A4919 – Une algébrique et deux diophantiennes [** à la main]
Q₁ Résoudre l’équation algébrique en x réel : 8x – 18x = 18x – 27x.
Q₂ Résoudre l’équation diophantienne en x et y entiers positifs: x² + 26455 = 2y.
Q₃ L’entier x positif ajouté à 10 puis à 4000 donne respectivement le premier terme et le septième terme d’une suite d’entiers formant une progression géométrique dont la raison est un nombre rationnel.
Déterminer le quatrième terme de la suite.
Solution proposée par Jacques Guitonneau
Q1 L’équation peut se réduire, en divisant par 3^(3x) à l’équation du troisième degré suivante à savoir Y*3 - 2.Y+1=0 avec Y=(2/3)^x, qui se réduit à (Y-1).(Y² +Y -1)=0, qui fournit les 3 racines 1 ; (√5 -1)/2 ; -(√5 +1)/2).
La racine1, fournit la solution triviale x=0.
(√5 -1)/2 fournit la solution x=Log((√5 -1)/2) /(Log(2)-Log(3)).
-(√5 +1)/2) donne la racine complexe suivante, x=(Log(-1)+Log(((√5 +1)/2))/(Log(2)-Log(3)), et comme e*iπ =-1, x=(iπ +Log(((√5 +1)/2))/(Log(2)-Log(3)).
Q2. On obtient y=20 et x=1011.
Q3 On recherche un nombre N et un nombre rationnel a/b tel que 10+N soit divisible par b*6 , et 4000 + N soit divisible par a*6. Un tableau Excel fournit immédiatement la solution a/b= 3/2 et N =374.
On vérifie que le quatrième terme est égal à 384. (3/2)*3 = 1296.
