G268-Anagrammes diophantiennes Problème proposé par Pierre Jullien Première partie
Avec les lettres de DIOPHANTE, on peut écrire 9 ! (362 880) mots dans lesquels chaque lettre apparaît une unique fois.
En rangeant tous ces mots par ordre alphabétique, 1) à quel rang R le mot DIOPHANTE apparaît-il ? 2) quel mot apparaît au rang 2011 ?
Question 1
L'ordre alphabétique des lettres de DIOPHANTE est : ADEHINOPT
Avant qu'apparaisse DIOPHANTE dans l'ordre alphabétique apparaîtront : les 8! soit 40 320 mots qui commencent par A
les 7! soit 5 040 mots qui commencent par DA les 7! soit 5 040 mots qui commencent par DE les 7! soit 5 040 mots qui commencent par DH les 6! soit 720 mots qui commencent par DIA les 6! soit 720 mots qui commencent par DIE les 6! soit 720 mots qui commencent par DIH les 6! soit 720 mots qui commencent par DIN les 5! soit 120 mots qui commencent par DIOA les 5! soit 120 mots qui commencent par DIOE les 5! soit 120 mots qui commencent par DIOH les 5! soit 120 mots qui commencent par DION les 4! soit 24 mots qui commencent par DIOPA les 4! soit 24 mots qui commencent par DIOPE les 2! soit 2 mots qui commencent par DIOPHAE le 1! soit 1 mot qui commence par DIOPHANE
58 851
DIOPHANTE apparaît donc au rang R = 58 852 Question 2
Le nombre 2011 est compris entre 6! = 720 et 7! = 5040.
Jusqu'au rang 720 inclus apparaissent les mots qui commencent par ADE et qui se terminent par une permutation des 6 lettres HINOPT.
Du rang 721 au rang (720 + 720 =) 1440 inclus apparaissent les mots qui commencent par ADH et qui se terminent par une permutation des 6 lettres EINOPT.
Du rang 1441 au rang (1440 + 5! =) 1560 inclus apparaissent les mots qui commencent par ADIE et qui se terminent par une permutation des 5 lettres HNOPT.
Du rang 1561 au rang (1560 + 3 × 5! =) 1920 inclus apparaissent les mots qui commencent par ADIH ou ADIN ou ADIO et qui se terminent par une permutation des 5 lettres
restantes respectives.
Du rang 1921 au rang (1920 + 3 × 4! =) 1992 inclus apparaissent les mots qui commencent par ADIPE qui se terminent par une permutation des 4 lettres restantes respectivement.
Du rang 1993 au rang (1992 + 3 × 6! =) 2010 inclus apparaissent les mots qui commencent par ADIPHE qui se terminent par une permutation des 3 lettres restantes respectivement.
Au rang 2011 apparaît le mot ADIPHNEOT.
Deuxième partie
Une autre manière d’obtenir tous ces mots est de dresser un tableau factoriel, de type 1.
Partant d’une anagramme de DIOPHANTE, par exemple : PHODATINE, on écrit sur la première ligne la première lettre P. Puis sur la deuxième ligne, on insère la deuxième lettre H, pour obtenir la liste : HP PH. On recommence pour les lignes suivantes : pour chacun des mots de la liste n-1(gardés dans l’ordre), on intercale, de gauche à droite, la nième lettre, aux rangs 1, 2, …, n.
Ainsi, sur la troisième ligne, on obtient OHP HOP HPO (à partir de HP) puis OPH POH PHO (à partir de PH).D’où le début du tableau :
P HP PH
OHP HOP HPO OPH POH PHO
DOHP ODHP OHDP OHPD DHOP HDOP HODP HOPD DHPO HDPO etc.
Ainsi on obtient, sur la neuvième ligne, tous les mots construits avec toutes les lettres de PHODATINE, utilisées chacune une fois.
1) Quel doit être l’anagramme de départ d’un tableau factoriel de type 1, pour que le mot DIOPHANTE apparaisse dans la neuvième ligne, au rang R obtenu
précédemment ?
2) Quel mot apparaît au rang 2011, dans cette neuvième ligne ? Question 1
Sur la ligne (n+1), la (n+1)ème lettre de l'anagramme de départ apparaît périodiquement aux rangs 1, 2,… (n+1) dans les mots successifs.
Ainsi, sur la 9ème ligne, au rang R = 58 852 = 6539 × 9 + 1, qui est donc congru à 1 mod. 9 apparaît un mot dont la 1ère lettre est la neuvième de l'anagramme de départ. Pour que ce mot soit DIOPHANTE, l'anagramme de départ doit donc se terminer par D.
Mais, à la 8ème ligne (où il n'y a pas de D), le précédent de DIOPHANTE est le mot IOPHANTE. Il vient juste après 6539 mots de 8 lettres qui affectés chacun de D
périodiquement aux positions 1 à 9, donneront les précédents de DIOPHANTE à la ligne 9.
À la ligne 8, donc, IOPHANTE a pour rang 6540. Mais 6540 = 8 × 817 + 4. L'avant- dernière lettre de l'anagramme de départ est donc la 4ème de IOPHANTE soit H.
On continue ainsi.
À la ligne 7, le précédent est IOPANTE. Il porte le rang 817 + 4 = 821. Or 821 = 7 × 117 + 2. La troisième lettre depuis la fin de l'anagramme de départ est donc la 2ème de IOPANTE soit O.
À la ligne 6, le précédent est IPANTE. Il porte le rang 117 + 2 = 119. Or 119 = 6 × 19 + 5.
La quatrième lettre depuis la fin de l'anagramme de départ est donc la 5ème de IPANTE soit T.
