Démonstration algébrique d'un théorème relatif à l'intersection de deux courbes

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N OUVELLES ANNALES DE MATHÉMATIQUES

E. A ^MIGUES

Démonstration algébrique d’un théorème relatif à l’intersection de deux courbes

Nouvelles annales de mathématiques 3

^e

série, tome 14 (1895), p. 447-448

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DÉMONSTRATION ALGÉBRIQUE D'UN THÉORÈME RELATIF A L'INTERSECTION DE DEUX COURBES;

PAR M. E. AMIGUES.

Si un même point est d'ordre p dan* une courbe d'ordre m et d'ordre q dans une autre courbe d'ordre n, ces deux courbes se coupent au plus en (mn — pq) autres points.

Prenons ce point pour origine. Les équations des deux courbes sont

Posons

y ==: fT'

A chaque solution (x* y) correspond une solution (^r, /), et à chaque solution (x, t) correspond, une solu- tion ( x , j ) .

Étudions donc les solutions (x, /), qui sont données par les équations

•r"«o,,,(i, t)-+• xm-lom-\(i, *) •+•-•- — xP<?/>(*, t) = o,

«r» <j;«(i, t) — T»-1 tyn-i ( i , t)-^...^-xfl^q(\, t) = o .

Supprimons les solutions composées d'un x nul et d'un t arbitraire, qui donneraient un jy nul et par suite

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( 448 ) l'origine. Les équations deviennent

ar"*-/»çm(i,*)4-a?'»-p-1<pm_1(i,0-*----+?p(^0 = o, 3?*-* tyn (1,0-+- ^ " ' 7 -1 <K-i (I, 0 -+-.-• "f <M! , 0 = 0 . Il n'y a plus qu'à compter les solutions de ce système.

Pour cela nous allons éliminer x et prouver que l'équation en t est au plus de degré mn — p q .

Représentons les équations comme il suit :

aoxm~P-\- aiXm-P-l-h.. .-H aiXm—P-i-H- . . - r flm-p= o,

&o a ? * - ? H - bi xn-(i-1 - + - . . . - h bjXn-(i-J - h . . . - h bn-q == o .

Le résultant est de la forme avec la condition

X i - H fxy -h v À- + p / = ( m — ƒ> ) ( /& — ^ )»

af est un polynôme en t qui est au plus de degré m — i et a^ est au plus de degré X(/TZ — / ) . De même b\ est au plus de degré v(/z — Â).

Donc le résultant est un polynôme en t de degré au plus égal à

X ( m — l)-\- ix ( m — j ) -4- v ( n — k ) -t- p ( n — l ), c'est-à-dire à

m ( X - i - f J t ) - { - / i ( v - t - p ) — (m —p)(n — q);

mais on a aussi, par les propriétés du résultant, l-i-i±<n - q,

v -i- p ^ /?i —ƒ>.

Donc le degré du résultant est au plus m(n — q) -\- n(m —p) — (m — p)(n — q), c'est-à-dire

mn —pq.

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