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G278 - Comme des poupées russes

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Academic year: 2022

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Il y a sur la table n boites identiques. Certaines d’entre elles contiennent chacune n boites identiques de plus petite taille. Certaines de ces dernières contiennent chacune n boites identiques de taille encore plus réduite et ainsi de suite avec certaines boites qui contiennent chacune n boites de taille toujours plus réduite. Il y a sept tailles différentes de boites et au total 2014 boites toutes tailles confondues.Sachant que le nombre de boites qui contiennent au moins une boite est un nombre premier, trouver n.

Pour chacune des tailles décroissantes k (1≤k≤6), soit n

k

le nombre de boîtes qui en contiennent n autres plus petites : il y a donc nn

k

boîtes de la taille k+1, et le nombre total est N=n(1+∑n

k

).

Ici N=2014=2*19*53, et ∑n

k

est premier, donc impair (n=2 ne peut convenir) et 1+∑n

k

est pair, donc n impair : les valeurs à examiner sont donc n=19 ou 53 , ce qui donne pour ∑n

k

: 105 (non premier) ou 37.

Donc n=53. A noter que le nombre de tailles de boîtes n’intervient pas...

G278 - Comme des poupées russes

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