On the approximability of Minimum labeled spanning trees when each color appears at most r -times
10
0
0
Texte intégral
(2)
(3)
(4) !#"
(5) $&%(') * + )&',-&& ./0.1
(6) 2
(7) $& 34'- 3-56'7 r 85&' 9;:<>=@?BA6C*D@EFEFD;GIH JLKNMNOQPSR)T C OUTWVWX HZYWC M 7024 H Y&EF[]\QA<>^>[]G_:
(8) `4a;<>[b^ PSV a;cFdFeF[bEFAfH `/gha;iA
(9) jFckCla;<>:imena;g V A R afG>G_<>A3jFA
(10) oa;^>^>[bp@EQq@HZr@s@r@r@st`a;<>[b^ J AjFAvuxwzy{H |n<_a;EFiA;HnA;}&?~a;[bg f{{QfZQ@{{fUIn. .
(11) UU ¡z¢{¢{m£I¤¥]¦§¡z¨F¥]©¥©ª>«W¬{¢{m£f¨F]I¦t®W¬{®
(12) ¡z_¨{m®3¯£;U°Qm¡ ±Qª&¦§¥]±{¥©¦ {¦²¬{¡ ±{³{±´fm¡I¢nµ{® ¡zm¶ª>®·¯£;]£fm¥]«I®3¬{£;±QªL¯mµ{¡ ¸Q{®
(13) ¯£;{]®IU¡z¢{¢F¡zm¡I¹bª&¡ ¢F]{³ º £;¥]³ » «I³>{¦§« ÎÁ ÌLÈ Å ½NÃSÉÐ Ð ½SÕz½NÆzÉоLÅ ½>Î ¼Z½S¾¿vÀ¾ÂÁÄÃSÅ ½&¾ÂÀ¿vÁ ¾Â½NÆzÇBÈ ÀÂÉÊ Å ËÍÌL½NÎÇ Á Ïm¿vо>Ñ{ÒS¾¿vоÆIÉÐ Ð ÒNÇ ÐBÓÀ¿vÈ Ô ½ ¿vÀÂÖS¾Â½>ÎnÎÉоZÃSÉÅ ÉÀÂÁ Òͽ>ÎÍ×mÉÐÃÔ ½ÍÀÃÂÔ ½8ØÃÉÐfÎ ¾ÂÀÂÇ Á À½)Ç Ð&¿vÀÂÊ À½)ÃSÉÇ ÏIÀ¿vо Çz¾ÂÁ Å ÁÄοvо Ç ÐÐ ÉÌÊ À½)ÌLÁ Ð Á ÌÇ ÌÙÆz½ÃSÉÇ Å ½ÍÇ ÀÎÍÚ Å ÉÀÎÂÜÇ ½ Û ÉÇfÎnÈ ÀÂÉÇ ÏÉÐfÎnÜIÇQÝ ÇzпvÅ ÓÉÀÂÁ ¾ÂÔ ÌL½8ÆI½À½>ÃÂÔ ½ÍÀÃÔ ½)Å ÉzÃÍ¿vÅ ½)Ó¿vÀ¿vоÂÁ ¾ Å ½8À¿vÈ È;ÉÀ¾ZÆQÝ ¿vÈ È ÀÂÉ>ÕzÁ Ì¿m¾ÂÁ ÉÐ ÃÂÔf¿ÜÇ ½1ÃSÉÇ Å ½ÍÇ À¿vÈ Èf¿vÀ¿mÞ ¾¿vÇ
(14) È Å ÇfÎ ßbà ÉÁÄÎÍÚ;á½1È Å ÇfÎÍ×;Ð ÉÇfÎ8ÌLÉоÂÀÂÉÐfÎÜÇ ½1ÃS½S¾¾Â½À½>Î ¾ÂÀÂÁÄþÂÁ ÉÐ3½>Î ¾4âã/ä ·¯£;¦t¢F]®ª Å ÉÀÎÂÜÇ ½ ÚUå{Á Ðf¿vÅ ½ÍÌL½Íо>×Ð ÉÇfÎ/È ÀÂÉÇ ÏvÉÐfÎ/ÜÇ ½LÅÄ¿NÓÒÍÐ ÒÍÀ¿vÅ ÁÄοm¾ÂÁ ÉÐ ÉæçÃÔf¿ÜÇ ½¿vÀÂÖS¾Â½¿NÇ Ð ½Å ÁÄÎ ¾Â½&Æz½&ÃSÉÇ Å ½ÍÇ ÀÎ ¿ÆzÌLÁÄÎÂÎÁ Ê Å ½>Î{ÐÝ ½>Î ¾ Èf¿ÎFÇ ÐLÈ ÀÂÉÊ Å ËÍÌL½7È Å ÇfÎ ÆzÁ è&ÃSÁ Å ½8Ø4¿vÈ È ÀÂÉ>ÕzÁ ÌL½ÍÀnÜÇ ½8ÃS½ÍÅ Ç ÁzÉæÃÂÔf¿ÜÇ ½)¿vÀÂÖS¾Â½)¿Ç Ð ½8νÍÇ Å ½8ÃSÉÇ Å ½ÍÇzÀ>Ú é êmë]ìíîSï ðì Ñfñ8ÀÂÊ À½/ÃSÉÇ ÏIÀ¿vоUòzñ8È È ÀÂÉ_ÕzÁ Ì¿m¾ÂÁ ÉÐ/òfóÈI¾Á ÌLÁÄοm¾ÂÁ ÉÐNÅ ÉzÃÍ¿vÅ ½ òzñ8ô õ ß ÃSÉÌLÈ Å ÒS¾ÂÇfÆz½Ú r. G = (V,E). (r + 1)/2. r. r ≥3. ö±~ª>µ{®
(15) ¡z¢{¢{m£I¤¥]¦§¡z¨F¥]]¥©ª÷B£ º)ø ¥]±{¥]¦6{¦ù]¡z¨Z®I]®I¬³Í¢F¡ ±{±{¥]±{´6ªÍm®I®I³1úµ{®I±®I¡ ¯_µ ¯£;]£f&¡z¢{¢Z®I¡zm³¡zª ¦§£;³Íª ªÍ¥]¦§®I³ ûü@ýþÿ >þ r. .
(16)
(17)
(18) !
(19) " #$%&
(20) ' (
(21)
(22) )*
(23)
(24)
(25) )+ ,-(
(26)
(27) )./#
(28) #.( #0-(
(29) #.!1%. 23 45 " + 6 #
(30) " *)7
(31) 89
(32) /
(33) *: ) + ." !" : ;9 8 " <3=>* ?@/ 9
(34) 8:7. û. vþ. " *
(35) : /+# ' # ,AB" 4:"1 : >" )
(36) #DC " +
(37) - :F #B @3<&GH ? :, r (r + 1)/2E
(38) :I
(39) 1 ' J JK+LM N3OQPSR T T %U <-VW
(40) " " C@,4
(41) :I
(42) )
(43) 7" X: H% r≥3
(44) 9 !
(45) " #Y9
(46) +:7 Z: ) /:Z!5 " : H9 ;[ " 5#
(47) )[[" ' %1" " :: Z " 9:\4(
(48) ? " 4
(49) :F #B < ].^7_`ab cd eAf-
(50)
(51)
(52) )* gh
(53) :F #B Ag iA4:"& # X: AghjWk. Á. E. #B "
(54) <.
