On the approximability of Minimum labeled spanning trees when each color appears at most r -times
10
0
0
Texte intégral
(2)
(3)
(4) !#"
(5) $&%(') * + )&',-&& ./0.1
(6) 2
(7) $& 34'- 3-56'7 r 85&' 9;:<>=@?BA6C*D@EFEFD;GIH JLKNMNOQPSR)T C OUTWVWX HZYWC M 7024 H Y&EF[]\QA<>^>[]G_:
(8) `4a;<>[b^ PSV a;cFdFeF[bEFAfH `/gha;iA
(9) jFckCla;<>:imena;g V A R afG>G_<>A3jFA
(10) oa;^>^>[bp@EQq@HZr@s@r@r@st`a;<>[b^ J AjFAvuxwzy{H |n<_a;EFiA;HnA;}&?~a;[bg f{{QfZQ@{{fUIn. .
(11) UU ¡z¢{¢{m£I¤¥]¦§¡z¨F¥]©¥©ª>«W¬{¢{m£f¨F]I¦t®W¬{®
(12) ¡z_¨{m®3¯£;U°Qm¡ ±Qª&¦§¥]±{¥©¦ {¦²¬{¡ ±{³{±´fm¡I¢nµ{® ¡zm¶ª>®·¯£;]£fm¥]«I®3¬{£;±QªL¯mµ{¡ ¸Q{®
(13) ¯£;{]®IU¡z¢{¢F¡zm¡I¹bª&¡ ¢F]{³ º £;¥]³ » «I³>{¦§« ÎÁ ÌLÈ Å ½NÃSÉÐ Ð ½SÕz½NÆzÉоLÅ ½>Î ¼Z½S¾¿vÀ¾ÂÁÄÃSÅ ½&¾ÂÀ¿vÁ ¾Â½NÆzÇBÈ ÀÂÉÊ Å ËÍÌL½NÎÇ Á Ïm¿vо>Ñ{ÒS¾¿vоÆIÉÐ Ð ÒNÇ ÐBÓÀ¿vÈ Ô ½ ¿vÀÂÖS¾Â½>ÎnÎÉоZÃSÉÅ ÉÀÂÁ Òͽ>ÎÍ×mÉÐÃÔ ½ÍÀÃÂÔ ½8ØÃÉÐfÎ ¾ÂÀÂÇ Á À½)Ç Ð&¿vÀÂÊ À½)ÃSÉÇ ÏIÀ¿vо Çz¾ÂÁ Å ÁÄοvо Ç ÐÐ ÉÌÊ À½)ÌLÁ Ð Á ÌÇ ÌÙÆz½ÃSÉÇ Å ½ÍÇ ÀÎÍÚ Å ÉÀÎÂÜÇ ½ Û ÉÇfÎnÈ ÀÂÉÇ ÏÉÐfÎnÜIÇQÝ ÇzпvÅ ÓÉÀÂÁ ¾ÂÔ ÌL½8ÆI½À½>ÃÂÔ ½ÍÀÃÔ ½)Å ÉzÃÍ¿vÅ ½)Ó¿vÀ¿vоÂÁ ¾ Å ½8À¿vÈ È;ÉÀ¾ZÆQÝ ¿vÈ È ÀÂÉ>ÕzÁ Ì¿m¾ÂÁ ÉÐ ÃÂÔf¿ÜÇ ½1ÃSÉÇ Å ½ÍÇ À¿vÈ Èf¿vÀ¿mÞ ¾¿vÇ
(14) È Å ÇfÎ ßbà ÉÁÄÎÍÚ;á½1È Å ÇfÎÍ×;Ð ÉÇfÎ8ÌLÉоÂÀÂÉÐfÎÜÇ ½1ÃS½S¾¾Â½À½>Î ¾ÂÀÂÁÄþÂÁ ÉÐ3½>Î ¾4âã/ä ·¯£;¦t¢F]®ª Å ÉÀÎÂÜÇ ½ ÚUå{Á Ðf¿vÅ ½ÍÌL½Íо>×Ð ÉÇfÎ/È ÀÂÉÇ ÏvÉÐfÎ/ÜÇ ½LÅÄ¿NÓÒÍÐ ÒÍÀ¿vÅ ÁÄοm¾ÂÁ ÉÐ ÉæçÃÔf¿ÜÇ ½¿vÀÂÖS¾Â½¿NÇ Ð ½Å ÁÄÎ ¾Â½&Æz½&ÃSÉÇ Å ½ÍÇ ÀÎ ¿ÆzÌLÁÄÎÂÎÁ Ê Å ½>Î{ÐÝ ½>Î ¾ Èf¿ÎFÇ ÐLÈ ÀÂÉÊ Å ËÍÌL½7È Å ÇfÎ ÆzÁ è&ÃSÁ Å ½8Ø4¿vÈ È ÀÂÉ>ÕzÁ ÌL½ÍÀnÜÇ ½8ÃS½ÍÅ Ç ÁzÉæÃÂÔf¿ÜÇ ½)¿vÀÂÖS¾Â½)¿Ç Ð ½8νÍÇ Å ½8ÃSÉÇ Å ½ÍÇzÀ>Ú é êmë]ìíîSï ðì Ñfñ8ÀÂÊ À½/ÃSÉÇ ÏIÀ¿vоUòzñ8È È ÀÂÉ_ÕzÁ Ì¿m¾ÂÁ ÉÐ/òfóÈI¾Á ÌLÁÄοm¾ÂÁ ÉÐNÅ ÉzÃÍ¿vÅ ½ òzñ8ô õ ß ÃSÉÌLÈ Å ÒS¾ÂÇfÆz½Ú r. G = (V,E). (r + 1)/2. r. r ≥3. ö±~ª>µ{®
(15) ¡z¢{¢{m£I¤¥]¦§¡z¨F¥]]¥©ª÷B£ º)ø ¥]±{¥]¦6{¦ù]¡z¨Z®I]®I¬³Í¢F¡ ±{±{¥]±{´6ªÍm®I®I³1úµ{®I±®I¡ ¯_µ ¯£;]£f&¡z¢{¢Z®I¡zm³¡zª ¦§£;³Íª ªÍ¥]¦§®I³ ûü@ýþÿ >þ r. .
(16)
(17)
(18) !
(19) " #$%&
(20) ' (
(21)
(22) )*
(23)
(24)
(25) )+ ,-(
(26)
(27) )./#
(28) #.( #0-(
(29) #.!1%. 23 45 " + 6 #
(30) " *)7
(31) 89
(32) /
(33) *: ) + ." !" : ;9 8 " <3=>* ?@/ 9
(34) 8:7. û. vþ. " *
(35) : /+# ' # ,AB" 4:"1 : >" )
(36) #DC " +
(37) - :F #B @3<&GH ? :, r (r + 1)/2E
(38) :I
(39) 1 ' J JK+LM N3OQPSR T T %U <-VW
(40) " " C@,4
(41) :I
(42) )
(43) 7" X: H% r≥3
(44) 9 !
(45) " #Y9
(46) +:7 Z: ) /:Z!5 " : H9 ;[ " 5#
(47) )[[" ' %1" " :: Z " 9:\4(
(48) ? " 4
(49) :F #B < ].^7_`ab cd eAf-
(50)
(51)
(52) )* gh
(53) :F #B Ag iA4:"& # X: AghjWk. Á. E. #B "
(54) <.
