Enoncé G278 (Diophante) Comme des poupées russes
Il y a sur la table n boîtes identiques. Certaines d’entre elles contiennent chacunenboîtes identiques de plus petite taille. Cer- taines de ces dernières contiennent chacunenboîtes identiques de taille encore plus réduite et ainsi de suite avec certaines boîtes qui contiennent chacune n boîtes de taille toujours plus réduite.
Il y a sept tailles différentes de boîtes et au total 2014 boîtes toutes tailles confondues. Sachant que le nombre de boîtes qui contiennent au moins une boîte est un nombre premier, trouvern.
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
J’appelle boîtes de niveau 1 lesnboîtes qui sont sur la table, puis boîte de niveau k les boîtes qui apparaissent quand on ouvre les boîtes de niveauk−1. Les niveaux peuvent aller jusqu’à 7, la taille décroissant strictement quand le niveau croît.
Parmi les boîtes de niveau k, il y en avk qui sont vides et pk qui contiennent chacunenautres boîtes. On a k≤7 et p7= 0.
On a donc les relationsp1+v1 =n,pk+vk=npk−1.
AinsindivisePk(pk+vk) = 2014, le quotient étant 1 +Pkpk. P
kpk = 2014/n−1 est un nombre premier ; parmi les diviseurs de 2014, seuln= 53 donne pour cette somme un nombre premier, 37.
Une répartition possible des 2014 boîtes en 7 niveaux est : p1 = 32, v1 = 21 ;
p2 =p3 =p4 =p5 =p6 = 1, v2 = 1695, v3 = v4 =v5 =v6 = 52, v7= 53.
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