A4919-Une algébrique,deux diophantiennes Q1 Résoudre l’équation algébrique en x réel : 8x – 18

A4919-Une algébrique,deux diophantiennes

Q1 Résoudre l’équation algébrique en x réel : 8^x – 18^x = 18^x – 27^x

Q2 Résoudre l’équation diophantienne en x et y entiers positifs: x² + 26455 = 2^y

Q3 L’entier x positif ajouté à 10 puis à 4000 donne respectivement le premier terme et le septième terme d’une suite d’entiers formant une progression géométrique dont la raison est un nombre rationnel. Déterminer le quatrième terme de la suite.

Résolution Q1

Divisons les deux membres de l’égalité par 27^x, il vient (8/27)^x – (18/27)^x = (18/27)^x – 1 soit (2/3)^3x – 2 * (2/3)^x + 1 = 0

En posant X = (2/3)^x, on a à résoudre l’équation polynomiale X³ – 2X + 1 = 0 dont X=1 est une racine évidente. Le polynôme se factorise donc en (X-1)(X²+X-1) et ses racines positives sont { 1 ; (-1+√5)/2 }. Les racines négatives ne nous intéressent pas car on résout en x réel.

X=1 conduit à la solution évidente x=0 et l’autre racine conduit à la solution moins évidente : ln 2 – ln (√5-1)

x = —————————

ln 3 – ln 2 Q2

On tire de l’égalité x²+26455 = 2^y que x est nécessairement impair, la solution y=0 ne convenant évidemment pas. Modulo 10, x² est donc congru à 1, 9 ou 5. Il ne peut être congru à 5 car 2^y ne peut être congru à 0. x² est donc congru à 1 ou 9 et 2^y à 6 ou 4, autrement dit, y est une puissance paire.

Notons y = 2z et on peut réécrire ainsi l’équation : 26455 = 2^2z – x² = (2^z-x)(2^z+x)

Il suffit de tester les différentes décompositions de 26455 = 5*11*13*37 en produit de deux entiers pour rechercher dans quelle combinaison la somme des deux facteurs est une puissance de 2 :

(2^z-x) (2^z+x) somme

1 26455 26456

5 5291 5296

11 2405 2416

13 2035 2048

37 715 752

55 481 536

65 407 472

143 185 328

On en tire l’unique possibilité 2^z = 1024 et donc l’unique solution (x, y) = (1011,20)

Q3

Démontrons d’abord que la raison r de la suite géométrique n’est pas entière.

En effet, de x+4000 = r⁶ * (x+10) je déduis un encadrement de r⁶ : 1 < r⁶ < 400. Si r est entier, alors nécessairement r = 2. J’obtiens alors x+4000 = 64x + 640 soit x = 3360/63 non entier, contraire aux hypothèses.

La raison r s’écrit donc sous la forme p/q avec p et q premiers entre eux et p>q>1.

On a alors :

x+4000 = (p/q)⁶ * (x+10) q⁶x + 4000q⁶ = p⁶x + 10p⁶ x = (4000q⁶ – 10p⁶) / (p⁶ – q⁶)

Le septième entier de la suite vaut donc : x+4000 = 3990 p⁶ / (p⁶ – q⁶)

Cherchons le PGCD de p⁶ et (p⁶ – q⁶) : soit k ce PGCD, il existe A et B tels que p⁶-q⁶ = kA

p⁶ = kB

alors q⁶ = k(B-A)

Comme p et q sont premiers entre eux, k=1.

La formule du septième entier de la suite permet de déduire que (p⁶ – q⁶) | 3990.

Notons que pour tous p et q :

(p⁶ – q⁶) ≥ (q+1)⁶-q⁶ = (q+1)⁵+q(q+1)⁴+q²(q+1)³+q³(q+1)²+q⁴(q+1)+q⁵ ≥ 6q⁵ Ainsi, pour tout q≥4 : (p⁶ – q⁶) ≥ 6*4⁵ = 6144, et donc cette expression ne peut diviser 3990.

Testons alors les différents couples possibles (p,q) avec q<4 :

• pour q=3, p=4 : (p⁶ – q⁶) = 4096-729 = 3367 ne divise pas 3990

• pour q=3 et p>4, (p⁶ – q⁶) > 3990

• pour q=2 et p=3, (p⁶ – q⁶) = 729-64 = 665 = 3990/6, bingo !

• pour q=2 et p>3, (p⁶ – q⁶) > 3990

Une seule valeur est donc possible pour la raison géométrique de cette suite, r=3/2.

La valeur du quatrième entier de la suite est donc : (p/q)³ * (x+10) = (p/q)³ * (4000q⁶ – 10q⁶) / (p⁶ – q⁶)

= 3990 p³q³ / (p⁶ – q⁶) = 1296

Pour aller plus loin : x vaut 374 et les valeurs de la suite sont successivement 2^8-i * 3ⁱ pour i=1...7