D1959
1 1` ere partie
L’ensemble des perpendiculaires aux cot´es du triangle passant par D, E et F est invariant par une translation perpendiculairement `a la droite DEF.
On peut donc amener D en A, ce qui donne la figure ci-dessous o`u AH est la hauteur passant par A.
Le quadrilat`ere CP EF est inscrit dans le cercle de diam`etre CE.
De mˆeme, BQEF est inscrit dans le cercle de diam`etre BQ.
On a donc:
AP.AC =AE.AF =AQ.AB
Soit M1 l’intersection de P E et AH, et M2 celle de F Qet AH.
Le quadrilat`ere CP M1H est inscrit dans le cercle de diam`etre CM1. De mˆeme, BQM2H est inscrit dans le cercle de diam`etre BM2. On a donc:
AP.AC=AM1.AH et AQ.AB =AM2.AH Compte tenu des ´egalit´es pr´ec´edentes, M1 et M2 sont confondus.
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2 2` eme partie
Soit C1 le cercle de centre B et de rayon BA qui coupe BC en M, C2 le cercle de centre D et de rayon DA qui coupe DC en N, et p, q, r, s les points de contact du cercle inscrit dans ABCD avec les cot´es AB, BC, CD et DA.
On a
Ap=As =M q=N r, et CM =Cq−M q=Cr−N r =CN
Soit X l’intersection des tangentes en M `a C1 et en N `a C2. On a XM =XN et X est sur la bissectrice de l’angleBCD.\
La puissance de X par rapport `aC1 et C2 est la mˆeme, donc X est aussi sur la perpendiculaire `a BD passant par A et par la 2`eme intersection de C1 et C2.
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