Enonc´e noG140 (Diophante) Interruption de partie
Zig et Puce jouent `a pile ou face. Si la pi`ece tombe sur pile, Zig marque un point et si elle tombe sur face, c’est Puce qui marque le point. Au d´ebut de la partie, chacun mise la mˆeme somme au pot et ils conviennent que le premier des deux qui atteint le score S gagne la partie et r´ecup`ere la totalit´e du pot de 102,40 euros. Apr`es 16 lancers de la pi`ece, le jeu est interrompu et ils d´ecident de partager le pot. Comme ils ont quelques r´eminiscences du calcul des probabilit´es, ils se mettent d’accord pour que Zig qui a deux points de plus que Puce empoche 72,65 euros tandis que Puce r´ecup`ere le reste.
Retrouver leur mode de raisonnement avant de d´eterminer S.
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
Je noteG(z, p) la part du pot qui revient `a Zig si son score estS−z alors que celui de Puce est S−p.
C’est la moyenne des deux r´esultats que peut donner le lancer suivant, avec des scores passant `a S−z+ 1 ouS−p+ 1, donc
G(z, p) =G(z−1, p)/2 +G(z, p−1)/2.
On dresse le tableau des valeurs de G(z, p) de proche en proche `a partir des valeurs sur les bords
G(0, p) = 102,40, G(z,0) = 0, (zetp n’´etant pas tous deux nuls).
Comme 72,65 = G(6,8), les scores de Zig et Puce `a l’interruption du jeu sont S −6 et S −8 (si la valeur 72,65 apparaissait ailleurs dans le tableau, ce serait avec plus de 2 points d’´ecart entre Zig et Puce). Il y a eu S−6 +S−8 = 2S−14 = 16 lancers, doncS= 15.
La partie en 15 points a ´et´e interrompue `a 9–7.
z 0 1 2 3 4 5 6
p
0 0 0 0 0 0 0
1 102,4 51,2 25,6 12,8 6,4 3,2 1,6 2 102,4 76,8 51,2 32 19,2 11,2 6,4 3 102,4 89,6 70,4 51,2 35,2 23,2 14,8 4 102,4 96 83,2 67,2 51,2 37,2 26 5 102,4 99,2 91,2 79,2 65,2 51,2 38,6 6 102,4 100,8 96 87,6 76,4 63,8 51,2 7 102,4 101,6 98,8 93,2 84,8 74,3 62,75 8 102,4 102 100,4 96,8 90,8 82,55 72,65
Remarque. La r´ecurrence de G(z, p) a pour solution g´en´erale
G(z, p) = 210−z−p 5
z+p−1
X
k=z
Cz+p−1k
d’o`u G(c−1, c+ 1) = 51,20 +210−2c 5 C2c−1c s’il y a deux points d’´ecart.
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