A2849. Comme des gigognes
G1 - 𝑎 et 𝑏 étant deux entiers distincts > 1, démontrer que l’expression #𝑎$𝑏%𝑎&𝑏√𝑎 … dans laquelle il y a une infinité de radicaux &𝑎√𝑏 imbriqués les uns dans les autres converge vers une limite L.
On pose 𝑈 = #𝑎$𝑏%𝑎&𝑏√𝑎 … .
Soit la suite (𝑢-) définie par 𝑢/= 1 et pour tout 𝑛 ≥ 0 : 𝑢-45 = %𝑎&𝑏𝑢- . On a 𝑈 = lim
-→4<𝑢-.
Si (𝑢-) converge vers un réel 𝐿, alors 𝐿 vérifie 𝐿 = &𝑎√𝑏𝐿 .
Or, 𝐿 = &𝑎√𝑏𝐿 ⟺ 𝐿? = 𝑎√𝑏𝐿 ⟺ 𝐿@ = 𝑎?𝑏𝐿 ⟺ 𝐿A = 𝑎?𝑏 ⟺ 𝑳 = √𝒂𝟑 𝟐𝒃 . On a donc 𝑳 > 𝟏.
Pour tout entier naturel 𝑛, 𝑢-45
𝑢- = R𝑎√𝑏S
5
?TUVW > 1 donc (𝒖𝒏) 𝐞𝐬𝐭 𝐬𝐭𝐫𝐢𝐜𝐭𝐞𝐦𝐞𝐧𝐭 𝐜𝐫𝐨𝐢𝐬𝐬𝐚𝐧𝐭𝐞.
Soit (𝑣-) définie par 𝑣/ = 𝐿 et pour tout 𝑛 ≥ 0 : 𝑣-45= %𝑎&𝑏𝑣- . Par définition, (𝑣-) est constante et pour tout 𝑛 ∈ ℕ, 𝑣- = 𝐿.
De plus, comme la relation de récurrence qui définit (𝑢-) et (𝑣-) est la même, et que 𝑢/ < 𝑣/, on a pour tout 𝑛 ∈ ℕ, 𝑢- < 𝑣- ⟺ 𝑢- < 𝐿.
Ainsi, (𝒖𝒏) 𝐞𝐬𝐭 𝐜𝐫𝐨𝐢𝐬𝐬𝐚𝐧𝐭𝐞 et majorée par 𝑳.
Conclusion : (𝒖𝒏) 𝐜𝐨𝐧𝐯𝐞𝐫𝐠𝐞 𝐯𝐞𝐫𝐬 𝑳 = √𝒂𝟑 𝟐𝒃 . Déterminer les couples (𝑎, 𝑏) tels que :
1) L prend la valeur entière la plus petite possible ; - 𝑎?𝑏 = 2A ⟺ 𝑎 = 𝑏 = 2 Impossible !
- 𝑎?𝑏 = 3A ⟺ 𝑎 = 𝑏 = 3 Impossible !
- 𝑎?𝑏 = 4A ⟺ 𝑎 = 𝑏 = 4 (impossible) ou (𝑎; 𝑏) = (2; 16).
Donc 𝐿 est minimale pour (𝒂; 𝒃) = (𝟐; 𝟏𝟔) . On a alors 𝑳 = 𝟒 . 2) L = 2021.
𝐿 = 2 021 = 43 × 47 ⟺ 𝑎?𝑏 = 43A× 47A
On peut donc avoir : - 𝑎? = 43? d’où 𝑏 = 43 × 47A , d′où (𝒂; 𝒃) = (𝟒𝟑 ; 𝟒 𝟒𝟔𝟒 𝟑𝟖𝟗) . - 𝑎? = 47? d’où 𝑏 = 43A× 47 , d′où (𝒂; 𝒃) = (𝟒𝟕 ; 𝟑 𝟕𝟑𝟔 𝟖𝟐𝟗) . - 𝑎? = (43 × 47)? d’où 𝑏 = 43 × 47 , d′où (𝒂; 𝒃) = (𝟐 𝟎𝟐𝟏 ; 𝟐 𝟎𝟐𝟏) .
G2 - On considère l’expression 𝐴|= 2 − #2 + $2 + %2 + ⋯ + &2 + √2 dans laquelle les radicaux
√2 + sont imbriqués les uns dans les autres 𝑘 fois.
Déterminer 𝑘 de sorte que l’écriture décimale de 𝐴| contient 2021 zéros après la virgule suivis du chiffre 4.