(55) l. mSnJo1pq;rQsQt9ouqBn. оÂÔ ÁÄÎFÈf¿vÈ;½ÍÀ ½7ÃSÉÐfÎÁÄÆz½ÍÀU¾ÂÔ ½È ÀÂÉÊ Å ½ÍÌkÉ ÐfÆzÁ Ð Ó4¿ÎÈf¿vÐ Ð Á Ð Ó8¾ÂÀ½ͽ )Á ¾ÂÔÌLÁ Ð Á ÌÇ Ì ÐIÇ ÌÊ@½ÍÀFÉ ÃSÉÅ ÉÀÎÍÚ Á ϽÍÐ ¿LÎÁ ÌLÈ Å ½ÃSÉÐ Ð ½>þ½>ÆÓÀ¿vÈ ÔNÉÐ Ïv½ÍÀ¾ÂÁÄÃS½>Î)¿vÐfàÆWÃSÉÅ ÉÀÎÉÐN½>ÆzÓ½>Î ]Æz½ÍÐ Év¾Â½/Ê ¾ÂÔ ½ÃSÉÅ ÉÀ7É à ½>Æzà Ó½ × ½4Å ÉzÉ à ÉÀ7¿1ÎÈf¿vÐ Ð Á РӾ©ÀÂÁ Ð ½Í½ÎÇfÔ ÎÉÁ ÀÐ ¾ ÓL¿ÌLÁ Ð Á ÌÇ Ì Ú ÐfÐÆzÇ ½Í̽>Ê;Æ@½Í×;À7¾ÂÔ É ÁÄà ÎÃÈ ÉÀÂÅÄÉÉÀÊ ÎÍÅ ½ÍÚ Ì6½4ÁÄÎÀ½ÃSàÅ ½Í½>ÀZ¿vÀ¾ÂŠɾ½>Ô ÜÁÄÇ ÎÁ È Ïv¿vÀÂÉÅ ½ÍÊ ÐÅ ¾½ÍÌ ¾ÂÉ¿¾ÂÎZÔ ¾Â½1Ô Èz½ ÀÂé ÉÊ Å ½ÍÌ Î½ÍÅ ½>þÂÁ Ð SÓï ¿ ÎÇ ÊfνS¾4É à ÃSÉÅ ÉÀÎ8É à ÌLÁ Ð Á ÌÇ Ì ÎÁ ͽ1ÎÇfÃÔ
(56) ¾ÂÔf¿m¾4¾ÂÔ ½LÎÇ Ê ÓÀ¿vÈ Ô
(57) Á ÐfÆzÇfÃS½>Æ
(58) Ê W¾ÂÔ ½>νLÃSÉÅ ÉÀÎÁÄÎ4ÃÉÐ Ð ½>þ½>Æ ¿vÐfÆ ÎÈf¿vÐ ¾ÂÔ ½/Ïv½ÍÀ¾Â½SÕNνS¾>Ú ÐN¾ÂÔ ½ à ÉÅ Å É )Á Ð Ó ½¾¿ ½¾ÂÔ ÁÄÎ8Æz½>ÎÂÃSÀÂÁ Èz¾ÂÁ ÉÐÚ 6½¿vÅÄÎÉÃSÉÐfÎÁÄÆz½ÍÀ)¿LÐf¿m¾ÂÇ À¿vÅ@Ó½ÍÐ ½ÍÀ¿vÅ Á >¿m¾ÂÁ ÉÐÉ à ¾ÂÔ ÁÄÎ È ÀÂÉÊ Å ½ÍÌ )Ô ½ÍÀ½ ½1ÃÍ¿vÐ ÃÂÔ ÉzÉν¿ÃSÉÅ ÉÀ à ÉÀ4¿vÐ
(59) ½>ÆzÓ½ ¿vÌLÉÐ Ó¿&Å ÁÄÎ ¾É à È;ÉÎÂÎÁ Ê Å ½1ÃSÉÅ ÉÀÎ ©ÁbÚ ½Ú × Ú Ú ¾ZÁÄÎ ½>¿Î Ô ÁÄÎ Ó½ÍÐ ½ÍÀ¿vÅ Á >¿m¾ÂÁ ÉÐ )Á Å Å;Ê;½ÃÍ¿vÅ Å ½>Æ é ]Á Ð&ÎÔ ÉÀ¾ Äìë Sï ÁÄÎÃSÅ ½>¿vÀÂÅ
(60) ½>ÜÇ Á Ïv¿vÅ ½Íо/¾ÂÉ ÉÐtÌÇ Å ¾ÂÁ ÓÀ¿vÈ ÔfÎÍÚ Ôf¿ÎÊ;½Í½ÍЧΠ¾ÂÇfÆzÁ ½>Æ ¾ÂÉ
(61) νͽ¾ÂÔf¿m¾ ÀÎ ¾ÂÅ LÊ N¼ZÔf¿vÐ Ó1¿vÐfÆ ½ÍÇ ¿vÐfƾÂÔ ½ÍÐÊ 4ÀÂÇ Ì ½¿vÐfÆ Á À¾ÂÔ h×z¿vÐfÆ&ϽÍÀ LÀ½>ÃS½ÍоÂÅ Ê t¿vÐ Së mï Ú hÚ Ô ½ ÀÎ ¾1¿vÇz¾ÂÔ ÉÀÎ )ÎÔ É Z½>Æ6¾ÂÔf¿m¾¾ÂÔ ÁÄÎÈ ÀÂÉÊ Å ½ÍÌ ÁÄÎ 3ã ·µ{¡zm¬ ¿vÐfÆçÁ ¾1Ôf¿Î¿vÈ È Å ÁÄÃÍ¿m¾ÂÁ ÉÐfÎ/Á ЧР½S¾ ÉÀ çÆz½>ÎÁ ÓÐÚ Ô ½ ν>ÃSÉÐfÆ
(62) ¿vÇz¾ÂÔ ÉÀÎ Ó¿>Ͻ1¿ ¿vÈ È ÀÂÉ>ÕzÁ Ì¿m¾ÂÁ ÉÐ ¿vÐfÆ
(63) È ÀÂÉmϽ>ÆW¾ÂÔf¿m¾ ÃÍ¿vÐ Ð Év¾4Ê;½¿vÈ È ÀÂÉ_ÕzÁ Ì¿m¾Â½>Æ h ß )Á ¾ÂÔ Á Ð ÉÀ4¿vÐ Ç Ð Å ½>ÎÂÎ Ú@å{Á Ðf¿vÅ Å ×f¾ÂÔ ½ÅÄ¿Î ¾¿vÇz¾ÂÔ ÉÀÎ nÎÔ É Z½>Æ ÁÄÎ à ß ¿vÈ È ÀÂÉ_ÕzÁ Ì¿vÊ Å ½ )Ô ½ÍÀ½ ÁÄÎ7¾ÂÔ ½ ß ¾ÂÔWÔf¿vÀÂÌLÉÐ ÁÄÃÐÇ ÌÊ;½ÍÀ>Ú ¾ÂÔf¿m¾ ÁÄΠоÂÔ ÁÄÎZÈf¿vÈ@½ÍÀ>× Z½ ÀÎ ¾È ÀÂÉ_Ͻ)¾ÂÔf¿m¾ ¿vÈ È ÀÂÉ_ÕzÁ Ì¿vÊ Å ½ )Ô ½ÍÐ&½>¿ÃÂÔÃSÉÅ ÉÀZ¿vÈ È;½>¿vÀÎZ¿m¾ZÌLÉÎ ¾ ß ¾ÂÁ ÌL½>Î)Ê ÇfÎÁ Ð Ó¿1Å ÉzÃÍ¿vÅν>¿vÀÃÂÔW¿vÅ ÓÉÀÂÁ ¾ÂÔ ÌWÚ Ô ½ÍÐ× Z½ÎÔ É ¾ÂÔf¿m¾)¾ÂÔ ÁÄÎ)À½>Î ¾ÂÀÂÁÄþÂÁ ÉÐÁÄÎ)âãä ·¯£;¦t¢F]®ª>® ½ÍϽÍÐNÁ ¾ÂÔ ß ½Ì¿mÕzÁ ÌÇ Ì Æz½ÍÓÀÂ½Í½É à ¾ÂÔ ½ÓÀ¿vÈ ÔWÁÄÎ)¾ÂÔ À½ͽ¿vÐfÆ3½>¿ÃÂÔ
(64) ÃSÉÅ ÉÀ¿vÈ È;½>¿vÀÎ8¿m¾ÌLÉÎ ¾¾ÂÔ À½ͽ/¾ÂÁ ÌL½>ÎÍÚ;å{Á Ðf¿vÅ Å × Z½1ÎÔ É à ¾ÂÔf¿m¾ ÁÄÎ)ÐzÉv¾8ÌLÉÀ½/ÆzÁ è&ÃSÇ Å ¾)¾ÂÉ&¿vÈ ÈzÀÂÉ_ÕzÁ Ì¿m¾Â½¾ÂÔf¿vÐ Ú w. v. w. 3x. n. 4AA z. {. @w. v. . ; @. {. 4. {8. w.
