G278- Comme des poupées russes [*** à la main]
Il y a sur la table n boîtes identiques. Certaines d’entre elles contiennent chacune n boîtes identiques de plus petite taille.
Certaines de ces dernières contiennent chacune n boîtes identiques de taille encore plus réduite et ainsi de suite avec certaines boîtes qui contiennent chacune n boîtes de taille toujours plus réduite.
Il y a sept tailles différentes de boîtes et au total 2014 boîtes toutes tailles confondues.
Sachant que le nombre de boîtes qui contiennent au moins une boîte est un nombre premier, trouver n.
Solution proposée par Paul Voyer
Les tailles décroissantes sont a, b, c, d, e, f, g
Les nombres de boîtes sont A, B, C, D, E, F, G, avec A =n.
Le nombre de boîtes d'au moins un niveau est ≥ 288 sinon le total serait ≤ 2009.
A, B, C, D, E, F, G sont multiples de n.
n est donc diviseur de A, B, C, D, E, F, G = 2014 = 2*19*53 vaut 19, 38, 53, ou 106.
On remarque que si dans l'arborescence on permute une boîte pleine et une boîte vide d'un autre niveau, ça ne change rien vis-à-vis de l'énoncé.
Il est donc légitime de raisonner sur deux niveaux, le premier contenant k boîtes pleines et n-k boîtes vides, le second kn boîtes toutes vides.
On a bien en tout n+kn=(k+1)n=2014 boîtes.
Parmi les diviseurs (k+1) de 2014, seul (k+1)=38 correspond à k premier.
Donc n = 2014/38 = 53 .