𝐴| = 2 − #2 + $2 + %2 + ⋯ + &2 + √2 ⟺ #2 + $2 + %2 + ⋯ + &2 + √2 = 2 − 𝐴|
√?4•‚ 2 − 𝐴|45= &2 + (2 − 𝐴|) ⟺ 2 − 𝐴|45 = &4 − 𝐴| ⟺ 𝑨𝒌4𝟏 = 𝟐 − &𝟒 − 𝑨𝒌 . On montre alors très facilement, par récurrence, que pour tout 𝑘 ∈ ℕ, 𝑨𝒌 > 𝟎 :
𝐴| > 0 ⟺ −𝐴| < 0 ⟺ 4 − 𝐴| < 4 ⟺ &4 − 𝐴| < 2 ⟺ −&4 − 𝐴| > −2 ⟺ 2 − &4 − 𝐴| > 0 ⟺ 𝐴|45> 0 .
De plus : 𝐴|45
𝐴| = 2 − &4 − 𝐴|
𝐴| = R2 − &4 − 𝐴|SR𝟐 + &𝟒 − 𝑨𝒌S
𝐴|R𝟐 + &𝟒 − 𝑨𝒌S = 4 − (4 − 𝐴|)
𝐴|R2 + &4 − 𝐴|S= 1 2 + &4 − 𝐴|
< 1 2< 1.
Ainsi, (𝑨𝒏) est décroissante et minorée donc converge.
Déterminons alors sa limite 𝐴 :
𝐴 vérifie 𝐴 = 2 − √4 − 𝐴 ⟺ √4 − 𝐴 = 2 − 𝐴 ⟹ 4 − 𝐴 = (2 − 𝐴)? ⟺ 4 − 𝐴 = 4 − 4𝐴 + 𝐴? ⟺ 𝐴?− 3𝐴 = 0 ⟺ 𝐴(𝐴 − 3) = 0
D’où 𝐴 ∈ {0; 3}. Mais 2 − √4 − 3 = 1 ≠ 3 (et 3 > 𝐴/ = 2 ‼!) donc 𝑨 = 𝟎.
Conclusion : (𝑨𝒏) est décroissante et converge vers 0.
On en déduit que Ž𝐴-45
𝐴- • est décroissante et converge vers 1 4 . On a 𝐴5/ ≈ 2,3531 × 10•– et 𝐴5/
𝐴— ≈ 0,250000147 <1
4+ 10•– . On a donc, pour tout 𝑘 ≥ 10 : 𝐴5/× Ž1
4•
|•5/
< 𝐴| < 𝐴5/× Ž1
4+ 10•–•
|•5/
. En posant 𝑞5 =1
4 et 𝑞? =1
4+ 10•– , on a donc, pour tout 𝑘 ≥ 10 : 𝐴5/× 𝑞5|•5/ < 𝐴|< 𝐴5/× 𝑞?|•5/
On cherche 𝑘 tel que : 4 × 10•?/?? < 𝐴|< 5 × 10•?/??.
On résout donc 4 × 10•?/?? < 𝐴5/× 𝑞|•5/ < 5 × 10•?/?? pour 𝑞 = 𝑞5 et pour 𝑞 = 𝑞? : 4 × 10•?/?? ≤ 𝐴5/ × 𝑞|•5/ < 5 × 10•?/??
⟺ log 4 − 2022 ≤ (𝑘 − 10) log 𝑞 + log 𝐴5/ < log 5 − 2022
⟺ log 4 − 2022 − log 𝐴5/ ≤ (𝑘 − 10) log 𝑞 < log 5 − 2022 − log 𝐴5/
⟺ log 5 − log 𝐴5/− 2022
log 𝑞 + 10 < 𝑘 ≤log 4 − log 𝐴5/ − 2022 log 𝑞
Avec 𝑞 = 𝑞5, ceci donne 3 357,96 < 𝑘 ≤ 3 358,12 soit 𝒌 = 𝟑 𝟑𝟓𝟖.
Avec 𝑞 = 𝑞?, ceci donne 3 357,97 < 𝑘 ≤ 3 358,13 soit 𝒌 = 𝟑 𝟑𝟓𝟖.
On peut vérifier que 𝐴5/× 𝑞5AA ¡ ≈ 4,73 × 10•?/?? et 𝐴5/ × 𝑞?AA ¡ ≈ 4,79 × 10•?/??. Conclusion : 𝒌 = 𝟑 𝟑𝟓𝟖 .
