Enoncé A4919 (Diophante)
Une algébrique et deux diophantiennes
Q1 Résoudre l’équation algébrique enxréel : 8x−18x= 18x−27x. Q2 Résoudre l’équation diophantienne en x et y entiers positifs : x2+ 26455 = 2y.
Q3 L’entierxpositif ajouté à 10 puis à 4000 donne respectivement le premier terme et le septième terme d’une suite d’entiers for- mant une progression géométrique dont la raison est un nombre rationnel. Déterminer le quatrième terme de la suite.
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin Question 1
Divisant tous les termes par 8x et regroupant au premier membre, on obtient (3/2)3x−2(3/2)2x+ 1 = 0. Posant (3/2)x = y, on a y3 −2y2+ 1 = 0. Ce dernier polynôme admet la racine évidente y= 1, d’où la factorisationy3−2y2+ 1 = (y−1)(y2−y−1).
La raciney= 1 conduit à x= 0, car plus généralement x= lny
ln 3−ln 2.
La racine négative y = (1−√
5)/2 du trinôme y2 −y −1 ne donne pas de valeur réelle pour x, à la différence de la racine y= (1 +√
5)/2, le nombre d’or, qui donnex= ln(1 +√
5)−ln 2 ln 3−ln 2 . Question 2
Les puissances de 2 ne sont supérieures à 26455 qu’à partir de y = 15. Calculant sur mon tableur les valeurs √
2y−26455, le premier entier obtenu est x = 1011 pour y = 20. Comme y est pair, cela montre que 26755 = 13×2035 est la différence de carrés 10242−10112.
Question 3
Soitt1 = 10 +x,t7= 4000 +x=r6t1.
3990 =t1(r6−1) se factorise en 2·3·5·7·19, et on peut y repérer la différence de cubes 19 = 33 −23; la somme de ces cubes est 5·7 = 35, d’où 3990 = 6·19·35 = 6(36−26) = 384((3/2)6−1).
On peut donc adopter t1 = 384 = 3·27, r = 3/2, x = 374 ; de manière générale, tk = 3k·28−k et le quatrième terme de la progression est 384(3/2)3= 1296, le septième étant 4374 = 2·37.