(55) l. mSnJo1pq;rQsQt9ouqBn. оÂÔ ÁÄÎFÈf¿vÈ;½ÍÀ ½7ÃSÉÐfÎÁÄÆz½ÍÀU¾ÂÔ ½È ÀÂÉÊ Å ½ÍÌkÉ ÐfÆzÁ Ð Ó4¿ÎÈf¿vÐ Ð Á Ð Ó8¾ÂÀ½ͽ )Á ¾ÂÔÌLÁ Ð Á ÌÇ Ì ÐIÇ ÌÊ@½ÍÀFÉ ÃSÉÅ ÉÀÎÍÚ Á ϽÍÐ ¿LÎÁ ÌLÈ Å ½ÃSÉÐ Ð ½>þ½>ÆÓÀ¿vÈ ÔNÉÐ Ïv½ÍÀ¾ÂÁÄÃS½>Î)¿vÐfàÆWÃSÉÅ ÉÀÎÉÐN½>ÆzÓ½>Î ]Æz½ÍÐ Év¾Â½/Ê ¾ÂÔ ½ÃSÉÅ ÉÀ7É à ½>Æzà Ó½ × ½4Å ÉzÉ à ÉÀ7¿1ÎÈf¿vÐ Ð Á РӾ©ÀÂÁ Ð ½Í½ÎÇfÔ ÎÉÁ ÀÐ ¾ ÓL¿ÌLÁ Ð Á ÌÇ Ì Ú ÐfÐÆzÇ ½Í̽>Ê;Æ@½Í×;À7¾ÂÔ É ÁÄà ÎÃÈ ÉÀÂÅÄÉÉÀÊ ÎÍÅ ½ÍÚ Ì6½4ÁÄÎÀ½ÃSàÅ ½Í½>ÀZ¿vÀ¾ÂŠɾ½>Ô ÜÁÄÇ ÎÁ È Ïv¿vÀÂÉÅ ½ÍÊ ÐÅ ¾½ÍÌ ¾ÂÉ¿¾ÂÎZÔ ¾Â½1Ô Èz½ ÀÂé ÉÊ Å ½ÍÌ Î½ÍÅ ½>þÂÁ Ð SÓï ¿ ÎÇ ÊfνS¾4É à ÃSÉÅ ÉÀÎ8É à ÌLÁ Ð Á ÌÇ Ì ÎÁ ͽ1ÎÇfÃÔ
(56) ¾ÂÔf¿m¾4¾ÂÔ ½LÎÇ Ê ÓÀ¿vÈ Ô
(57) Á ÐfÆzÇfÃS½>Æ
(58) Ê W¾ÂÔ ½>νLÃSÉÅ ÉÀÎÁÄÎ4ÃÉÐ Ð ½>þ½>Æ ¿vÐfÆ ÎÈf¿vÐ ¾ÂÔ ½/Ïv½ÍÀ¾Â½SÕNνS¾>Ú ÐN¾ÂÔ ½ à ÉÅ Å É )Á Ð Ó ½¾¿ ½¾ÂÔ ÁÄÎ8Æz½>ÎÂÃSÀÂÁ Èz¾ÂÁ ÉÐÚ 6½¿vÅÄÎÉÃSÉÐfÎÁÄÆz½ÍÀ)¿LÐf¿m¾ÂÇ À¿vÅ@Ó½ÍÐ ½ÍÀ¿vÅ Á >¿m¾ÂÁ ÉÐÉ à ¾ÂÔ ÁÄÎ È ÀÂÉÊ Å ½ÍÌ )Ô ½ÍÀ½ ½1ÃÍ¿vÐ ÃÂÔ ÉzÉν¿ÃSÉÅ ÉÀ à ÉÀ4¿vÐ
(59) ½>ÆzÓ½ ¿vÌLÉÐ Ó¿&Å ÁÄÎ ¾É à È;ÉÎÂÎÁ Ê Å ½1ÃSÉÅ ÉÀÎ ©ÁbÚ ½Ú × Ú Ú ¾ZÁÄÎ ½>¿Î Ô ÁÄÎ Ó½ÍÐ ½ÍÀ¿vÅ Á >¿m¾ÂÁ ÉÐ )Á Å Å;Ê;½ÃÍ¿vÅ Å ½>Æ é ]Á Ð&ÎÔ ÉÀ¾ Äìë Sï ÁÄÎÃSÅ ½>¿vÀÂÅ
(60) ½>ÜÇ Á Ïv¿vÅ ½Íо/¾ÂÉ ÉÐtÌÇ Å ¾ÂÁ ÓÀ¿vÈ ÔfÎÍÚ Ôf¿ÎÊ;½Í½ÍЧΠ¾ÂÇfÆzÁ ½>Æ ¾ÂÉ
(61) νͽ¾ÂÔf¿m¾ ÀÎ ¾ÂÅ LÊ N¼ZÔf¿vÐ Ó1¿vÐfÆ ½ÍÇ ¿vÐfƾÂÔ ½ÍÐÊ 4ÀÂÇ Ì ½¿vÐfÆ Á À¾ÂÔ h×z¿vÐfÆ&ϽÍÀ LÀ½>ÃS½ÍоÂÅ Ê t¿vÐ Së mï Ú hÚ Ô ½ ÀÎ ¾1¿vÇz¾ÂÔ ÉÀÎ )ÎÔ É Z½>Æ6¾ÂÔf¿m¾¾ÂÔ ÁÄÎÈ ÀÂÉÊ Å ½ÍÌ ÁÄÎ 3ã ·µ{¡zm¬ ¿vÐfÆçÁ ¾1Ôf¿Î¿vÈ È Å ÁÄÃÍ¿m¾ÂÁ ÉÐfÎ/Á ЧР½S¾ ÉÀ çÆz½>ÎÁ ÓÐÚ Ô ½ ν>ÃSÉÐfÆ
(62) ¿vÇz¾ÂÔ ÉÀÎ Ó¿>Ͻ1¿ ¿vÈ È ÀÂÉ>ÕzÁ Ì¿m¾ÂÁ ÉÐ ¿vÐfÆ
(63) È ÀÂÉmϽ>ÆW¾ÂÔf¿m¾ ÃÍ¿vÐ Ð Év¾4Ê;½¿vÈ È ÀÂÉ_ÕzÁ Ì¿m¾Â½>Æ h ß )Á ¾ÂÔ Á Ð ÉÀ4¿vÐ Ç Ð Å ½>ÎÂÎ Ú@å{Á Ðf¿vÅ Å ×f¾ÂÔ ½ÅÄ¿Î ¾¿vÇz¾ÂÔ ÉÀÎ nÎÔ É Z½>Æ ÁÄÎ à ß ¿vÈ È ÀÂÉ_ÕzÁ Ì¿vÊ Å ½ )Ô ½ÍÀ½ ÁÄÎ7¾ÂÔ ½ ß ¾ÂÔWÔf¿vÀÂÌLÉÐ ÁÄÃÐÇ ÌÊ;½ÍÀ>Ú ¾ÂÔf¿m¾ ÁÄΠоÂÔ ÁÄÎZÈf¿vÈ@½ÍÀ>× Z½ ÀÎ ¾È ÀÂÉ_Ͻ)¾ÂÔf¿m¾ ¿vÈ È ÀÂÉ_ÕzÁ Ì¿vÊ Å ½ )Ô ½ÍÐ&½>¿ÃÂÔÃSÉÅ ÉÀZ¿vÈ È;½>¿vÀÎZ¿m¾ZÌLÉÎ ¾ ß ¾ÂÁ ÌL½>Î)Ê ÇfÎÁ Ð Ó¿1Å ÉzÃÍ¿vÅν>¿vÀÃÂÔW¿vÅ ÓÉÀÂÁ ¾ÂÔ ÌWÚ Ô ½ÍÐ× Z½ÎÔ É ¾ÂÔf¿m¾)¾ÂÔ ÁÄÎ)À½>Î ¾ÂÀÂÁÄþÂÁ ÉÐÁÄÎ)âãä ·¯£;¦t¢F]®ª>® ½ÍϽÍÐNÁ ¾ÂÔ ß ½Ì¿mÕzÁ ÌÇ Ì Æz½ÍÓÀÂ½Í½É à ¾ÂÔ ½ÓÀ¿vÈ ÔWÁÄÎ)¾ÂÔ À½ͽ¿vÐfÆ3½>¿ÃÂÔ
(64) ÃSÉÅ ÉÀ¿vÈ È;½>¿vÀÎ8¿m¾ÌLÉÎ ¾¾ÂÔ À½ͽ/¾ÂÁ ÌL½>ÎÍÚ;å{Á Ðf¿vÅ Å × Z½1ÎÔ É à ¾ÂÔf¿m¾ ÁÄÎ)ÐzÉv¾8ÌLÉÀ½/ÆzÁ è&ÃSÇ Å ¾)¾ÂÉ&¿vÈ ÈzÀÂÉ_ÕzÁ Ì¿m¾Â½¾ÂÔf¿vÐ Ú w. v. w. 3x. n. 4AA z. {. @w. v. . ; @. {. 4. {8. w.
