G278- Comme des poupées russes
Il y a sur la table n boites identiques. Certaines d’entre elles contiennent chacune n boites identiques de plus petite taille. Certaines de ces dernières contiennent chacune n boites identiques de taille encore plus réduite et ainsi de suite avec certaines boites qui contiennent chacune n boites de taille toujours plus réduite. Il y a sept tailles différentes de boites et au total 2014 boites toutes tailles confondues. Sachant que le nombre de boites qui contiennent au moins une boite est un nombre premier, trouver n.
Solution par Patrick Gordon
Nous dirons que les n boites initiales sont "de taille 1".
Soit a le nombre des boites de taille 1 qui contiennent chacune n boites identiques "de taille 2". Il y a au total an boites de taille 2.
Parmi les an boites de taille 2, il y en un certain nombre, soit b, qui contiennent chacune n boites identiques "de taille 3".
Et ainsi de suite, avec des notations évidentes jusqu'à en boites "de taille 6", parmi lesquelles il y a f boites qui contiennent chacune n boites identiques "de taille 7", soit encore fn boites, mais ces dernières ne contiennent pas d'autres boites.
Soit au total, en notant S = a + b + c +d + e + f,
(S + 1) n = 2014 boites toutes tailles confondues
Les boites qui contiennent au moins une boite sont celles qui en contiennent n de taille immédiatement supérieure, sans préjudice des boites contenues dans ces dernières.
Leur nombre est donc S. C'est ce nombre qui doit être premier.
Or (S + 1) et n divisent 2014 et les diviseurs de 2014 sont : 1, 2, 19, 53, 38, 106, 1007, 2014.
Le seul qui puisse correspondre à (S + 1) avec S premier est 38. Donc n = 2014 / 38 = 53
