Question d'examen sur les racines carrées des racines d'une équation algébrique

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N OUVELLES ANNALES DE MATHÉMATIQUES

T ^ERQUEM

Question d’examen sur les racines carrées des racines d’une équation algébrique

Nouvelles annales de mathématiques 1

^re

série, tome 6 (1847), p. 456-457

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QUESTION D'EXAMEN

sur les racines carrées des racines d'une équation algébrique.

Problème. Étant donnée une équation algébrique, trouver Féquation qui a pour racines les racines carrées prises avec un seul signe des racines de la proposée.

Équation du second degré.

Solution. Soit x

1

— a

t

x-{-a

t

=0 l'équation proposée, a\ p

a

les racines.

Soit x

^Q

— fr

⁴

j? + » = °» l'équation cherchée, ayant pour racines a et £, on a los relations connues b—2&

²

= a

^x

\

K = a^ d'où b,= \/a^lVa^, b

%

=\/a

%

.

Exemple numérique : a = l -, (3=2 ; a,=5 ; a„=\ : 6

t

=3 ; b^2.

Équation du troisième degré.

x

³

—a

^x

x^-\-a

^%

x — tf

³

=O, équation proposée; a

⁹

, p% 7% les

(3)

— 457 -

trois racines ; .z3—btx* + Kx— b9 = 0 , équation cherchée ; racines «, (3, 7 ;

On a £ « ' = : * , = 6.* — 26a; 2 0 ^ = ^ = ^ =

d'où &,= K^3 ; éliminant b

^t

, on obtient l'équation du qua- trième degré

b* — 2a A— 8a A + a? + «

^A

= 0.

Exemple numérique •• a = l ; P = 2 ; v = 3 ; « , = 14;

^a = 49 ; #3=36.

L'équation en b, est b* — 986aa — 288^, + 3 8 5 s 0 ; d'où

& , = l l .

On procède de même pour les équations des degrés s u - périeurs.

Observations. 1. Si dans la proposée de degré m, on fait x ==y% la transformée en .y a pour racines, les racines carrées des racines de la proposée, chacune prise avec les deux signes ; aussi la transformée est de degré 2#ietles termes de rang pair, combinaisons impaires des racines, manquent.

2. DansFéquation qu'on obtient par le procédé indiqué, les coefficients sont irrationnels. Faisant disparaître les ra- dicaux , on est ramené au cas général.

3. On peut suivre la même marche pour calculer une équation ayant pour racines les racines d'indice dooné quel- conque des racines de la proposée.

N. DE MATHËM. v i . , 3 0