G 278 – Comme des poupées russes
Il y a sur la table n boites identiques. Certaines d’entre elles contiennent chacune n boites identiques de plus petite taille. Certaines de ces dernières contiennent chacune n boites identiques de taille encore plus réduite et ainsi de suite avec certaines boites qui
contiennent chacune n boites de taille toujours plus réduite. Il y a sept tailles différentes de boites et au total 2014 boites toutes tailles confondues. Sachant que le nombre de boites qui contiennent au moins une boite est un nombre premier, trouver n.
Proposition
Désignons par Bi les différentes tailles de boite avec : B1 > B2 > B3 > …> B7 (7 tailles) Soit n le nombre total de boites B1
Soit x1 (x1 ≤ n) le nombre de boites B1 contenant chacune n boites B2 de taille plus petite que B1
nx1 est alors le nombre total de boites B2
Soit x2 (x2 ≤ n²) le nombre de boites B2 contenant chacune n boites B3 de taille plus petite que B2
nx2 est alors le nombre total de boites B3 Et ainsi de suite…
nx5 est alors le nombre total de boites B6
Soit x6 (x6 ≤ n6) le nombre de boites B6 contenant chacune n boites B7 de taille plus petite que B6
nx6 est alors le nombre total de boites B7 mais ne contenant aucune boite plus petite puisque c’est la dernière taille x7 = 0
Le nombre total de boites Bi (toutes tailles confondues) est donné par la relation : n+nx1+nx2+…+nx6 = 2 014 n(1+x1+x2+…+x6) = 2 014
Le nombre total p de boites contenant au moins une boite de taille inférieure est : p = x1+x2+…+x6 ; p : nombre premier
Des 2 équations établies, on déduit : p+1 = 1+x1+x2+…+x6
n(p+1) = 2 014 = 1 x 2 x 19 x 53
On a 4 différentes combinaisons en produit de 2 facteurs pour 2 014 : 2 014 = 1 x 2 014 = 2 x 1 007 = 19 x 106 = 38 x 53
Conséquence du fait que p est premier :
Si p = 2 p+1=3 non car 2 014 non multiple de 3 p premier et impair (p+1) pair n impair car 2 014 ne contient que le facteur 2 provenant de (p+1)
Les seules identifications possibles pour p+1 sont : p+1 = 2 014 ; 106 ; 38 p+1 = 2 014 p = 2 013 non premier non
p+1 = 106 p = 105 non premier non p+1 = 38 p = 37 premier oui n = 53 Réponse : n = 53