(65) {. . Bz. M inLST. Z}. 4w. ;~. I . L(e) ∈ List(e) | 7{ v M inListLST | M inLST. {. {
(66) {;~. H.
(67) {. 2lnn + 1 | ε>0. x. W . w. Iz. (1 − ε)lnn M inLST Hn−1. r. ~. e. H . v. AH . AHD 1 4AA z. 6. x. w. -}. M inListLST. { {. x. Zw. Hw. }. {. Jw. . 3w. {. v. M inLST |. e|. L(e). ~. . w. @y. z. }. M inLST. NP ⊆ DTIME(n Hn n M inLST (r + 1)/2. O(loglogn). *w. 3w. . {. ). . B . 4w. +w. @w. { Aw. M inListLST. . @w. M inLST. Q Qpq+¡8u¢¤£[ouqBn¥p¦+§1sQ¨o§. Ð ×{¿vÐtÁ ÐfÎ ¾¿vÐfÃS½&ÁÄÎÓÁ Ïv½ÍÐtÊ )Ô ½ÍÀ½ ÁÄο
(68) ÃSÉÐ Ð ½>þ½>ÆçÇ ÐfÆzÁ À½>þ½>ÆçÓÀ¿vÈ Ô )Á ¾ÂÔ ÉÇz¾4Å ÉIÉÈfοvÐfÆ
(69) ÌÇ Å ¾ÂÁ È Å ½L½>ÆzÓ½>οvÐfÆ ÁÄÎ4¿ à Ç ÐfþÂÁ ÉÐ à ÀÂÉÌ ¾ÂÉ )Ô ½ÍÀ½>¿Î8Á Ð ×Q¿vÐ Á Ð È Çz¾ÁÄÎZÓÁ ϽÍÐÊ )Ô ½ÍÀ½ ÁÄοÃSÉÐ Ð ½>þ½>ÆÓÀ¿vÈzÔ&¿vÐfÆ ÁÄοÌÇ Å ¾ÂÁ ßbà Ç ÐfþÂÁ ÉÐ à ÀÂÉÌ ¾ÂÉ Úmå ÉÀF¿vÐ /ÎÇ ÊfνS¾ É à ½>ÆzÓ½>ÎÍ× Z½7Æz½ÍÐ Év¾Â½ZÊ ÉÀ × ¿vÐfÆ3Ê ©À½>ÎÈÚ à ÉÀ ¾ÂÔ ½LÎÇ Ê ÓÀ¿vÈ Ô
(70) Á ÐfÆzÇfÃS½>Æ
(71) Ê Wà¾ÂÔ ½1½>ÆzÓ½1ÎÇ ÊfνS¾ ©À½>ÎÈÚ ×;Ê N¾ÂÔ ½ ½>ÆzÓ½7ÎÇ ÊfνS¾ Ú Ô ½7ÓÉ¿vÅÉ ¾ÂÔ ½>νZ¾ ÉÈ ÀÂÉÊ Å ½ÍÌÎFÃSÉÐfÎÁÄÎ ¾Î{Á Ð ÐfÆzÁ Ð Ó/¿ÃSÉÐ Ð ½>þ½>Æ ÎÇ Ê ÓÀ¿vÈ Ô É à ÎÈf¿vÐ Ð Á Ð Ó ÎÇfÃÔ¾ÂÔf¿m¾ ÁÄÎ)ÌLÁ àÐ Á ÌÇ ÌWÚ Ð1¾ÂÔ ÁÄÎ È ¿vÈ@½ÍÀ>× ½8ÃSÉÐfÎÁÄÆz½ÍÀ{¾Ôz½8À½>Î ¾ÂÀÂÁÄþÂÁ ÉÐ1É à ×Æz½ÍÐ Év¾Â½>Æ1Ê )Ô ½ÍÀ½ à ÉÀ ¿vÐ × Ú Ï½ÍÐ6¾ÂÔ ÁÄÎ/À½>Î ¾ÂÀÂÁÄþÂÁ ÉÐ ÁÄÎ 3ã ·µ{¡zm¬ à ÉÀ¿vÐ ¿vÐ Æ ¾ÂÔ ½È ÀÂÉIÉ à À½>ÎÇ Å ¾Î Àà ÂÉÌ ¾ÂÔ ½ñ8ô õ ß ÃSÉÌLÈ Å ½S¾Â½ÍÐ ½>ÎÂÎ7ÓÁ ϽÍÐNÁ ÐN¾ÂÔ ½/Ð ½SÕI¾Î½>þÂÁ ÉÐÚ 6½LÎ ¾ÂÇfÆ N¾ÂÔ ½L¿vÈ ÈzÀÂÉ_ÕzÁ Ì¿vÊ Á Å Á ¾ NÉ Ê
(72) ¿Å É ÃÍ¿vÅ{ν>¿vÀÃÔ
(73) ¿vÅ ÓÉÀÂÁ ¾ÂÔ ÌWÚ Ô ½Å ÉzÃÍ¿vÅ{ÉÈz¾ÂÁ ÌLÁ >¿m¾ÂÁ ÉÐ )Á ¾ÂÔ È;½ÍÀ à ÉÀÂÌ¿vÐfÃS½ZÀ¿m¾ÂÁ ÉÓÇf¿vÀ¿vо½ͽ>ÎUÔf¿Î{Ê;½Íà½ÍÐLÎ ¾ÂÇfÆzÁ ½>Æ à ÉÀFÁ ÐfÎ ¾¿vÐfÃS½Ê ñ8ÇfÎÁ ½ÍÅ Å É/¿vÐ Æô ÀÂÉv¾¿ÎÁ ÉÀnñ8À IÁ Ð1¿vÐfÆ ¿ÎÂÎÁ Ð hÚ ÐL¾ÂÔ ÁÄÎZÈ ¿vÈ@½ÍÀ>×m¾ÂÔ ½8Ð ½ÍÁ ÓÔIÊ;ÉÀÂÔ ÉzÉzÆ1ÃÍ¿vÐLÊ@½Æz½ Ð ½>ÆLÁ ÐL¾Â½ÍÀÂÌÎ É à ¾ÂÔ ½8ÐIÇ ÌÊ@½SÀZÉ à Çfν>ÆÃSÉÅ ÉÀÎÍÚ Ð¾ÂÔ ½ à ÉÅ Å É )Á Ð Óf× ¿ÃSÉÐ Ð ½>þ½>Æ ÎÇ Ê ÓÀ¿vÈ Ô ÁÄÎ4ÃÍ¿vÅ Å ½>Æ ¿ Å ÉzÃÍ¿vÅ{ÉÈz¾ÂÁ ÌÇ Ì Á ½LÃÍ¿vÐ Ð Év¾/ÆI½ÍÅ ½S¾Â½1¾ÂÔ ½L½ÍÆzÓ½>ÎÉ ÇfÎÁ Ð ÓW¿m¾ ÌLÉÎ ¾ ÃSÉÅ ÉÀÎ4¿vÐfÆç¿Æ Æ6ÎÉÌL½LÉv¾ÂÔ ½ÍÀ/½>ÆzÓ½>Î4ß ÇfÎÁ Ð Ó3Î ¾ÂÀÂÁÄþÂÅ
(74) ÅĽÍÎÂà Î4¾ÂÔf¿vÐ ÃSÉÅ ÉÀÎ4¿vÐfÆ ÉÊz¾¿vÁ Ðç¿vÐ àÉv¾ÂÔ ½ÍÀÃSÉÐ Ð ½>þ½>Æ ÎÇ Ê ÓÀ¿vÈ ÔQÚ ÔÇfÎ ÉÀÁ ÐfÎ ¾¿vÐfÃS½×@¿ Å É ÃÍ¿vÅUÉÈz¾ÂÁ ÌÇ Ì ÁÄοÃSÉÐ Ð ½>þ½>Æ
