Enoncé A2849 (Diophante) Comme des gigognes Q

Enoncé A2849 (Diophante) Comme des gigognes

Q₁ a et b étant deux entiers distincts > 1, démontrer que l’expression v

u u ta

s b

r a^qb√

a . . . dans laquelle il y a une infinité de radicaux q

a√ b imbriqués les uns dans les autres converge vers une limite L. Déterminer les couples (a, b) tels que :

1)L prend la valeur entière la plus petite possible 2)L= 2021

Q₂ On considère l’expression A_k = 2− v u u t2 +

s 2 +

r

2 +. . .+ q

2 +√ 2 dans laquelle les radicaux √

2+ sont imbriqués les uns dans les autres k fois. Déterminer k de sorte que l’écriture décimale de A_k contient 2021 zéros après la virgule suivis du chiffre 4.

Solution de Jean Moreau de Saint-Martin

Question 1

L’exposant de l’entier a dans L est 1/2 + 1/2³ +. . .+ 1/2^2k+1 +. . . = (1/2)/(1−1/4) = 2/3.

L’exposant de l’entierbdans Lest

1/4 + 1/4²+. . .+ 1/4^k+. . .= (1/4)/(1−1/4) = 1/3.

AinsiL= (a²b)^1/3.

Application 1) : (a, b) = (2,16) etL= 4.

Application 2) : Comme 2021 = 43·47,

(a, b) = (43^p·47^q,43^3−2p·47^3−2q) avec p, q∈ {0,1}, soit 4 couples.

Question 2

L’imbrication de k radicaux est 2−A_k, d’où la relation de récurrence 2−A_k=^p4−Ak−1, puis Ak−1=A_k(4−A_k).

On peut prendreA0 = 2, qui donne bienA1= 2−√ 2.

SiA_k= 4 sin²t_k,Ak−1 = 4 sin²(2t_k). Ainsi tk−1 = 2t_k et 2^kt_k est un inva- riant. CommeA₀ = 2 = 4 sin²(π/4),t₀ =π/4 est la valeur de l’invariant, Ainsitk=π·2^−2−k etAk= 4 sin²(π·2^−2−k).

Pourk assez grand,A_k est voisin de 4t²_k =π²·2^−2−2k.

On obtientA₃₃₅₈ = 4, . . .10⁻²⁰²², où 2021 zéros après la virgule précèdent un chiffre 4, pourk= 3358.