A4919 – Une algébrique et deux diophantiennes [** à la main]
Q₁ Résoudre l’équation algébrique en x réel : 8x – 18x = 18x – 27x.
Q₂ Résoudre l’équation diophantienne en x et y entiers positifs: x² + 26455 = 2y.
Q₃ L’entier x positif ajouté à 10 puis à 4000 donne respectivement le premier terme et le septième terme d’une suite d’entiers formant une progression géométrique dont la raison est un nombre rationnel.
Déterminer le quatrième terme de la suite.
Solution proposée par Daniel Collignon
Q1
Posons A=2^x et B=3^x.
L'équation s'écrit alors A^3 - AB² = AB² - B^3 ou encore A(A²-B²) = B²(A-B)
Si A=B, alors 2^x=3^x, d'où x=0 qui était une solution évidente.
Sinon A(A+B)=B²
Comme A>0 et B>0, alors en divisant par AB, A/B + 1 = B/A En posons C=B/A=(3/2)^x, nous avons 1/C + 1 = C
D'où C²-C-1 = 0
Comme C>0, alors C = (1+rac(5))/2 = phi (nombre d'or) D'où une deuxième solution x = ln(phi)/(ln(3)-ln(2))
Q2
L'équation s'écrit x² + 5*11*13*37 = 2^y
Naturellement y>=15, puisque 2^14 < 26455 < 2^15
Modulo 5 nous avons : x² = 2^y
Les carrés sont 0, 1, 4, 4, 1
Les puissances de 2 sont 1, 2, 4, 3, 1
En combinant les 2 résultats, nous en déduisons que y est pair.
Posons alors y=2(8+z) avec z>=0.
Ainsi (2^(8+z))² - x² = 5*11*13*37 = A*B avec A=<B.
Alors 2^(8+z)-x = A et 2^(8+z)+x = B Ou encore x = (B-A)/2 et 2^(8+z) = (A+B)/2
Il ne reste plus qu'à vérifier les 6 cas où A+B >= 2^9 = 512
A 1 5 11 13 37 55
B 26455 5291 2405 2035 715 481
Seul A=13, B=2035 convient avec 2^z=4 et x=1011 D'où x=1011 et y=20
Q3
x+10 = u1
x+4000 = u7 = u1*r^6 où r=p/q irréductible Et nous cherchons u4 = u1*r^3 = rac(u1*u7)
(x+10)*p^6=q^6*(x+4000)
D'où x = (4000*q^6-10*p^6)/(p^6-q^6) x+10 = 3990q^6/(p^6-q^6)
x+4000 = 3990p^6/(p^6-q^6)
q^6 divise x+10
p^6 divise x+4000
p^6-q^6 divise 3990 = 2*3*5*7*19
p^6-q^6 = (p^3-q^3)(p^3+q^3) = (p-q)(p²+pq+q²)(p+q)(p²-pq+q²) (p-q)((p-q)²+3pq)(p-q+2q)((p-q)²+pq) > (p-q)^6
3990 > (p-q)^6, d'où 3 >= p-q
Si p-q = 3, alors 9 diviserait 3990 Si p-q = 2, alors 4 diviserait 3990 Donc p-q=1.
(1+3q(q+1))(1+2q)(1+q(q+1)) divise alors 1995 = 1995 3*5*7*19 (à gauche tous les termes sont impairs) Si q=1, alors 9 diviserait 1995
Si q=2, alors p=3
Si q>=3, alors (1+3q(q+1))(1+2q)(1+q(q+1))>=3367 ne peut diviser 1995
Pour p=3 et q=2, x=374.
D'où u4 = 1296
La progression géométrique est 384, 576, 864, 1296, 1944, 2916, 4374
