exprimées dans la même unité, de matières premières nécessaires à la fabrication de chaque articleA,BouC.
A B C
m1 1 3 5
m2 4 5 2
m3 3 4 2
On considère la matrice de productionP=
1 3 5 4 5 2 3 4 2
et on
donneP−1=
2 14 −19
−2 −13 18
1 5 −7
sa matrice inverse.
1. L’artisan reçoit une commande de 10 articlesA, 12 articles Bet 8 articlesC.
Calculer à l’aide d’un produit de deux matrices, la matrice M indiquant les quantités de matières premières néces- saires à la réalisation de cette commande.
2. Au début du mois cet artisan reçoit une livraison de 2 000 unités de matière première m1, 2 300 unités de matière premièrem2et 1 900 unités de matière premièrem3. Déterminer le nombre de chaque article que l’artisan peut produire avec les quantités des matières premières qu’il reçoit.
V
Soit le système
½3x+4y=10 x+2y=8 On considère la matriceA=
µ3 4 1 2
¶
1. Montrer que la matriceAest inversible.
2. Écrire sous forme matricielle ce système.
3. Résoudre ce système.
VI
On considère la matriceA=
0 1 1 1 0 1 1 1 0
1. Calculer,à l’aide de la calculatrice, la matriceA2. 2. Calculer1
2(A2−A).
3. En déduire, à l’aide d’une factorisation, que Aest inver- sible et donner une expression deA−1(sans calculatrice).
VII Bac Réunion septembre 2007
Partie I
Le graphe suivant représente le plan d’une ville. Les arêtes du graphe représentent ses avenues commerçantes et les sommets du graphe les carrefours de ces avenues.
A B
C D
E F
1. Donner l’ordre de ce graphe, puis le degré de chacun de ses sommets.
2. Un piéton peut-il parcourir toutes ces avenues sans em- prunter plusieurs fois la même avenue ? Justifier votre ré- ponse.
Partie II
Dans le graphe suivant, on a indiqué le sens de circulation dans les différentes avenues.
A B
C D
E F
1. Écrire la matrice M associée à ce graphe.
(On rangera les sommets dans l’ordre alphabétique).
2. (a) Quel est le nombre de trajets de longueur 2 reliant D à B?
(b) Comment pourrait-on obtenir ce résultat unique- ment par le calcul à partir de la matrice M ?