(65) {. . Bz. M inLST. Z}. 4w. ;~. I . L(e) ∈ List(e) | 7{ v M inListLST | M inLST. {. {
(66) {;~. H.
(67) {. 2lnn + 1 | ε>0. x. W . w. Iz. (1 − ε)lnn M inLST Hn−1. r. ~. e. H . v. AH . AHD 1 4AA z. 6. x. w. -}. M inListLST. { {. x. Zw. Hw. }. {. Jw. . 3w. {. v. M inLST |. e|. L(e). ~. . w. @y. z. }. M inLST. NP ⊆ DTIME(n Hn n M inLST (r + 1)/2. O(loglogn). *w. 3w. . {. ). . B . 4w. +w. @w. { Aw. M inListLST. . @w. M inLST. Q Qpq+¡8u¢¤£[ouqBn¥p¦+§1sQ¨o§. Ð ×{¿vÐtÁ ÐfÎ ¾¿vÐfÃS½&ÁÄÎÓÁ Ïv½ÍÐtÊ )Ô ½ÍÀ½ ÁÄο
(68) ÃSÉÐ Ð ½>þ½>ÆçÇ ÐfÆzÁ À½>þ½>ÆçÓÀ¿vÈ Ô )Á ¾ÂÔ ÉÇz¾4Å ÉIÉÈfοvÐfÆ
(69) ÌÇ Å ¾ÂÁ È Å ½L½>ÆzÓ½>οvÐfÆ ÁÄÎ4¿ à Ç ÐfþÂÁ ÉÐ à ÀÂÉÌ ¾ÂÉ )Ô ½ÍÀ½>¿Î8Á Ð ×Q¿vÐ Á Ð È Çz¾ÁÄÎZÓÁ ϽÍÐÊ )Ô ½ÍÀ½ ÁÄοÃSÉÐ Ð ½>þ½>ÆÓÀ¿vÈzÔ&¿vÐfÆ ÁÄοÌÇ Å ¾ÂÁ ßbà Ç ÐfþÂÁ ÉÐ à ÀÂÉÌ ¾ÂÉ Úmå ÉÀF¿vÐ /ÎÇ ÊfνS¾ É à ½>ÆzÓ½>ÎÍ× Z½7Æz½ÍÐ Év¾Â½ZÊ ÉÀ × ¿vÐfÆ3Ê ©À½>ÎÈÚ à ÉÀ ¾ÂÔ ½LÎÇ Ê ÓÀ¿vÈ Ô
(70) Á ÐfÆzÇfÃS½>Æ
(71) Ê Wà¾ÂÔ ½1½>ÆzÓ½1ÎÇ ÊfνS¾ ©À½>ÎÈÚ ×;Ê N¾ÂÔ ½ ½>ÆzÓ½7ÎÇ ÊfνS¾ Ú Ô ½7ÓÉ¿vÅÉ ¾ÂÔ ½>νZ¾ ÉÈ ÀÂÉÊ Å ½ÍÌÎFÃSÉÐfÎÁÄÎ ¾Î{Á Ð ÐfÆzÁ Ð Ó/¿ÃSÉÐ Ð ½>þ½>Æ ÎÇ Ê ÓÀ¿vÈ Ô É à ÎÈf¿vÐ Ð Á Ð Ó ÎÇfÃÔ¾ÂÔf¿m¾ ÁÄÎ)ÌLÁ àÐ Á ÌÇ ÌWÚ Ð1¾ÂÔ ÁÄÎ È ¿vÈ@½ÍÀ>× ½8ÃSÉÐfÎÁÄÆz½ÍÀ{¾Ôz½8À½>Î ¾ÂÀÂÁÄþÂÁ ÉÐ1É à ×Æz½ÍÐ Év¾Â½>Æ1Ê )Ô ½ÍÀ½ à ÉÀ ¿vÐ × Ú Ï½ÍÐ6¾ÂÔ ÁÄÎ/À½>Î ¾ÂÀÂÁÄþÂÁ ÉÐ ÁÄÎ 3ã ·µ{¡zm¬ à ÉÀ¿vÐ ¿vÐ Æ ¾ÂÔ ½È ÀÂÉIÉ à À½>ÎÇ Å ¾Î Àà ÂÉÌ ¾ÂÔ ½ñ8ô õ ß ÃSÉÌLÈ Å ½S¾Â½ÍÐ ½>ÎÂÎ7ÓÁ ϽÍÐNÁ ÐN¾ÂÔ ½/Ð ½SÕI¾Î½>þÂÁ ÉÐÚ 6½LÎ ¾ÂÇfÆ N¾ÂÔ ½L¿vÈ ÈzÀÂÉ_ÕzÁ Ì¿vÊ Á Å Á ¾ NÉ Ê
(72) ¿Å É ÃÍ¿vÅ{ν>¿vÀÃÔ
(73) ¿vÅ ÓÉÀÂÁ ¾ÂÔ ÌWÚ Ô ½Å ÉzÃÍ¿vÅ{ÉÈz¾ÂÁ ÌLÁ >¿m¾ÂÁ ÉÐ )Á ¾ÂÔ È;½ÍÀ à ÉÀÂÌ¿vÐfÃS½ZÀ¿m¾ÂÁ ÉÓÇf¿vÀ¿vо½ͽ>ÎUÔf¿Î{Ê;½Íà½ÍÐLÎ ¾ÂÇfÆzÁ ½>Æ à ÉÀFÁ ÐfÎ ¾¿vÐfÃS½Ê ñ8ÇfÎÁ ½ÍÅ Å É/¿vÐ Æô ÀÂÉv¾¿ÎÁ ÉÀnñ8À IÁ Ð1¿vÐfÆ ¿ÎÂÎÁ Ð hÚ ÐL¾ÂÔ ÁÄÎZÈ ¿vÈ@½ÍÀ>×m¾ÂÔ ½8Ð ½ÍÁ ÓÔIÊ;ÉÀÂÔ ÉzÉzÆ1ÃÍ¿vÐLÊ@½Æz½ Ð ½>ÆLÁ ÐL¾Â½ÍÀÂÌÎ É à ¾ÂÔ ½8ÐIÇ ÌÊ@½SÀZÉ à Çfν>ÆÃSÉÅ ÉÀÎÍÚ Ð¾ÂÔ ½ à ÉÅ Å É )Á Ð Óf× ¿ÃSÉÐ Ð ½>þ½>Æ ÎÇ Ê ÓÀ¿vÈ Ô ÁÄÎ4ÃÍ¿vÅ Å ½>Æ ¿ Å ÉzÃÍ¿vÅ{ÉÈz¾ÂÁ ÌÇ Ì Á ½LÃÍ¿vÐ Ð Év¾/ÆI½ÍÅ ½S¾Â½1¾ÂÔ ½L½ÍÆzÓ½>ÎÉ ÇfÎÁ Ð ÓW¿m¾ ÌLÉÎ ¾ ÃSÉÅ ÉÀÎ4¿vÐfÆç¿Æ Æ6ÎÉÌL½LÉv¾ÂÔ ½ÍÀ/½>ÆzÓ½>Î4ß ÇfÎÁ Ð Ó3Î ¾ÂÀÂÁÄþÂÅ
(74) ÅĽÍÎÂà Î4¾ÂÔf¿vÐ ÃSÉÅ ÉÀÎ4¿vÐfÆ ÉÊz¾¿vÁ Ðç¿vÐ àÉv¾ÂÔ ½ÍÀÃSÉÐ Ð ½>þ½>Æ ÎÇ Ê ÓÀ¿vÈ ÔQÚ ÔÇfÎ ÉÀÁ ÐfÎ ¾¿vÐfÃS½×@¿ Å É ÃÍ¿vÅUÉÈz¾ÂÁ ÌÇ Ì ÁÄοÃSÉÐ Ð ½>þ½>Æ
