Hypothèse : à la fin de chaque Ppf, on fait l

G157. Le tournoi circulaire

A,B,C,D et E décident de disputer un tournoi circulaire qui met successivement face à face deux personnes jouant à une partie de pile ou face (Ppf) où chacun d’eux a une probabilité de gain (ou de perte) égale à 1/2.

Les règles sont les suivantes :

- les joueurs A et B commencent le tournoi avec la 1ière Ppf. Le perdant met 1 € au pot.

- le gagnant affronte au tour suivant le joueur C pour la 2ième Ppf. Le perdant met 1 € au pot.

- le gagnant affronte au tour suivant le joueur D pour la 3ième Ppf. Le perdant met 1 € au pot.

- le gagnant affronte au tour suivant le joueur E pour la 4ième Ppf. Le perdant met 1 € au pot.

- si A (ou B) remporte les quatre Ppf n°1,2,3 et 4, le tournoi s’arrête et A (ou B) emporte le pot. Sinon, le tournoi continue jusqu’à ce qu’un joueur gagne quatre parties consécutives avec quatre joueurs tous différents. Un joueur quelconque qui a perdu la iième partie (i>4), mise au pot 1 € et entre à nouveau dans le tournoi pour la i+4ième partie dès lors que sur l’intervalle il n’y a pas de vainqueur déclaré.

Q1 : Calculer les probabilités de gain de chacun des cinq joueurs.

Q2 : Déterminer les joueurs qui ont une espérance de gain positive.

Q3 : Calculer la durée moyenne du tournoi en nombre de Ppf jouées.

Hypothèse : à la fin de chaque Ppf, on fait l’hypothèse que le joueur perdant mise 1 € parti eperdue + 1 € pour pouvoir rentrer à nouveau dans le tournoi.

Nb de tournois

joués Nb de PPF joueur Nb tournois gagnés

Total mis au pot

Total des

pots gagnés gain % 100 000 000 1 499 897 781 A 21 448 868 530 962 993 505 820 242 -25 142 751 -4.735 Durée moyenne 14.999

B 21 460 884 530 947 825 505 945 224 -25 002 601 -4.709

C 20 198 702 500 442 860 501 253 780 810 920 0.162

D 19 004 567 478 390 498 500 755 337 22 364 839 4.675

E 17 886 979 471 555 064 498 524 657 26 969 593 5.719

Totaux 100 000 000 0