A,B,C,D et E décident de disputer un tournoi circulaire qui met successivement face à face deux personnes jouant à une partie de pile ou face (Ppf) où chacun d’eux a une probabilité de gain (ou de perte) égale à 1/2.
Les règles sont les suivantes :
- les joueurs A et B commencent le tournoi avec la 1ière Ppf. Le perdant met 1 € au pot.
- le gagnant affronte au tour suivant le joueur C pour la 2ième Ppf. Le perdant met 1 € au pot.
- le gagnant affronte au tour suivant le joueur D pour la 3ième Ppf. Le perdant met 1 € au pot.
- le gagnant affronte au tour suivant le joueur E pour la 4ième Ppf. Le perdant met 1 € au pot.
- si A (ou B) remporte les quatre Ppf n°1,2,3 et 4, le tournoi s’arrête et A (ou B) emporte le pot. Sinon, le tournoi continue jusqu’à ce qu’un joueur gagne quatre parties consécutives avec quatre joueurs tous différents. Un joueur quelconque qui a perdu la iième partie (i>4), mise au pot 1 € et entre à nouveau dans le tournoi pour la i+4ième partie dès lors que sur l’intervalle il n’y a pas de vainqueur déclaré.
Q1 : Calculer les probabilités de gain de chacun des cinq joueurs.
Q2 : Déterminer les joueurs qui ont une espérance de gain positive.
Q3 : Calculer la durée moyenne du tournoi en nombre de Ppf jouées.
Soient a, b, c, d, e les probabilités que A, B, C, D, E remportent le tournoi ; A et B jouent des rôles symétriques donc a=b. A partir de la deuxième partie, chaque fois qu’un
«challenger» l’emporte sur le «champion sortant», les probabilités de gain de chacun sont réinitialisées selon le rang dans la file d’attente. Par exemple, si A gagne la première partie, la file des joueurs est alors ACDEB. Les probabilités pour ceux qui occupent les rangs 2, 3 et 4 sont donc c, d, et e, tandis que, si x et y sont les probabilités pour ceux qui occupent les rangs 1 et 5, a=b=(x+y)/2. Il y a alors une probabilité de 1/2 que A soit battu par C à la partie 2 (la file devient CDEBA), 1/4 par D à la partie 3 (DEBCA), 1/8 par E à la partie 4 (EBCDA) et 1/8 que A gagne quatre parties consécutives, donc le tournoi. Nous avons alors 8x=1+7y, 8c=4x+d+2e, 8d=2x+4c+e, 8e=x+2c+4d, 8y=c+2d+4e, (en sommant ces relations on retrouve x+c+d+e+y=a+b+c+d+e=1). En combinant ces relations deux à deux, on trouve 16a=8(x+y)=17c, 16c=17d, et 16d=17e, avec a+b+c+d+e=1 : e=163/N, d=17*162/N, c=172*16/N, a=b=173/N, avec N=2*173+172*16+17*162+163
N=173+174-164=22898, soit a=b=21,45%, c=20,19%, d=19,01%, e=17,89%.
Soit p(n) la probabilité que se joue la partie n, et q(n) la probabilité que ce soit la dernière : le challenger de la partie n-3 a une chance sur 16 de gagner 4 parties d’affilée, donc de sortir vainqueur du tournoi à la partie n : p(1)=p(2)=p(3)=p(4)=1, q(1)=q(2)=q(3)=0,
q(4)=1/8, p(5)=7/8, et pour n≥5, p(n)-p(n+1)=q(n)=p(n-3)/16 ; p(n+1)<p(n-3)*15/16, la suite p(n) est donc décroissante, tendant vers 0 ; ∑q(k)=1, donc ∑p(n)=16.
L’espérance de la durée du tournoi est donc ∑nq(n)=∑np(n)-∑np(n+1)=∑p(n)=16.