(75) ÎÇ Ê ÓÀ¿vÈ Ô ÇfÎÁ Ð ÓN¿&ÌLÁ Ð Á Ì¿vÅFÐIÇ ÌÊ@½ÍÀ É à ÃSÉÅ ÉÀ ©ÁbÚ ½Ú × à × ¾ÂÔ ½ÓÀ¿vÈ Ô ß ÁÄÎ8Ð Év¾ÃSÉÐ Ð ½>þ½>Æ Ú Û Év¾Â½/¾ÂÔf¿m¾8Á à ÁÄÎ8¿ ß Å ÉzÃÍ¿vÅÉÈz¾ÂÁ ÌÇ Ì ¾ÂÔ ½ÍÐ×f¿vÐ ÎÈf¿vÐ Ð Á Ð Ó1¾ÂÀ½ͽ É à οm¾ÂÁÄÎ ½>Î Ú ¾8ÁÄÎ7½>¿Î L¾ÂÉνͽ¾ÂÔf¿m¾¿ ß Å É ÃÍ¿vÅ@ÉÈz¾ÂÁ ÌÇ Ì ÁÄÎ)¿ ß ¿vÈ È ÀÂÉ>Õ Á Ì¿m¾ÂÁ ÉvÐÚ Ð¾ÂÔ ½ à ÉÅ Å É )Á Ð Óf× ½/ÎÔ É ¾ÂÔf¿m¾8¿ ß Å ÉzÃÍ¿vÅ ÉÈz¾ÂÁ ÌÇ Ì ÁÄο ¿vÈ È ÀÂÉ_ÕzÁ Ì¿m¾ÂÁ ÉпvÐfÆL¾ÂÔf¿m¾Z¾ÂÔ ÁÄÎÀ¿m¾ÂÁ ÉÁÄÎn¾ÂÁÄÓÔ¾>Úzñ ß Å É ÃÍ¿vÅfÉÈz¾ÂÁ ÌÇ Ì ÃÍ¿vÐÊ@½ à ÉÇ ÐfÆÊ 1¾ÂÔ ½ ß à ÉÅ Å É )Á Ð Ó¿vÅ ÓÉÀÂÁ ¾ÂÔ ÌWÑ v. {. M inLST. w. {. I = (G,L). w. G = (V,E) w E {1, . . . ,q} M inListLST List E z = ∪e∈E 0 L(e) M inListLST L(e) ∈ List(e) | z {
(76) { E0. L G = (V,E). w. I = (G,List)
(77) { w { {1, . . . ,q} E0 LE 0 { z 0 G[E ] G[A] A ⊆ {1, . . . ,q} | −1 L (A) = {e ∈ E : L(e) ∈ A} | G[E 0 ] G V |LE 0 | 4w v M inLST W© |L−1 (i)| = |{e : L(e) = i}| ≤ r ~. {. {. M inLSTr. v. k. . Bz. 7{. {. i = 1, . . . ,q. . . {. S ª . }. w. k. 4w. G[E 0 ]. {. G[LE 0 \ {i}] T G[E ] x LT = L E 0 1 r. w. J«. v. (r + 1)/2. @w. 2 − 0P T. w. M inLSTr { r ≥3. k. G[E 0 ] G[E 0 ]. |. 1. 0. v. .
(78) {. 1. ∀i ∈ LE 0.
(79) {. x.
(80) {. x. G[E 0 ]. w. 4w. v. . 2. . w. 4w. 2. {.
(81) ¿vÐfÆW¿ Ç ÐfþÂÁ ÉÐ ò ±U¢FUª Ñ;ñkÃSÉÐ Ð ½>þ½>ÆNÓÀ¿vÈ Ô öUªÍ¢FUª Ñfñ$ÃSÉÐ Ð ½>þ½>ÆNÎÇ Ê ÓÀ¿vÈ Ô ò à ¾¿vÀ¾ )Á ¾ÂÔ3¿vÐW¿vÀÂÊ Á ¾ÂÀ¿vÀ ÃSÉÐ Ð ½>þ½>ÆWÎÇ Ê ÓÀ¿vÈ Ô )Ô ÁÄÃÂÔ3ÎÈf¿vÐ ò Ô Á Å ½4¾ÂÔ ½ÍÀ½/½SÕzÁÄÎ ¾Î )Á ¾ÂÔ ¿vÐfÆ )Á ¾ÂÔ ÎÇfÃÔ¾Ô ¿m¾ ÁÄÎ)ÃSÉÐ Ð ½>þ½>ÆW¿vÐfÆNÎÈf¿vÐ ÆzÉ ò ÐfÆ )Ô Á Å ½ ¾ÁÄν>¿Î ¾ÂÉ Î½Í½¾ÂÔf¿m¾¾ÂÔ ½¾ÂÁÄÌL½ ÃSÉÌLÈ Å ½SÕzÁ ¾ 6É ¾ÂÔ ÁÄοvÅ ÓÉÀÂÁ ¾ÂÔ Ì ÁÄÎ )Ô ½ÍÀ½ Á à ½Î ¾¿vÀ¾ )Á ¾ÂÔB¿ ÃSÉÐ Ð ½Íþ½>ÆWÎÇ Ê ÓÀ¿vÈ Ô ÇfÎÁ Ð ßÓ ½>ÆzÓ½>ÎÍÚ à µ{®I£fm®I¦ mï ê ë Äì í Âê më ]ê ê é ê ê 4ë Äì më ]ê Äì ë Ië ã m£Q£ º ½S¾ Ê;½/¿vÐÁ ÐfÎ ¾¿vÐfÃS½É à )Ô ½ÍÀ½ ÁÄÎ)¿1ÃÉÐ Ð ½>þ½>ÆÓÀ¿vÈ Ô )Á ¾ÂÔ Ïv½ÍÀ¾ÂÁÄÃS½>Î ¾ÂÔ ½WÎÉÅ Çz¾ÂÁ ÉÐ ÉÇ ÐfÆ§Ê ç¾ÂÔ ½W¿vÅ ÓÉÀÂÁ ¾ÂÔ Ì ¿vÐfÆtÅ ½S¾ Ê;½W¿vÐBÉÈz¾ÂÁ ÌÇ Ì ÎÉÅ Çz¾ÂÁ ÉÐ§É à Ú 6½WÆz½ÍÐ Év¾Â½Ê F¿vÐfÆNÊ ¾ÂÔ ½Î½S¾É à ÃSÉÅ ÉÀÎ7Çfν>ÆWÉÐfÃS½Á ÐW¾ÂÔ ½ÎÇ Ê ÓÀ¿vÈ Ô ¿và ÐfÆNÊ ¾ÂÔ ½½>ÆzÓ½/É à )Á ¾ÂÔ3ÃSÉÅ ÉÀ ©ÁbÚ ½Ú × ¿vÐfÆ ÉÀ8¿vÐ Ú à ½S¾ ¿vÐfÆ Ê;½L¾ ZÉ
