Q₁ Résoudre l’équation algébrique en x réel : 8x – 18x = 18x – 27x.
Q₂ Résoudre l’équation diophantienne en x et y entiers positifs: x² + 26455 = 2y.
Q₃ L’entier x positif ajouté à 10 puis à 4000 donne respectivement le premier terme et le septième terme d’une suite d’entiers formant une progression géométrique dont la raison est un nombre rationnel. Déterminer le quatrième terme de la suite.
Q1 : Si l’on divise les deux membres par 18x, on obtient (4/9)x-1=1-(3/2)x soit
(4/9)x+(3/2)x=2 ou (3/2)-2x+(3/2)x=2 ou encore en posant t=(3/2)x, t3-2t2+1=0 qui a pour solution évidente t=1 soit x=0, que l’on écarte ; il reste t2-t-1=0, soit t=φ (nombre d’or, (1+√5)/2), donc x=lnφ/(ln3-ln2)=1,1868...
Q2 : 26455=5*11*13*37=13*2035 ; or (2035+13)/2=1024=210 et (2035-13)/2=1011, donc 13=1024-1011, 20135=1024+1011. Ainsi 26455=220-10112 donc x=1011 et y=20.
Q3 : Si r est la raison de la progression géométrique ui, u1=x+10, u7=x+4000=r6u1, et u4=r3u1 donc u42=u1*u7=(x+10)(x+4000) avec (x+4000)/(x+10)=r6
Or 4000-10=3990=6*665 et 665=729-64=36-26 ; donc pour x=374 , x+10=384=6*64, x+4000=4374=6*729 et (x+4000)/(x+10)=(3/2)6 soit r=3/2.
Donc u42 =(x+10)(x+4000)=62*26*36, soit u4=64=1296
