Factorielles et combinaisons (ou coefficients binomiaux)
1. Factorielles
a. Définition et variantes
Pour obtenir « factorielle n », on multiplie entre eux tous les nombres de 1 à n 𝑛!=1.2.3….. 𝑛−1 .𝑛
Pour obtenir « factorielle n+1 », on multiplie entre eux tous les nombres de 1 à n+1. L’avant dernier terme de la multiplication est n.
(𝑛+1)!= 1.2.3…..𝑛 𝑛+1
Pour obtenir « factorielle n-1 », on multiplie entre eux tous les nombres de 1 à n-1.
(𝑛−1)!= 1.2.3….. 𝑛−1
b. Propriétés
𝑛!=1.2.3….. 𝑛−1 .𝑛
Donc :
𝑛!= 𝑛−1 !𝑛
De même :
𝑛!= 𝑛−2 !(𝑛−1)𝑛 Par ailleurs :
d. Grands classiques
i. Produits des n premiers nombres pairs : 2.4.6….2𝑛
2.4.6….2𝑛 = 2.1 2.2 2.3 …. 2.𝑛 = 2!.1.2….𝑛= 2!.𝑛!
ii. Produits des premiers nombres impairs : 1.3.5…. 2𝑛−1 2𝑛+1
Pour calculer ce produit, insérons sous forme multiplicative les nombres pairs nécessaires pour avoir 2𝑛+1 ! Evidemment, si on multiplie par des nombres pairs, il convient diviser simultanément par ces mêmes nombres.
Ainsi :
1.3.5…. 2𝑛−1 2𝑛+1 = 1.2.3.4.5.6….(2𝑛)(2𝑛+1) 2.4.6…(2𝑛)
1.3.5…. 2𝑛−1 2𝑛+1 = 2𝑛+1 ! 2.4.6…(2𝑛)
La formule du produit des n premiers nombres pairs, vue au paragraphe précédent, peut être utilisée au dénominateur.
Ainsi :
1.3.5…. 2𝑛−1 2𝑛+1 = 2𝑛+1 ! 2!.𝑛!
2. Combinaisons
a. Définition 𝑛
𝑘 = 𝑛!
𝑘! 𝑛−𝑘 !,𝑛≥ 𝑘 𝑛
𝑘 = 0,𝑛 < 𝑘
b. Autre formulation 𝑛
𝑘 = 1.2.3… 𝑛−𝑘−1 𝑛−𝑘 𝑛−𝑘+1 ... 𝑛−1 .𝑛 𝑘! 𝑛−𝑘 !
𝑛
𝑘 = 𝑛−𝑘 ! 𝑛−𝑘+1 ... 𝑛−1 .𝑛 𝑘! 𝑛−𝑘 !
En simplifiant par 𝑛−𝑘 ! : 𝑛
𝑘 = 𝑛 𝑛−1 …(𝑛−𝑘+1) 𝑘!
c. Exemple simple
6
2 = 6!
2! 6−2 != 6!
2!4!= 1.2.3.4.5.6 1.2.1.2.34
En simplifiant par 1.2.3.4 : 6
2 =5.6 1.2=15
On aurait pu écrire, en reprenant la dernière formule du paragraphe précédent :
d. Cas particuliers à connaître 𝑛
0 = 𝑛!
0! 𝑛−0 !=𝑛!
𝑛!= 1 𝑛
1 = 𝑛!
1! 𝑛−1 !=𝑛(𝑛−1)!
(𝑛−1)! = 𝑛 𝑛
2 = 𝑛!
2! 𝑛−2 !=𝑛 𝑛−1 𝑛−2 !
2! 𝑛−2 ! = 𝑛(𝑛−1) 2
𝑘 𝑛
𝑘 =𝑘 𝑛!
𝑘! 𝑛−𝑘 != 𝑛 𝑛−1 !
𝑘−1 𝑛−1−𝑘+1 ! Dès lors :
𝑘 𝑛
𝑘 =𝑛 𝑛−1 !
𝑘−1 ! 𝑛−1−(𝑘−1) =𝑛 𝑛−1 𝑘−1
On retiendra donc que :
!
! =1 ; !! = 𝑛 ; !! =!(!!!)! ; 𝑘 !! = 𝑛 !!!!!!
e. Interprétation
!
! est le nombre de façons de choisir k éléments distincts parmi n éléments
Plus généralement, !! est le nombre de parties à k éléments d’un ensemble à n éléments. Dès lors, le nombre total N de parties d’un ensemble à n éléments est 2!. En effet :
𝑁 = 𝑛 𝑘 =
!
!!!
𝑛
𝑘 1!1!!! =
!
!!!
1+1 ! =2!
!
! est aussi le nombre de suites strictement croissantes (ou strictement décroissantes) de k nombres réels choisis parmi n nombres
Dans tous les cas, on suppose que 𝑛 ≥𝑘 ; si 𝑛 <𝑘 alors !! = 0
3. Binôme de Newton
a. Formule
Si a et b commutent (c’est-à-dire si 𝑎𝑏 =𝑏𝑎) :
𝑎+𝑏 ! = 𝑛
𝑘 𝑎!𝑏!!!
!
b. Exemple !!!
𝑛 𝑘
4 5!
!
!!!
=4 𝑛 𝑘
1 5
! !
!!!
Pour appliquer la formule du binôme de Newton, il conviendrait :
• d’avoir, à l’intérieur de la somme, un terme du type 𝑏!!!. Pour cela, on introduit le facteur 1= 1!!! ;
• de sommer à partir de 𝑘 =0 et non de 𝑘 =1 comme le propose l’énoncé. Pour cela, on ajoute le terme correspondant à 𝑘= 0 (c’est-à-dire que l’on somme à partir de 𝑘= 0) et on retranche immédiatement ce terme.
Ainsi : 𝑛 𝑘
4 5!
!
!!!
=4 𝑛 𝑘
1 5
!
1!!!−
!
!!!
𝑛 0
1 5
!
1!!!
Or : !! =1 ; !! ! = 1 ; 1!!! =1 Donc :
𝑛 𝑘
4 5!
!
!!!
=4 𝑛 𝑘
1 5
!
1!!!−
!
!!!
1 Dès lors :