(82) ÎÈf¿vÐ Ð Á Ð Ó¾ÂÀ½ͽ>Î4É ¿vÐfÆ À½>ÎÈ@½ÍþÂÁÄÏv½ÍÅ Ú IÁ ÐfÃS½ ¿vÐfÆ ¿vÀ½LÁ Ð Èf¿vÀ¾ÂÁÄÃSÇ ÅÄ¿vÀ)¿ ß Å É ÃÍ¿vÅ@ÉÈz¾ÂÁ ÌÇ ÌW× Z½/Ôf¿_Ïv½ à ¿vÐfÆ Ú Û É /× ½ ZÉÀ )Á ¾ÂÔ ¿vÐfÆ Ú IÁ ÐfÃS½½>¿ÃÂÔ
(83) ÃSÉÅ ÉÀ8Á Ð ÁÄÎ8Çfν>Æ
(84) ¿m¾Å ½>¿Î ¾ ¾ÂÁ ÌL½>οvÐfÆ Ôf¿Î ½>ÆzÓ½>Î7¾ÂÔ ½ÍÐ× ½Ôf¿_Ïv½/¾ÂÔ ½ Éà Å Å É )Á Ð ÓLÁ Ð ½>ÜÇf¿vÅ Á ¾ à ÉÀ7¾ÂÔ ½/ÐIÇ ÌÊ@½ÍÀ)É à ÃSÉÅ ÉÀÎÇfν>ÆÊ ¾ÂÔ ½4¾ÂÀ½ͽ Ñ zÚ óоÂÔ ½Év¾ÂÔ ½ÍÀZÔf¿vÐfÆQ×IÎÁÄÐ ÃS½½>¿ÃÔÃSÉÅ ÉÀ¿vÈ È;½>¿vÀÎZ¿m¾ÌLÉÎ ¾ ¾ÂÁ ÌL½>ÎZÁ Ð ¿vÐfÆ Ôf¿Î ½>ÆzÓ½>ÎÍ× Z½Æz½>ÆzÇfÃS½Ñ zÚ ÉÀ½ÍÉmÏv½ÍÀ>× ½/¿vÅÄÎÉLÔf¿>Ͻ¾ÂÔ ½/Á Ð ½>ÜÇf¿vÅ Á ¾ @Ñ zÚ ñÎÂÎÇ ÌL½7¾ÂÔf¿m¾n¾ÂÔ ½)È À½ÍÏIÁ ÉÇfÎFÁ Ð ½>ÜÇf¿vÅ Á ¾ ÁÄÎnÐ Év¾n¾ÂÀÂÇ ½8¿vÐfÆLÆz½ÍÐ Év¾Â½)Ê ¾ÂÔ ½ ÎÇ Êz¾ÂÀ½ͽ>ÎFÊ Ç Á ÅÄÆ à ÀÂÉÌ ¿ ¾Â½ÍÀn¾ÂÔ ½Æz½ÍÅ ½S¾ÂÁ ÉÐÉ ½>ÆzÓ½>Î Ú IÁ ÐfÃS½ ×v¾ÂÔ ½ÍÀ½)½SÕzÁÄÎ ¾Î ÉÐ ½8ÃSÉÅ ÉÀnÁ Ð ¾ÂÔf¿m¾ZÇfν>ÎZ¿m¾ Å ½>¿Î ¾ ¾ É ½>Æzà Ó½>οvÐfÆNÎÇfÃÔ&¾ÂÔf¿mà¾)½>¿ÃÔÉ à ¾ÂÔ ½>ν½>ÆzÓ½>ÎÔf¿ÎÉÐ ½4½ÍÐfÆzÈ;ÉÁ о)Á Ð ¿vÐ Æ&¾ÂÔ ½4Év¾ÂÔ ½ÍÀ7ÉÐ ½Á Ð Ú ÔÇfÎÍ× à ÀÂÉÌ ½ ÃÍ¿vÐL¿Æ ƾÂÔ ½>ν7¾ É4½>ÆzÓ½>În¿vÐfÆ1Æz½ÍÅ ½S¾Â½7¾ É4½>ÆzÓ½>ÎFÁ Ð ¿vÐfÆ1ÉÊz¾¿vÁ ÐL¿Ð ½ §¾À½S½ ÎÇfÃÂÔ1¾ÂÔf¿m¾ Ú ÔÇfÎÍ× ½4ÉÊz¾¿vÁ ÐW¿LÃSÉоÂÀ¿ÆzÁÄþÂÁ ÉÐ )Á ¾ÂÔN¾ÂÔ ½Æz½ Ð Á ¾ÂÁ ÉÐWÉ à ¿ ß Å ÉzÃÍ¿vÅ@ÉÈz¾ÂÁ ÌÇ ÌWÚ IÉf×zÇfÎÁ Ð ÓÁ Ð ½>ÜÇf¿vÅ Á ¾ÂÁ ½>Î zÚ × zÚ ¿vÐfÆ zÚ × ½4ÉÊz¾¿vÁ ÐÑ zÚ 6½NÎÔ É ÙÁ Ðt¾ÂÔ ½ à ÉÅ Å É )Á Ð Ó3¾ÂÔf¿m¾¾ÂÔ ÁÄÎÀ¿m¾ÂÁ É3ÁÄξÂÁ ÓÔ¾>Ú ½S¾ Ê@½¿vЧÁ ÐfÎ ¾¿vÐfÃS½ )Á ¾ÂÔÑ )Ô ½ÍÀ½ ¿vÐfÆ Ú Ô ½ÎÉÅ Çz¾ÂÁ ÉÐfÎ ¿vÐ Æ ¿vÀ½&Æz½>ÎÂÃSÀÂÁ Ê@½>Æ6Á ÐBå{Á ÓfÚ Ú ÉÀ½ÍÉ_ϽÍÀ>× ½ÃSÉÐfÎÁÄÆz½ÍÀ ¾ÂÔ ½3ÅÄ¿vÊ@½ÍÅ ½>Æ à Ç ÐfþÂÁ ÉÐ Æz½ Ð ½>ÆÊ @Ñ × × ÉÀ × ¿vÐfÆ Ú Ô ½LÎÉÅ Çz¾ÂÁ ÉÐfÎ ¿vÐfÆ Î¿m¾ÂÁÄÎ à ¿vÐfÆ à Ú ¬. . /w. ~. ©. G = (V,E) G[E 0 ]. L : E −→ {1, . . . ,q}. {. w. A ⊆ LE 0 |A| ≤ 2 G[(LE 0 ∪ B) \ A] G[E 0 ] := G[(LE 0 ∪ B) \ A]. >w. 7{. v. {. G[E 0 ]. °¯W±³². ®. @´. G[E 0 ] V w B ⊆ {1, . . . ,q} \ LE 0 V. w. S´3Zµ. O(n5 ). w. |B| ≤ 1. w. n = |V |. Jw. O(n). 2 − 0P T ¶. 4: ·´¸ Q. ¹ ; 4º 4. r+1 7 2. 47 4¼4½ ·´ 8 . M inLSTr ». ». ¾. . I = (G,L) M inLSTr ~ ∗ G[E ] I { 2 − 0P T {i1 , . . . ,ik } w z ij LE 0 (ej ) = ij |L−1 E 0 (ij )| = 1 . w ∗ T T G[E 0 ] 3w 1 LT = LE 0 LT \ {i1 , . . . ,ik } @w. {. |LT | ≤ k +. w. {. w. {. G[E ∗ ] T∗. &w. zª. n−1+k n−1−k = 2 2. {. T∗. T∗. zª ª. zª . |LT ∗ | ≥ k.