(75) ÎÇ Ê ÓÀ¿vÈ Ô ÇfÎÁ Ð ÓN¿&ÌLÁ Ð Á Ì¿vÅFÐIÇ ÌÊ@½ÍÀ É à ÃSÉÅ ÉÀ ©ÁbÚ ½Ú × à × ¾ÂÔ ½ÓÀ¿vÈ Ô ß ÁÄÎ8Ð Év¾ÃSÉÐ Ð ½>þ½>Æ Ú Û Év¾Â½/¾ÂÔf¿m¾8Á à ÁÄÎ8¿ ß Å ÉzÃÍ¿vÅÉÈz¾ÂÁ ÌÇ Ì ¾ÂÔ ½ÍÐ×f¿vÐ ÎÈf¿vÐ Ð Á Ð Ó1¾ÂÀ½ͽ É à οm¾ÂÁÄÎ ½>Î Ú ¾8ÁÄÎ7½>¿Î L¾ÂÉνͽ¾ÂÔf¿m¾¿ ß Å É ÃÍ¿vÅ@ÉÈz¾ÂÁ ÌÇ Ì ÁÄÎ)¿ ß ¿vÈ È ÀÂÉ>Õ Á Ì¿m¾ÂÁ ÉvÐÚ Ð¾ÂÔ ½ à ÉÅ Å É )Á Ð Óf× ½/ÎÔ É ¾ÂÔf¿m¾8¿ ß Å ÉzÃÍ¿vÅ ÉÈz¾ÂÁ ÌÇ Ì ÁÄο ¿vÈ È ÀÂÉ_ÕzÁ Ì¿m¾ÂÁ ÉпvÐfÆL¾ÂÔf¿m¾Z¾ÂÔ ÁÄÎÀ¿m¾ÂÁ ÉÁÄÎn¾ÂÁÄÓÔ¾>Úzñ ß Å É ÃÍ¿vÅfÉÈz¾ÂÁ ÌÇ Ì ÃÍ¿vÐÊ@½ à ÉÇ ÐfÆÊ 1¾ÂÔ ½ ß à ÉÅ Å É )Á Ð Ó¿vÅ ÓÉÀÂÁ ¾ÂÔ ÌWÑ v. {. M inLST. w. {. I = (G,L). w. G = (V,E) w E {1, . . . ,q} M inListLST List E z = ∪e∈E 0 L(e) M inListLST L(e) ∈ List(e) | z {
(76) { E0. L G = (V,E). w. I = (G,List)
(77) { w { {1, . . . ,q} E0 LE 0 { z 0 G[E ] G[A] A ⊆ {1, . . . ,q} | −1 L (A) = {e ∈ E : L(e) ∈ A} | G[E 0 ] G V |LE 0 | 4w v M inLST W© |L−1 (i)| = |{e : L(e) = i}| ≤ r ~. {. {. M inLSTr. v. k. . Bz. 7{. {. i = 1, . . . ,q. . . {. S ª . }. w. k. 4w. G[E 0 ]. {. G[LE 0 \ {i}] T G[E ] x LT = L E 0 1 r. w. J«. v. (r + 1)/2. @w. 2 − 0P T. w. M inLSTr { r ≥3. k. G[E 0 ] G[E 0 ]. |. 1. 0. v. .
(78) {. 1. ∀i ∈ LE 0.
(79) {. x.
(80) {. x. G[E 0 ]. w. 4w. v. . 2. . w. 4w. 2. {.
(81) ¿vÐfÆW¿ Ç ÐfþÂÁ ÉÐ ò ±U¢FUª Ñ;ñkÃSÉÐ Ð ½>þ½>ÆNÓÀ¿vÈ Ô öUªÍ¢FUª Ñfñ$ÃSÉÐ Ð ½>þ½>ÆNÎÇ Ê ÓÀ¿vÈ Ô ò à ¾¿vÀ¾ )Á ¾ÂÔ3¿vÐW¿vÀÂÊ Á ¾ÂÀ¿vÀ ÃSÉÐ Ð ½>þ½>ÆWÎÇ Ê ÓÀ¿vÈ Ô )Ô ÁÄÃÂÔ3ÎÈf¿vÐ ò Ô Á Å ½4¾ÂÔ ½ÍÀ½/½SÕzÁÄÎ ¾Î )Á ¾ÂÔ ¿vÐfÆ )Á ¾ÂÔ ÎÇfÃÔ¾Ô ¿m¾ ÁÄÎ)ÃSÉÐ Ð ½>þ½>ÆW¿vÐfÆNÎÈf¿vÐ ÆzÉ ò ÐfÆ )Ô Á Å ½ ¾ÁÄν>¿Î ¾ÂÉ Î½Í½¾ÂÔf¿m¾¾ÂÔ ½¾ÂÁÄÌL½ ÃSÉÌLÈ Å ½SÕzÁ ¾ 6É ¾ÂÔ ÁÄοvÅ ÓÉÀÂÁ ¾ÂÔ Ì ÁÄÎ )Ô ½ÍÀ½ Á à ½Î ¾¿vÀ¾ )Á ¾ÂÔB¿ ÃSÉÐ Ð ½Íþ½>ÆWÎÇ Ê ÓÀ¿vÈ Ô ÇfÎÁ Ð ßÓ ½>ÆzÓ½>ÎÍÚ à µ{®I£fm®I¦ mï ê ë Äì í Âê më ]ê ê é ê ê 4ë Äì më ]ê Äì ë Ië ã m£Q£ º ½S¾ Ê;½/¿vÐÁ ÐfÎ ¾¿vÐfÃS½É à )Ô ½ÍÀ½ ÁÄÎ)¿1ÃÉÐ Ð ½>þ½>ÆÓÀ¿vÈ Ô )Á ¾ÂÔ Ïv½ÍÀ¾ÂÁÄÃS½>Î ¾ÂÔ ½WÎÉÅ Çz¾ÂÁ ÉÐ ÉÇ ÐfÆ§Ê ç¾ÂÔ ½W¿vÅ ÓÉÀÂÁ ¾ÂÔ Ì ¿vÐfÆtÅ ½S¾ Ê;½W¿vÐBÉÈz¾ÂÁ ÌÇ Ì ÎÉÅ Çz¾ÂÁ ÉÐ§É à Ú 6½WÆz½ÍÐ Év¾Â½Ê F¿vÐfÆNÊ ¾ÂÔ ½Î½S¾É à ÃSÉÅ ÉÀÎ7Çfν>ÆWÉÐfÃS½Á ÐW¾ÂÔ ½ÎÇ Ê ÓÀ¿vÈ Ô ¿và ÐfÆNÊ ¾ÂÔ ½½>ÆzÓ½/É à )Á ¾ÂÔ3ÃSÉÅ ÉÀ ©ÁbÚ ½Ú × ¿vÐfÆ ÉÀ8¿vÐ Ú à ½S¾ ¿vÐfÆ Ê;½L¾ ZÉ
