G278. Comme des poupées russes
Il y a sur la table n boites identiques. Certaines d’entre elles contiennent chacune n boites identiques de plus petite taille. Certaines de ces dernières contiennent chacune n boites identiques de taille encore plus réduite et ainsi de suite avec certaines boites qui contiennent chacune n boites de taille toujours plus réduite. Il y a sept tailles différentes de boites et au total 2014 boites toutes tailles confondues. Sachant que le nombre de boites qui contiennent au moins une boite est un nombre premier, trouver n.
Solution proposée par Ali SOUA
On considère T1 la taille des n boîtes identiques sur la table, parmi celle-ci c1 boites contiennent chacune n boîtes de tailles T2, ce qui fait n2=c1*n boîtes de tailles T2. En suivant le même raisonnement à l’étape suivante, on obtient n3=c2*n boîtes de taille T3, on poursuit ainsi jusqu’à la taille T7 : n7=c6*n.
Le nombre total de boîtes est de n+n2+n3+n4+n5+n6+n7 = 2014
Soit n+c1*n+c2*n+c3*n+c4*n+c5*n+c6*n = 2014 n*(1+ c1+c2+c3+c4+c5+c6) = 2014 Le nombre de boîtes qui contiennent au moins une boîte est C= c1+c2+c3+c4+c5+c6.
On a alors n*(1+C) = 2014 = 2*19*53 (décomposition en facteur premier de 2014). Etant donné que C > 2, on indique dans le tableau suivant les possibilités de valeurs pour n et C
n C
2 1006
19 105
53 37
2*19 52
2*53 18
Sachant que C est premier, on déduit la seule possibilité : sur la table il y a n=53 boîtes et le nombre de boîtes qui contiennent au moins une boîte est de 37.