(85) {. e1 , . . . ,ek. . w. . Ti. e1 , . . . ,ek. Qw. zª. |. zª ª. |. T1 , . . . ,Tk+1. |<k. w. 3w. . |L. T∗. Àzª . x. |. |.
(86) w. n−1. n−1 r. {. E0. ej. j = 1, . . . ,k | { 1 G[E ∗ ] G[E 0 ] 4w w w }8w LT ∗ = L E ∗ T 2 T n−1 { T. |LT ∗ | ≥. n. {. G[E 0 ]. r. ¿. 8w. G = (V,E) { G[E 0 ]. w. k+1 G[E ∗ ] T0. . |. T. w. Tj. |. w. T |LT 0 | < |LT |. 2. w. zª Á n−1 k r 1 r+1 | + ≤ |LT ∗ | + |LT ∗ | = |LT ∗ | 2 2 2 2 2 ~ 4w @w 8w I = (G,L) G = T ∪ T∗ w T = {(xi ,xi+1 ),(yi ,yi+1 ) : 0 ≤ i ≤ r − 2} ∪ {(x0 ,v0 ),(y0 ,v0 )} T ∗ = {(v0 ,xi ),(v0 ,yi ) : 1 ≤ i ≤ Ww ¿ ∗ r − 1} ∪ {(x0 ,xr−1 ),(y0 ,yr−1 )} T T
(87) { x L(xi ,xi+1 ) = L(yi ,yi+1 ) = i + 1 L(v0 ,xi+1 ) = r + 2 = L(x0 ,xr−1 ) L(v0 ,yi+1 ) = r + 3 = L(y0 ,yr−1 ) 0 ≤ i ≤ r − 2 L(x0 ,v0 ) = r L(y0 ,v0 ) = r + 1 T { T∗ |LT | = r + 1 |LT ∗ | = 2 . |LT | ≤. ª.
(88) r+3 y1. y0. r+3. r+3. y2. y r-1. y r-2. r+3. v0. T*. r+2. r+2. r+2. x0. x2. x1. x r-1. x r-2. r+2. 1. y r-1. y r-2. y2. y1. y0. r-1. 2. r+1 v0 r x0. T 1. r-1. 2 x1. x2. x r-1. x r-2. ìÍêmï zë ]ê ì 6½½SÐfÆL¾ÂÔ ÁÄÎZν>þÂÁ ÉÐÊ LÈ ÀÂÉ_ÏIÁ Ð Ó4¾ÂÔf¿m¾ ÁÄÎnÐ Év¾ÌLÉÀ½8ÆzÁ è&ÃSÇ Å ¾Z¾ÂÉ¿vÈ È ÀÂÉ>ÕzÁ Ì¿m¾Â½7¾ÂÔf¿vÐ Ú ÐfÆz½Í½ÍÆQ× Z½4ÎÔ É ¾ÂÔf¿m¾ ¿vÐfÆ ¿vÀ½½>ÜÇ Á Ïm¿vÅ ½Íо à ÀÂÉÌ ¿vÈ È ÀÂÉ>ÕzÁ Ì¿m¾ÂÁÄÉÐÈ;ÉÁ о7É à ÏIÁ ½ /Ú Û Év¾Â½ ¾ÂÔf¿m¾7¾ÂÔ ÁÄÎ)À½>ÎÇ Å ¾ÆIÉz½>Î7Ð Év¾)Ô ÉÅÄÆ à ÉÀ ¿vÐfÆ Ú µ{®I£fm®I¦ mï fë ã m£Q£ º IÁ ÐfÃS½ ÁÄÎL¿
(89) Ó½ÍÐ ½ÍÀ¿vÅ Á >¿m¾ÂÁ ÉÐçÉ à ×{¾ÂÔ ÁÄÎ1È ÀÂÉÊ Å ½ÍÌ ÁÄÎ1¿m¾LÅ ½>¿Î ¾L¿Î1ÆzÁ è&ÃSÇ Å ¾1¾ÂÉç¿vÈ ß È ÀÂÉ>ÕzÁ Ì¿m¾Â½N¿Î Ú ½S¾LÇfÎÈ ÀÂÉmϽ¾ÂÔf¿m¾LÁ ¾LÁÄÎÐ Év¾1ÌLÉÀ½NÆzÁ è&ÃSÇ Å ¾>Ú ½S¾ Ê;½W¿vЧÁ ÐfÎ ¾¿vÐfÃS½É à )Ô ½ÍÀ½ ÁÄο&ÎÁ ÌLÈ Å ½ÃSÉÐ Ð ½>þ½>ÆWÓÀ¿vÈ ÔWÉРϽÍÀ¾ÂÁÄÃS½>Î8¿vÐfÆ ½>ÆzÓ½>οvÐfÆ ò /Ú ÅbÚ ÉfÚ ÓfÚ × Z½¿ÎÂÎÇ ÌL½¾ÂÔf¿m¾>× ¿vÐfÆ
(90) ¾ÂÔ ½ÍÀ½1½SÕzÁÄÎ ¾Î/¿vÐ ½>ÆzÓ½ ÎÇfÃÂÔ ¾ÂÔf¿m¾ ÚQåfÉÀ ¿vÐ × ½3ÃSÉÐfÎ ¾ÂÀÂÇfþ¿vÐ~Á ÐfÎ ¾¿vÐfÃS½ É ¿Î ÉÅ Å É 8ÎÍÑF¾ÂÔ ½
(91) ÓÀ¿vÈ Ô ÁÄÎ Ú ¾¿vÀ¾ÂÁ Ð Ó )Á ¾ÂÔ × à Z½LÀ½ÍÈ ÅÄ¿ÃS½1¿vÐ 3à ½>ÆzÓ½ Ê 3¾ÂÔ ½LÓ¿ÆIÓ½S¾ ÃSÉÌLÌLÉÐ à ÉÀ/Á ÐfÎ ¾¿vÐfÃS½ÍÎ ÑF¿ÎÂÎÇ ÌL½&¾ÂÔf¿m¾ × ½N¿Æ Æ Ïv½ÍÀ¾ÂÁÄÃS½>Î ¿vÐfÆt¾ÂÔ ½½>ÆzÓ½NνS¾LÁÄÎ Ú;å{Á Ðf¿vÅ Å × à ÉÀ¿vÐ × ¿vÐfÆ Ú Ô ½8Ó¿ÆzÓ½S¾ ÁÄÎ Æz½>ÎÂÃSÀÂÁ Ê@½>ÆÁ Ð&å{Á ÓfÚ zÚ Û É /×Å ½S¾ Ê;½¿vÐLÉÈz¾ÂÁ Ì¿vÅfÎÉÅ Çz¾ÂÁ ÉÐLÉ à ÉÐ ¿vÐfÆL¿ÎÂÎÇ ÌL½7¾ÂÔf¿m¾ Úz¼ZÉÐfÎÁÄÆz½ÍÀn¾ÂÔ ½8Á ÐfÎ ¾¿vÐfÃS½ ¿vÐfÆLÃSÉÐfÎ ¾ÂÀÂÇfþZ¿ÃSÉÐ Ð ½>þ½ÍÆÎÇ Ê ÓÀ¿vÈ Ô ¿Î à ÉÅ ß Å É 8ÎÍÑÁ ÐL¾ÂÔ ½ ÀÎ ¾Î ¾Â½ÍÈ× à ÉÀ¿vÐ ½>ÆzÓ½ )Á ¾ÂÔ × Z½¿Æ Æ ¾ÂÔ ½½>ÆzÓ½>Î/ÃSÉÅ ÉÀ½>Æ
(92) Ê 6ÃSÉÅ ÉÀ Ú Ô ½ÍÐ× à ÉÀ )Á ¾ÂÔ × Z½&¿Æ Æ
(93) ¾ÂÔ ½½>ÆzÓ½ Áà . Â5Ã·Ä Å .Æ. ~. S´3. ³ 4.