(82) ÎÈf¿vÐ Ð Á Ð Ó¾ÂÀ½ͽ>Î4É ¿vÐfÆ À½>ÎÈ@½ÍþÂÁÄÏv½ÍÅ Ú IÁ ÐfÃS½ ¿vÐfÆ ¿vÀ½LÁ Ð Èf¿vÀ¾ÂÁÄÃSÇ ÅÄ¿vÀ)¿ ß Å É ÃÍ¿vÅ@ÉÈz¾ÂÁ ÌÇ ÌW× Z½/Ôf¿_Ïv½ à ¿vÐfÆ Ú Û É /× ½ ZÉÀ )Á ¾ÂÔ ¿vÐfÆ Ú IÁ ÐfÃS½½>¿ÃÂÔ
(83) ÃSÉÅ ÉÀ8Á Ð ÁÄÎ8Çfν>Æ
(84) ¿m¾Å ½>¿Î ¾ ¾ÂÁ ÌL½>οvÐfÆ Ôf¿Î ½>ÆzÓ½>Î7¾ÂÔ ½ÍÐ× ½Ôf¿_Ïv½/¾ÂÔ ½ Éà Å Å É )Á Ð ÓLÁ Ð ½>ÜÇf¿vÅ Á ¾ à ÉÀ7¾ÂÔ ½/ÐIÇ ÌÊ@½ÍÀ)É à ÃSÉÅ ÉÀÎÇfν>ÆÊ ¾ÂÔ ½4¾ÂÀ½ͽ Ñ zÚ óоÂÔ ½Év¾ÂÔ ½ÍÀZÔf¿vÐfÆQ×IÎÁÄÐ ÃS½½>¿ÃÔÃSÉÅ ÉÀ¿vÈ È;½>¿vÀÎZ¿m¾ÌLÉÎ ¾ ¾ÂÁ ÌL½>ÎZÁ Ð ¿vÐfÆ Ôf¿Î ½>ÆzÓ½>ÎÍ× Z½Æz½>ÆzÇfÃS½Ñ zÚ ÉÀ½ÍÉmÏv½ÍÀ>× ½/¿vÅÄÎÉLÔf¿>Ͻ¾ÂÔ ½/Á Ð ½>ÜÇf¿vÅ Á ¾ @Ñ zÚ ñÎÂÎÇ ÌL½7¾ÂÔf¿m¾n¾ÂÔ ½)È À½ÍÏIÁ ÉÇfÎFÁ Ð ½>ÜÇf¿vÅ Á ¾ ÁÄÎnÐ Év¾n¾ÂÀÂÇ ½8¿vÐfÆLÆz½ÍÐ Év¾Â½)Ê ¾ÂÔ ½ ÎÇ Êz¾ÂÀ½ͽ>ÎFÊ Ç Á ÅÄÆ à ÀÂÉÌ ¿ ¾Â½ÍÀn¾ÂÔ ½Æz½ÍÅ ½S¾ÂÁ ÉÐÉ ½>ÆzÓ½>Î Ú IÁ ÐfÃS½ ×v¾ÂÔ ½ÍÀ½)½SÕzÁÄÎ ¾Î ÉÐ ½8ÃSÉÅ ÉÀnÁ Ð ¾ÂÔf¿m¾ZÇfν>ÎZ¿m¾ Å ½>¿Î ¾ ¾ É ½>Æzà Ó½>οvÐfÆNÎÇfÃÔ&¾ÂÔf¿mà¾)½>¿ÃÔÉ à ¾ÂÔ ½>ν½>ÆzÓ½>ÎÔf¿ÎÉÐ ½4½ÍÐfÆzÈ;ÉÁ о)Á Ð ¿vÐ Æ&¾ÂÔ ½4Év¾ÂÔ ½ÍÀ7ÉÐ ½Á Ð Ú ÔÇfÎÍ× à ÀÂÉÌ ½ ÃÍ¿vÐL¿Æ ƾÂÔ ½>ν7¾ É4½>ÆzÓ½>În¿vÐfÆ1Æz½ÍÅ ½S¾Â½7¾ É4½>ÆzÓ½>ÎFÁ Ð ¿vÐfÆ1ÉÊz¾¿vÁ ÐL¿Ð ½ §¾À½S½ ÎÇfÃÂÔ1¾ÂÔf¿m¾ Ú ÔÇfÎÍ× ½4ÉÊz¾¿vÁ ÐW¿LÃSÉоÂÀ¿ÆzÁÄþÂÁ ÉÐ )Á ¾ÂÔN¾ÂÔ ½Æz½ Ð Á ¾ÂÁ ÉÐWÉ à ¿ ß Å ÉzÃÍ¿vÅ@ÉÈz¾ÂÁ ÌÇ ÌWÚ IÉf×zÇfÎÁ Ð ÓÁ Ð ½>ÜÇf¿vÅ Á ¾ÂÁ ½>Î zÚ × zÚ ¿vÐfÆ zÚ × ½4ÉÊz¾¿vÁ ÐÑ zÚ 6½NÎÔ É ÙÁ Ðt¾ÂÔ ½ à ÉÅ Å É )Á Ð Ó3¾ÂÔf¿m¾¾ÂÔ ÁÄÎÀ¿m¾ÂÁ É3ÁÄξÂÁ ÓÔ¾>Ú ½S¾ Ê@½¿vЧÁ ÐfÎ ¾¿vÐfÃS½ )Á ¾ÂÔÑ )Ô ½ÍÀ½ ¿vÐfÆ Ú Ô ½ÎÉÅ Çz¾ÂÁ ÉÐfÎ ¿vÐ Æ ¿vÀ½&Æz½>ÎÂÃSÀÂÁ Ê@½>Æ6Á ÐBå{Á ÓfÚ Ú ÉÀ½ÍÉ_ϽÍÀ>× ½ÃSÉÐfÎÁÄÆz½ÍÀ ¾ÂÔ ½3ÅÄ¿vÊ@½ÍÅ ½>Æ à Ç ÐfþÂÁ ÉÐ Æz½ Ð ½>ÆÊ @Ñ × × ÉÀ × ¿vÐfÆ Ú Ô ½LÎÉÅ Çz¾ÂÁ ÉÐfÎ ¿vÐfÆ Î¿m¾ÂÁÄÎ à ¿vÐfÆ à Ú ¬. . /w. ~. ©. G = (V,E) G[E 0 ]. L : E −→ {1, . . . ,q}. {. w. A ⊆ LE 0 |A| ≤ 2 G[(LE 0 ∪ B) \ A] G[E 0 ] := G[(LE 0 ∪ B) \ A]. >w. 7{. v. {. G[E 0 ]. °¯W±³². ®. @´. G[E 0 ] V w B ⊆ {1, . . . ,q} \ LE 0 V. w. S´3Zµ. O(n5 ). w. |B| ≤ 1. w. n = |V |. Jw. O(n). 2 − 0P T ¶. 4: ·´¸ Q. ¹ ; 4º 4. r+1 7 2. 47 4¼4½ ·´ 8 . M inLSTr ». ». ¾. . I = (G,L) M inLSTr ~ ∗ G[E ] I { 2 − 0P T {i1 , . . . ,ik } w z ij LE 0 (ej ) = ij |L−1 E 0 (ij )| = 1 . w ∗ T T G[E 0 ] 3w 1 LT = LE 0 LT \ {i1 , . . . ,ik } @w. {. |LT | ≤ k +. w. {. w. {. G[E ∗ ] T∗. &w. zª. n−1+k n−1−k = 2 2. {. T∗. T∗. zª ª. zª . |LT ∗ | ≥ k.
(85) {. e1 , . . . ,ek. . w. . Ti. e1 , . . . ,ek. Qw. zª. |. zª ª. |. T1 , . . . ,Tk+1. |<k. w. 3w. . |L. T∗. Àzª . x. |. |.
(86) w. n−1. n−1 r. {. E0. ej. j = 1, . . . ,k | { 1 G[E ∗ ] G[E 0 ] 4w w w }8w LT ∗ = L E ∗ T 2 T n−1 { T. |LT ∗ | ≥. n. {. G[E 0 ]. r. ¿. 8w. G = (V,E) { G[E 0 ]. w. k+1 G[E ∗ ] T0. . |. T. w. Tj. |. w. T |LT 0 | < |LT |. 2. w. zª Á n−1 k r 1 r+1 | + ≤ |LT ∗ | + |LT ∗ | = |LT ∗ | 2 2 2 2 2 ~ 4w @w 8w I = (G,L) G = T ∪ T∗ w T = {(xi ,xi+1 ),(yi ,yi+1 ) : 0 ≤ i ≤ r − 2} ∪ {(x0 ,v0 ),(y0 ,v0 )} T ∗ = {(v0 ,xi ),(v0 ,yi ) : 1 ≤ i ≤ Ww ¿ ∗ r − 1} ∪ {(x0 ,xr−1 ),(y0 ,yr−1 )} T T
(87) { x L(xi ,xi+1 ) = L(yi ,yi+1 ) = i + 1 L(v0 ,xi+1 ) = r + 2 = L(x0 ,xr−1 ) L(v0 ,yi+1 ) = r + 3 = L(y0 ,yr−1 ) 0 ≤ i ≤ r − 2 L(x0 ,v0 ) = r L(y0 ,v0 ) = r + 1 T { T∗ |LT | = r + 1 |LT ∗ | = 2 . |LT | ≤. ª.
(88) r+3 y1. y0. r+3. r+3. y2. y r-1. y r-2. r+3. v0. T*. r+2. r+2. r+2. x0. x2. x1. x r-1. x r-2. r+2. 1. y r-1. y r-2. y2. y1. y0. r-1. 2. r+1 v0 r x0. T 1. r-1. 2 x1. x2. x r-1. x r-2. ìÍêmï zë ]ê ì 6½½SÐfÆL¾ÂÔ ÁÄÎZν>þÂÁ ÉÐÊ LÈ ÀÂÉ_ÏIÁ Ð Ó4¾ÂÔf¿m¾ ÁÄÎnÐ Év¾ÌLÉÀ½8ÆzÁ è&ÃSÇ Å ¾Z¾ÂÉ¿vÈ È ÀÂÉ>ÕzÁ Ì¿m¾Â½7¾ÂÔf¿vÐ Ú ÐfÆz½Í½ÍÆQ× Z½4ÎÔ É ¾ÂÔf¿m¾ ¿vÐfÆ ¿vÀ½½>ÜÇ Á Ïm¿vÅ ½Íо à ÀÂÉÌ ¿vÈ È ÀÂÉ>ÕzÁ Ì¿m¾ÂÁÄÉÐÈ;ÉÁ о7É à ÏIÁ ½ /Ú Û Év¾Â½ ¾ÂÔf¿m¾7¾ÂÔ ÁÄÎ)À½>ÎÇ Å ¾ÆIÉz½>Î7Ð Év¾)Ô ÉÅÄÆ à ÉÀ ¿vÐfÆ Ú µ{®I£fm®I¦ mï fë ã m£Q£ º IÁ ÐfÃS½ ÁÄÎL¿
(89) Ó½ÍÐ ½ÍÀ¿vÅ Á >¿m¾ÂÁ ÉÐçÉ à ×{¾ÂÔ ÁÄÎ1È ÀÂÉÊ Å ½ÍÌ ÁÄÎ1¿m¾LÅ ½>¿Î ¾L¿Î1ÆzÁ è&ÃSÇ Å ¾1¾ÂÉç¿vÈ ß È ÀÂÉ>ÕzÁ Ì¿m¾Â½N¿Î Ú ½S¾LÇfÎÈ ÀÂÉmϽ¾ÂÔf¿m¾LÁ ¾LÁÄÎÐ Év¾1ÌLÉÀ½NÆzÁ è&ÃSÇ Å ¾>Ú ½S¾ Ê;½W¿vЧÁ ÐfÎ ¾¿vÐfÃS½É à )Ô ½ÍÀ½ ÁÄο&ÎÁ ÌLÈ Å ½ÃSÉÐ Ð ½>þ½>ÆWÓÀ¿vÈ ÔWÉРϽÍÀ¾ÂÁÄÃS½>Î8¿vÐfÆ ½>ÆzÓ½>οvÐfÆ ò /Ú ÅbÚ ÉfÚ ÓfÚ × Z½¿ÎÂÎÇ ÌL½¾ÂÔf¿m¾>× ¿vÐfÆ
(90) ¾ÂÔ ½ÍÀ½1½SÕzÁÄÎ ¾Î/¿vÐ ½>ÆzÓ½ ÎÇfÃÂÔ ¾ÂÔf¿m¾ ÚQåfÉÀ ¿vÐ × ½3ÃSÉÐfÎ ¾ÂÀÂÇfþ¿vÐ~Á ÐfÎ ¾¿vÐfÃS½ É ¿Î ÉÅ Å É 8ÎÍÑF¾ÂÔ ½
(91) ÓÀ¿vÈ Ô ÁÄÎ Ú ¾¿vÀ¾ÂÁ Ð Ó )Á ¾ÂÔ × à Z½LÀ½ÍÈ ÅÄ¿ÃS½1¿vÐ 3à ½>ÆzÓ½ Ê 3¾ÂÔ ½LÓ¿ÆIÓ½S¾ ÃSÉÌLÌLÉÐ à ÉÀ/Á ÐfÎ ¾¿vÐfÃS½ÍÎ ÑF¿ÎÂÎÇ ÌL½&¾ÂÔf¿m¾ × ½N¿Æ Æ Ïv½ÍÀ¾ÂÁÄÃS½>Î ¿vÐfÆt¾ÂÔ ½½>ÆzÓ½NνS¾LÁÄÎ Ú;å{Á Ðf¿vÅ Å × à ÉÀ¿vÐ × ¿vÐfÆ Ú Ô ½8Ó¿ÆzÓ½S¾ ÁÄÎ Æz½>ÎÂÃSÀÂÁ Ê@½>ÆÁ Ð&å{Á ÓfÚ zÚ Û É /×Å ½S¾ Ê;½¿vÐLÉÈz¾ÂÁ Ì¿vÅfÎÉÅ Çz¾ÂÁ ÉÐLÉ à ÉÐ ¿vÐfÆL¿ÎÂÎÇ ÌL½7¾ÂÔf¿m¾ Úz¼ZÉÐfÎÁÄÆz½ÍÀn¾ÂÔ ½8Á ÐfÎ ¾¿vÐfÃS½ ¿vÐfÆLÃSÉÐfÎ ¾ÂÀÂÇfþZ¿ÃSÉÐ Ð ½>þ½ÍÆÎÇ Ê ÓÀ¿vÈ Ô ¿Î à ÉÅ ß Å É 8ÎÍÑÁ ÐL¾ÂÔ ½ ÀÎ ¾Î ¾Â½ÍÈ× à ÉÀ¿vÐ ½>ÆzÓ½ )Á ¾ÂÔ × Z½¿Æ Æ ¾ÂÔ ½½>ÆzÓ½>Î/ÃSÉÅ ÉÀ½>Æ
(92) Ê 6ÃSÉÅ ÉÀ Ú Ô ½ÍÐ× à ÉÀ )Á ¾ÂÔ × Z½&¿Æ Æ
(93) ¾ÂÔ ½½>ÆzÓ½ Áà . Â5Ã·Ä Å .Æ. ~. S´3. ³ 4.