(94) {. T∗. w. v. 4w. °¯W±¯. ®. ¾. . 4S. M inListLST M inListLST M inLST M inLST Pr M inListLSTr. M inLST. 4S. M inListLST. 4HǼ4 . . T». M inLST w. ». M inListLST M inLST È M inLST I = (G,List) w M inListLST G = (V,E) n m |ListE | = q w Sw ∀e ∈ E, |List(e)| ≤ m e |List(e)| ≥ 2
(95) { 9w @w i ≤ q Ii = (G0 ,Li ) M inLST G0 = (V 0 ,E 0 ) 1 Qw Ww { { 0 Ii = (G ,Li ) G e = (v,w) ∈ E w Fe List(e) = {i1 , . . . ,ip } p−1 Ae = {ae,2 , . . . ,ae,p } { { {(v,ae,j ),(ae,j ,w) : j = 2,...,p} ∪ {(v,w)} j = 2, . . . ,p, Li (v,ae,j ) = i Li (ae,j ,w) = ij ª @w Li (v,w) = i1 Fe G[E ∗ ] M inListLST I i ∈ LE ∗ Ii G0 [Ei∗ ] @w { w
(96) w e = (v,w) ∈ E |List(e)| ≥ 2 Ee = {(v,ae,j ) : j = 2, . . . ,p} x z
(97) { w w ∗ i| e∈E ij = L(e) ∈ List(e) (ae,ij ,w). .
(98) w. i1. i2. ip-1. ae,2 i1. Â5Ã·Ä Å ª Æ. ½ÍÅÄν ½¿Æ Æ&¾ÂÔ ½/½>ÆzÓ½ [w. ae,p-1 i. i. Fe. ae,p. i. v. Së ê ë. S´3[
(99)
(100) . ip. º 4 ·´3H
(101) . e = (v,w). fìë @î. 4S8U. 4 . Ú 6½/ÉÊz¾¿vÁ Ð3¿LÃSÉÐ Ð ½>þ½>ÆNÎÇ Ê ÓÀ¿vÈ Ô ~. Ii = (G0 ,Li ) ». É à vÏ ½ÍÀÂÁ à IÁÄÐzÓfÑ {. zÚ ½>ÃSÁ È ÀÂÉzÃÍ¿vÅ Å × Å ½S¾ Ê;½¿ÃSÉÐ Ð ½>þ½>Æ3ÎÇzÊ ÓÀ¿vÈ ÔWÉ à ÚQóÊfνÍÀÂÏv½4¾ÂÔf¿m¾ Ð ½>ý>ÎÂοvÀÂÁ Å ÃSÉо¿vÁ ÐfÎ8ÃSÉÅ ÉÀ ÎÁ ÐfÃS½ ½LÔf¿_Ͻ¿ÎÂÎÇ ÌL½>Æ3¾Ô ¿m¾/¾ÂÔ ½ÍÀ½½SÕzÁÄÎ ¾Î/¿vÐ6½>ÆzÓ½ ÎÇfÃÔ ¾ÂÔf¿m¾ Ú 6½&ÃSÉÐfÎ ¾ÂÀÂÇfþ¿3ÃSÉÐ Ð ½>þ½>Æ ÎÇ Ê ÓÀ¿vÈ Ô ÉРοm¾ÂÁÄÎ à IÁ Ð Ó ¿vÐfÆ ÉÀ8ÎÉÌL½ à Ú ÉÀ½ÍÉ_ϽÍÀ>×vÁ à ¿vÐfÆ ¿vÀ½)Á Ð × Z½8¾¿ ½ à ÉÀ ¾ÂÔ ½½>ÆzÓ½ ¾ÂÔ ½ÃSÉÅ ÉÀ ¿vÐfÆ3¾ÂÔ ½&ÃSÉÅ ÉÀ Éà À¾ÂÔ ½L½>ÆzÓ½ Ú 6½LÉÊz¾¿vÁ Ð
(102) ¾ÂÔ ½ Á Ð ½>ÜÇf¿vÅ Á ¾ @Ñ zÚ U¿Î ¾ÂÅ × ½¾¿ v½ ¿vÐfÆW¾ÂÔ ½½SÕzÈ;½>þ½>ÆWÀ½>ÎÇ Å ¾ à ÉÅ Å É 8Î à ÀÂÉÌ ½>ÜÇf¿vÅ Á ¾ zÚ ¿vÐfÆÁ Ð ½>ÜÇf¿vÅ Á ¾ zÚ Ú Ð à ÉÀ¾ÂÇ Ðf¿m¾Â½ÍÅ ×¾ÂÔ ½¾ÂÔ ½ÍÉÀ½ÍÌ zÚ 4Ô ÉÅÄÆ ÎZÉÐ Å à ÉÀÃSÉÐfÎ ¾¿vо¿vÈ È ÀÂÉ_ÕzÁ Ì¿m¾ÂÁ ÉÐÚ ÔÇfÎÍ×I¿È;½ÍÀ à ÉÀÂÌ¿vÐfÃS½8À¿m¾ÂÁ É àÆzÉÉIÀ ½>Î Ð Év¾ZÓÁ Ͻ¿/)È;Ô ½Í½ÍÀÀ½ ÉÀÂÌÁÄ¿vÎÐf¿3ÃS½8ÈfÀ¿v¿mÀ¾Â¿vÁ ÌLÉ ½S¾Â½ÍÀÉ Éà À ¾ÂÔ ½&Á ÐfÎ ¾¿vÐfÃS½ ©Å Á v¾Â½Ô ½ÌÀ¿m½>ÕzÆzÁÇfÌþÂÇ Á Ì ÉÐÆzÊ@½Í½SÓ¾ À½ͽͽ½ÍÐ&ÉÀÌLÐIÁ Ç Ð ÌÁ ÌÊ@Ç ½ÍÌ ÀÉ Æzà ɾÂÌLÔ Á½&Ðf¿mϾ½ÍÁ ÀÐ ¾ÂÓÁÄÃS½>νSÎ ¾ È ÀÂÉÊ Å ½ÍÌ ¿vÐfÆ ÌLÁ Ð Á Ìà Ç Ì Î½S¾ÃSÉmϽSÀ4È ÀÂÉÊ Å à ½ÍÌ Ôf¿Î¾ÂÔ ½Î¿vÌL½LÈ ÀÂÉÈ;½ÍÀ¾ à ÉÀ Ú Û ½ÍϽÍÀ¾ÂÔ ½ÍÅ ½>ÎÂÎÍ×@Ê
(103) ÇfÎÁ Ð Ó ¾ÂÔ ½/À½>ÎÇzÅ ¾)É à ç¿vÐ Së mï Ú h× ½/ÃÍ¿vÐWÆz½ÍÀÂÁ Ͻ¾ÂÔ ½ à ÉÅ Å É )Á Ð ÓLÃSÉÀÂÉÅ Å ¿mÀ @Ñ £fm£;]]¡z_÷ Äì í ê Sï. j≥2. e = (v,w). G0 [Ei∗ ]. Ii. zª . |LEi∗ | = |LE ∗ |. {. É. G0 [Ei0 ]. Zw. i. G[Ei ] I ¿ 0 (v,w) : (v,w) ∈ Ei } L(e) = Li (ae,ij ,w) = ij. e Ei = {e : (v,ae,ij ) ∈ Ei0
(104) w (v,ae,ij ) (ae,ij ,w) Ei0 L(e) = Li (v,w) = i1. {. {. . { Aw. w. M inLST. Î. ϯW±UÐ. zª Ê. @w. |. {Ëzª . |. |. . ª ª. {. . Iz. z. ρ(z). ~. j ≥ 2} ∪ {e = e = (v,w) W~ e = (v,w) ∈ Ei0. G[E 0 ] = min{|LEi | : i = 1, . . . ,q}. {. Í. -}. |LEi | ≤ |LEi0 |. -}. {Ìzª Ê. U{. G0 [Ei0 ] ~ |List(e)| ≥ 2 (ae,ij ,w) ∈ Ei0. Ii. |. 5 1 3w. M inListLST maxe∈E |List(e)| ». M inListLST. . 4w. Hn+m(`max −1)−1. z. w. {. {. 7 ¹ ; ÀÑ´3. Á. ρ(z). }. {. z = ∆(G) |. n = |V |, m = |E|. |. 4S. `max =.