(94) {. T∗. w. v. 4w. °¯W±¯. ®. ¾. . 4S. M inListLST M inListLST M inLST M inLST Pr M inListLSTr. M inLST. 4S. M inListLST. 4HǼ4 . . T». M inLST w. ». M inListLST M inLST È M inLST I = (G,List) w M inListLST G = (V,E) n m |ListE | = q w Sw ∀e ∈ E, |List(e)| ≤ m e |List(e)| ≥ 2
(95) { 9w @w i ≤ q Ii = (G0 ,Li ) M inLST G0 = (V 0 ,E 0 ) 1 Qw Ww { { 0 Ii = (G ,Li ) G e = (v,w) ∈ E w Fe List(e) = {i1 , . . . ,ip } p−1 Ae = {ae,2 , . . . ,ae,p } { { {(v,ae,j ),(ae,j ,w) : j = 2,...,p} ∪ {(v,w)} j = 2, . . . ,p, Li (v,ae,j ) = i Li (ae,j ,w) = ij ª @w Li (v,w) = i1 Fe G[E ∗ ] M inListLST I i ∈ LE ∗ Ii G0 [Ei∗ ] @w { w
(96) w e = (v,w) ∈ E |List(e)| ≥ 2 Ee = {(v,ae,j ) : j = 2, . . . ,p} x z
(97) { w w ∗ i| e∈E ij = L(e) ∈ List(e) (ae,ij ,w). .
(98) w. i1. i2. ip-1. ae,2 i1. Â5Ã·Ä Å ª Æ. ½ÍÅÄν ½¿Æ Æ&¾ÂÔ ½/½>ÆzÓ½ [w. ae,p-1 i. i. Fe. ae,p. i. v. Së ê ë. S´3[
(99)
(100) . ip. º 4 ·´3H
(101) . e = (v,w). fìë @î. 4S8U. 4 . Ú 6½/ÉÊz¾¿vÁ Ð3¿LÃSÉÐ Ð ½>þ½>ÆNÎÇ Ê ÓÀ¿vÈ Ô ~. Ii = (G0 ,Li ) ». É à vÏ ½ÍÀÂÁ à IÁÄÐzÓfÑ {. zÚ ½>ÃSÁ È ÀÂÉzÃÍ¿vÅ Å × Å ½S¾ Ê;½¿ÃSÉÐ Ð ½>þ½>Æ3ÎÇzÊ ÓÀ¿vÈ ÔWÉ à ÚQóÊfνÍÀÂÏv½4¾ÂÔf¿m¾ Ð ½>ý>ÎÂοvÀÂÁ Å ÃSÉо¿vÁ ÐfÎ8ÃSÉÅ ÉÀ ÎÁ ÐfÃS½ ½LÔf¿_Ͻ¿ÎÂÎÇ ÌL½>Æ3¾Ô ¿m¾/¾ÂÔ ½ÍÀ½½SÕzÁÄÎ ¾Î/¿vÐ6½>ÆzÓ½ ÎÇfÃÔ ¾ÂÔf¿m¾ Ú 6½&ÃSÉÐfÎ ¾ÂÀÂÇfþ¿3ÃSÉÐ Ð ½>þ½>Æ ÎÇ Ê ÓÀ¿vÈ Ô ÉРοm¾ÂÁÄÎ à IÁ Ð Ó ¿vÐfÆ ÉÀ8ÎÉÌL½ à Ú ÉÀ½ÍÉ_ϽÍÀ>×vÁ à ¿vÐfÆ ¿vÀ½)Á Ð × Z½8¾¿ ½ à ÉÀ ¾ÂÔ ½½>ÆzÓ½ ¾ÂÔ ½ÃSÉÅ ÉÀ ¿vÐfÆ3¾ÂÔ ½&ÃSÉÅ ÉÀ Éà À¾ÂÔ ½L½>ÆzÓ½ Ú 6½LÉÊz¾¿vÁ Ð
(102) ¾ÂÔ ½ Á Ð ½>ÜÇf¿vÅ Á ¾ @Ñ zÚ U¿Î ¾ÂÅ × ½¾¿ v½ ¿vÐfÆW¾ÂÔ ½½SÕzÈ;½>þ½>ÆWÀ½>ÎÇ Å ¾ à ÉÅ Å É 8Î à ÀÂÉÌ ½>ÜÇf¿vÅ Á ¾ zÚ ¿vÐfÆÁ Ð ½>ÜÇf¿vÅ Á ¾ zÚ Ú Ð à ÉÀ¾ÂÇ Ðf¿m¾Â½ÍÅ ×¾ÂÔ ½¾ÂÔ ½ÍÉÀ½ÍÌ zÚ 4Ô ÉÅÄÆ ÎZÉÐ Å à ÉÀÃSÉÐfÎ ¾¿vо¿vÈ È ÀÂÉ_ÕzÁ Ì¿m¾ÂÁ ÉÐÚ ÔÇfÎÍ×I¿È;½ÍÀ à ÉÀÂÌ¿vÐfÃS½8À¿m¾ÂÁ É àÆzÉÉIÀ ½>Î Ð Év¾ZÓÁ Ͻ¿/)È;Ô ½Í½ÍÀÀ½ ÉÀÂÌÁÄ¿vÎÐf¿3ÃS½8ÈfÀ¿v¿mÀ¾Â¿vÁ ÌLÉ ½S¾Â½ÍÀÉ Éà À ¾ÂÔ ½&Á ÐfÎ ¾¿vÐfÃS½ ©Å Á v¾Â½Ô ½ÌÀ¿m½>ÕzÆzÁÇfÌþÂÇ Á Ì ÉÐÆzÊ@½Í½SÓ¾ À½ͽͽ½ÍÐ&ÉÀÌLÐIÁ Ç Ð ÌÁ ÌÊ@Ç ½ÍÌ ÀÉ Æzà ɾÂÌLÔ Á½&Ðf¿mϾ½ÍÁ ÀÐ ¾ÂÓÁÄÃS½>νSÎ ¾ È ÀÂÉÊ Å ½ÍÌ ¿vÐfÆ ÌLÁ Ð Á Ìà Ç Ì Î½S¾ÃSÉmϽSÀ4È ÀÂÉÊ Å à ½ÍÌ Ôf¿Î¾ÂÔ ½Î¿vÌL½LÈ ÀÂÉÈ;½ÍÀ¾ à ÉÀ Ú Û ½ÍϽÍÀ¾ÂÔ ½ÍÅ ½>ÎÂÎÍ×@Ê
(103) ÇfÎÁ Ð Ó ¾ÂÔ ½/À½>ÎÇzÅ ¾)É à ç¿vÐ Së mï Ú h× ½/ÃÍ¿vÐWÆz½ÍÀÂÁ Ͻ¾ÂÔ ½ à ÉÅ Å É )Á Ð ÓLÃSÉÀÂÉÅ Å ¿mÀ @Ñ £fm£;]]¡z_÷ Äì í ê Sï. j≥2. e = (v,w). G0 [Ei∗ ]. Ii. zª . |LEi∗ | = |LE ∗ |. {. É. G0 [Ei0 ]. Zw. i. G[Ei ] I ¿ 0 (v,w) : (v,w) ∈ Ei } L(e) = Li (ae,ij ,w) = ij. e Ei = {e : (v,ae,ij ) ∈ Ei0
(104) w (v,ae,ij ) (ae,ij ,w) Ei0 L(e) = Li (v,w) = i1. {. {. . { Aw. w. M inLST. Î. ϯW±UÐ. zª Ê. @w. |. {Ëzª . |. |. . ª ª. {. . Iz. z. ρ(z). ~. j ≥ 2} ∪ {e = e = (v,w) W~ e = (v,w) ∈ Ei0. G[E 0 ] = min{|LEi | : i = 1, . . . ,q}. {. Í. -}. |LEi | ≤ |LEi0 |. -}. {Ìzª Ê. U{. G0 [Ei0 ] ~ |List(e)| ≥ 2 (ae,ij ,w) ∈ Ei0. Ii. |. 5 1 3w. M inListLST maxe∈E |List(e)| ». M inListLST. . 4w. Hn+m(`max −1)−1. z. w. {. {. 7 ¹ ; ÀÑ´3. Á. ρ(z). }. {. z = ∆(G) |. n = |V |, m = |E|. |. 4S. `max =.
(105) Ò. mSnQ£ Q Qpq+¡8u¢¤£[ouqBn¥p¦+§1sQ¨o§. Ð
(106) ¾ÂÔ ÁÄÎ4ν>þÂÁ ÉÐ× ½1È ÀÂÉ_Ͻ¾ÂÔf¿m¾ Ôf¿ÎÐ ÉW¿vÈ È ÀÂÉ_ÕzÁ Ì¿m¾ÂÁ ÉÐ
(107) ÎÂÃÂÔ ½ÍÌL½ ©ÁbÚ ½Ú × ÉÀ Ç Ð Å ½>ÎÂÎã 3ãLÚIåfÉÀ ¾ÂÔ ÁÄÎÍ× Z½Çfν8¾ÂÔ ½ é ¾ÂÔf¿m¾à ÁÄÎ ¿vÐ ë ê È ÀÂÉÊ Å ½ÍÌ ©Á ÐÎÔ ÉÀ¾ Æz½ Ðz½>Æ¿Î à ÉÅ Å É 8ÎÍÑÓÁ ϽÍпÃSÉÐ Ð ½>þ½>ÆÓÀ¿vÈ Ô × ½ ¿vоZ¾ÂÉ ÐfƿϽÍÀ¾Â½SÕ&ÎÇzÊfνS¾ )Á ¾ÂÔÌLÁ Ð Á ÌÇ Ì ÎÁ ͽÎÇfÃÔW¾ÂÔf¿m¾ ÉÀ Ú à ÉÀ ÁÄÎ7¾Ôz½À½>Î ¾Â]ÀÂÎÁÄÁ ÃÐf¾ÂÃSÁ ½LÉÐW¾ÂÔ É ½&à ÃͿν>Î )Ô ¿v½ÍÐfÀÂÆ ½ ¿vÐfÆ ¾ÂÔ ½ÓÀ¿vÈ Ô ¿vÅÄÎÉWÏv½ÍÀÂÁ ½>Î ¿vÀ½È@ÉÅ IÐ ÉÌLÁÄ¿vÅ Ú ã m£f¢ £;³>¥©ª>¥]£;± ê Äì ê ë ë ì ë ¾ÂÉ ã m£Q£ º 6½ÃSÉÐfÎ ¾ÂÀÂÇfþ{¿vÐ ß À½>ÆzÇfþÂÁ ÉÐ ]νͽZôF¿vÈf¿ÆzÁ ÌLÁ ¾ÂÀÂÁ ÉÇ¿vÐfÆ Z¿vÐ Ðf¿ v¿ IÁÄÎ Qà ÀÂÉÌ ¿vÐfÆNÎÁ ÐfÃS½ ÁÄÎ ø ¡z¤{ 3ã ·¯£;¦t¢n]®ª>® h× ½ )Á Å ÅQÉÊz¾¿vÁÄоÂÔ ½/½SÕzÈ;½>þ½>ÆÀ½>ÎÇ Å ¾>Ú ½S¾ )Ô ½ÍÀ½ ¿vÐfÆ Ê@½¿vÐWÁ ÐfÎ ¾¿vÐfÃS½/É Ú 6½È;ÉÅ IÐ É ÌLÁÄ¿vÅ Å ¾ÂÀ¿vÐfÎ à ÉÀÂÌ Á оÂÉ ×>Á ÐfÎ ¾¿vÐfÃS½ É à Á Ð/¾ÂÔ ½ à ÉÅ Å É )Á Ð Ó 7¿ @Ñ ÃSÉà о¿vÁ ÐfÎQ¾ÂÔ ½ )Ô ÉÅ ½ ϽSÀ¾½Õ ß Î½S¾)É ¿vÐfÆN½>¿ÃÂÔW½>ÆzÓ½ ÁÄÎ)À½ÍÈ ÅÄ¿ÃS½>ÆÊ &¾ÂÔ ½ à ÉÅ Å É )Á Ð ÓLÁ ÐfÎ ¾¿vÐfÃS½ )Ô ½ÍÀ½ )Á ¾ÂÔ à × × ¿vÐfÆ à ÉÀ × × × ¿vÐfÆ Ú Ô ½/Ó¿ÆzÓ½S¾ ÁÄÎ8Æz½>ÎÂÃSÀÂÁ Ê;½>ÆÁ Ð3å{Á ÓfÚ &w. v. >z. M inLSTr. |LE 0 | ≤ (1 + )|LE ∗ | > 0| = M inV C | 4w
(108) w .w w x x G = (V,E) V0 w ∀e = (v,w) ∈ E, v ∈ V 0 w ∈ V 0 M inV Cr r≥3 M inV C z x G dG (v) ≤ r, ∀v ∈ V ∆(G) = maxv∈V dG (v) ≥ 3 V C1 { V C2 | .
(109) {.
(110) w. Öб³²0× 4J4AØ. -. ½. r ≥ 3 M inLSTr. Õz. AH¸Ó& ¹QÔ 4¼4. [Ù6ÚÛ>Ü:Ý@ÞAßQàÈá·â
(111) ãâ¼4;º 4H 4 [- ´ JÑÈ ´;¹ H. r». ¾. ~. 8z. L. .ä. . -} -} È Ê@. Ê4 w w. |. M inV Cr. M inLST Pr. M inV Cr w A~ { G = (V,E) V = {v1 , . . . ,vn } E = {e1 , . . . ,em } M inV Cr { 4w +w @{ w G I = (H,L) M inLSTr H
Documents relatifs