(105) Ò. mSnQ£ Q Qpq+¡8u¢¤£[ouqBn¥p¦+§1sQ¨o§. Ð
(106) ¾ÂÔ ÁÄÎ4ν>þÂÁ ÉÐ× ½1È ÀÂÉ_Ͻ¾ÂÔf¿m¾ Ôf¿ÎÐ ÉW¿vÈ È ÀÂÉ_ÕzÁ Ì¿m¾ÂÁ ÉÐ
(107) ÎÂÃÂÔ ½ÍÌL½ ©ÁbÚ ½Ú × ÉÀ Ç Ð Å ½>ÎÂÎã 3ãLÚIåfÉÀ ¾ÂÔ ÁÄÎÍ× Z½Çfν8¾ÂÔ ½ é ¾ÂÔf¿m¾à ÁÄÎ ¿vÐ ë ê È ÀÂÉÊ Å ½ÍÌ ©Á ÐÎÔ ÉÀ¾ Æz½ Ðz½>Æ¿Î à ÉÅ Å É 8ÎÍÑÓÁ ϽÍпÃSÉÐ Ð ½>þ½>ÆÓÀ¿vÈ Ô × ½ ¿vоZ¾ÂÉ ÐfƿϽÍÀ¾Â½SÕ&ÎÇzÊfνS¾ )Á ¾ÂÔÌLÁ Ð Á ÌÇ Ì ÎÁ ͽÎÇfÃÔW¾ÂÔf¿m¾ ÉÀ Ú à ÉÀ ÁÄÎ7¾Ôz½À½>Î ¾Â]ÀÂÎÁÄÁ ÃÐf¾ÂÃSÁ ½LÉÐW¾ÂÔ É ½&à ÃͿν>Î )Ô ¿v½ÍÐfÀÂÆ ½ ¿vÐfÆ ¾ÂÔ ½ÓÀ¿vÈ Ô ¿vÅÄÎÉWÏv½ÍÀÂÁ ½>Î ¿vÀ½È@ÉÅ IÐ ÉÌLÁÄ¿vÅ Ú ã m£f¢ £;³>¥©ª>¥]£;± ê Äì ê ë ë ì ë ¾ÂÉ ã m£Q£ º 6½ÃSÉÐfÎ ¾ÂÀÂÇfþ{¿vÐ ß À½>ÆzÇfþÂÁ ÉÐ ]νͽZôF¿vÈf¿ÆzÁ ÌLÁ ¾ÂÀÂÁ ÉÇ¿vÐfÆ Z¿vÐ Ðf¿ v¿ IÁÄÎ Qà ÀÂÉÌ ¿vÐfÆNÎÁ ÐfÃS½ ÁÄÎ ø ¡z¤{ 3ã ·¯£;¦t¢n]®ª>® h× ½ )Á Å ÅQÉÊz¾¿vÁÄоÂÔ ½/½SÕzÈ;½>þ½>ÆÀ½>ÎÇ Å ¾>Ú ½S¾ )Ô ½ÍÀ½ ¿vÐfÆ Ê@½¿vÐWÁ ÐfÎ ¾¿vÐfÃS½/É Ú 6½È;ÉÅ IÐ É ÌLÁÄ¿vÅ Å ¾ÂÀ¿vÐfÎ à ÉÀÂÌ Á оÂÉ ×>Á ÐfÎ ¾¿vÐfÃS½ É à Á Ð/¾ÂÔ ½ à ÉÅ Å É )Á Ð Ó 7¿ @Ñ ÃSÉà о¿vÁ ÐfÎQ¾ÂÔ ½ )Ô ÉÅ ½ ϽSÀ¾½Õ ß Î½S¾)É ¿vÐfÆN½>¿ÃÂÔW½>ÆzÓ½ ÁÄÎ)À½ÍÈ ÅÄ¿ÃS½>ÆÊ &¾ÂÔ ½ à ÉÅ Å É )Á Ð ÓLÁ ÐfÎ ¾¿vÐfÃS½ )Ô ½ÍÀ½ )Á ¾ÂÔ à × × ¿vÐfÆ à ÉÀ × × × ¿vÐfÆ Ú Ô ½/Ó¿ÆzÓ½S¾ ÁÄÎ8Æz½>ÎÂÃSÀÂÁ Ê;½>ÆÁ Ð3å{Á ÓfÚ &w. v. >z. M inLSTr. |LE 0 | ≤ (1 + )|LE ∗ | > 0| = M inV C | 4w
(108) w .w w x x G = (V,E) V0 w ∀e = (v,w) ∈ E, v ∈ V 0 w ∈ V 0 M inV Cr r≥3 M inV C z x G dG (v) ≤ r, ∀v ∈ V ∆(G) = maxv∈V dG (v) ≥ 3 V C1 { V C2 | .
(109) {.
(110) w. Öб³²0× 4J4AØ. -. ½. r ≥ 3 M inLSTr. Õz. AH¸Ó& ¹QÔ 4¼4. [Ù6ÚÛ>Ü:Ý@ÞAßQàÈá·â
(111) ãâ¼4;º 4H 4 [- ´ JÑÈ ´;¹ H. r». ¾. ~. 8z. L. .ä. . -} -} È Ê@. Ê4 w w. |. M inV Cr. M inLST Pr. M inV Cr w A~ { G = (V,E) V = {v1 , . . . ,vn } E = {e1 , . . . ,em } M inV Cr { 4w +w @{ w G I = (H,L) M inLSTr H
Documents relatifs
If this cover is a dynamical limits of dynamical systems between spheres covers with portrait F and if there is a rescaling limit, then it has period more than 1 and, according
In the following sections, we illustrate that (i, j)-disjoint spanning trees provide some nuances between the existence of disjoint connected dominating sets and of completely
In this paper, we propose a distributed version of Fischer’s ap- proximation algorithm that computes a minimum weight spanning tree of de- gree at most b∆ ∗ + ⌈log b n⌉, for
Moreover, the fact that the paths between two adjacent vertices share a common edge implies that these vertices are inner vertices in different trees (Proposition 1.2.iii)).
Moreover, the fact that the paths between two adjacent vertices share a common edge implies that these vertices are inner vertices in dierent trees (Proposition 1.1.iii)).
However, if we suppose that only one change is possible at any time on one of several non-stable edges, and that the delay between two changes is long enough, then after each
Lemma 1 The minimum cost, token connected structure spanning the vertex set of G and respecting the degree constraints is a hierarchy.... Homomorphic mapping of vertices to define
Since the cost of an MST gives a lower bound for the DCMSH problem, up- per bounds for approximation algorithm can be computed regarding the MST instead of the optimal