À la ligne 5, le précédent est IPANE. Il porte le rang 19 + 5 = 24. Or 24 = 5× 4 + 4. La cinquième lettre depuis la fin de l'anagramme de départ est donc la 4ème de IPANE soit N.
À la ligne 4, le précédent est IPAE. Il porte le rang 4 + 4 = 8. Or 8 = 4 × 2 + 0. La
quatrième lettre depuis la fin de l'anagramme de départ est donc la "0ème" de IPAE, c’est-à- dire la 4ème soit E.
À la ligne 3, le précédent est IPA. Il porte le rang 2 + 0 = 2. Or 2 = 3 × 0 + 2. La cinquième lettre depuis la fin de l'anagramme de départ est donc la 2ème de IPA, soit P.
À la ligne 2, le précédent est IA. Il porte le rang 0 + 2 = 2. Or 2 = 2 × 1 + 0. La deuxième lettre de l'anagramme de départ est donc la "0ème" de IA, c’est-à-dire la 2ème soit A.
À la ligne 1, la première lettre de l'anagramme de départ est donc I.
Récapitulation :
Sauf erreur matérielle à un stade quelconque et qui se serait reportée, l'anagramme de départ est : IAPENTOHD.
Troisième partie
Une troisième manière d’obtenir tous ces mots est de dresser un tableau factoriel, de type 2. Partant d’une anagramme de DIOPHANTE, par exemple : PHODATINE, on écrit sur la première ligne la première lettre P. Puis sur la deuxième ligne, on insère, de gauche à droite, la deuxième lettre H, pour obtenir HP PH. On recommence, en introduisant une nouvelle lettre pour toute la liste précédente, au rang 1, puis au rang 2, etc.
D’où le début du tableau :
P HP PH
OHP OPH HOP POH HPO PHO
DOHP DOPH DHOP DPOH DHPO DPHO ODHP ODPH HDDOP PDOH etc.
Comme précédemment, on obtient, sur la neuvième ligne, tous les mots construits avec toutes les lettres de PHODATINE, utilisées chacune une fois.
1) Quelle doit être l’anagramme de départ d’un tableau factoriel de type 2, pour que le mot DIOPHANTE apparaisse dans la neuvième ligne, au rang R obtenu
précédemment ?
2) Quel mot apparaît au rang 2011, dans cette neuvième ligne ? Question 1
Sur la ligne (n+1), la (n+1)ème lettre de l'anagramme de départ apparaît cette fois en position 1 aux rangs 1, 2,… n!, puis en position 2 aux rangs n!+1, n!+2,… 2n!...
Sur la 9ème ligne, le rang R = 58 852 = 8! × 1 + 18 532 est dans la deuxième tranche de longueur 8!
Donc la neuvième lettre de l'anagramme de départ doit être la deuxième de DIOPHANTE, soit I.
À la ligne 8, le précédent de DIOPHANTE est DOPHANTE. Comme DIOPHANTE, à la ligne 9, a le rang 18 532 dans sa tranche (la deuxième), le DOPHANTE de la ligne 8 y a aussi ce rang. Mais 18 532 = 7! × 3 + 3 412 et DOPHANTE est donc dans la quatrième tranche de longueur 7!
Donc la huitième lettre de l'anagramme de départ doit être la quatrième de DOPHANTE, soit H.
À la ligne 7, le précédent de DOPHANTE est DOPANTE. Comme DOPHANTE, à la ligne 8, a le rang 3 412 dans sa tranche (la quatrième), le DOPANTE de la ligne 7 y a aussi ce rang. Mais 3 412 = 6! × 4 + 532 et DOPANTE est donc dans la cinquième tranche de longueur 6!
Donc la septième lettre de l'anagramme de départ doit être la cinquième de DOPANTE, soit N.
Le raisonnement ayant été ainsi exposé et illustré, on peut gagner du temps au moyen d'un tableur (qui reprend les calculs des lignes 9 à 7 et les prolonge de manière quasi-
automatique)1 :
ligne
n anagramme rang dans la tranche
anagramme précédente (ligne n-1)
rang dans
la ligne tranche
lettre de rang n de l'anagramme
de départ
9 DIOPHANTE 18 532 58 852 2 I
8 DOPHANTE 3 412 DIOPHANTE 18 532 4 H
7 DOPANTE 532 DOPHANTE 3 412 5 N
1 Il faudra prendre bien garde au calcul des rangs dans le cas où le "18 532 = 7! × 3 + 3 412" de la ligne 8 s'écrit : a = n! × q + r avec r = 0. Il faut, dans ce cas, prendre pour n° de tranche non pas (q + 1) mais q.
6 DOPATE 52 DOPANTE 532 5 T
5 DOPAE 4 DOPATE 52 3 P
4 DOAE 4 DOPAE 4 1 D
3 OAE 1 DOAE 4 3 E
2 OA 0 OAE 1 2 A
1 O 0 0 1 O
Récapitulation :
Sauf erreur matérielle donc, pour que le mot DIOPHANTE apparaisse, dans la neuvième ligne, au rang R obtenu précédemment (soit 58 852) l'anagramme de départ doit être : OAEDPTNHI.
Question 2
On entendra naturellement : quel mot apparaît au rang 2011, dans cette neuvième ligne…
si l'anagramme de départ est celle trouvée à la question 1, c’est-à-dire, sauf erreur : OAEDPTNHI?
Rappelons que, à la ligne 9, la 9ème lettre de l'anagramme de départ (donc ici le I) apparaît en position 1 aux rangs 1, 2,… 8!, puis en position 2 aux rangs 8!+1, 8!+2,… 2×8! etc.
Comme 2011 < 8!, le rang 2011 est dans la première tranche de 8! mots et le I sera en position 1 du mot recherché.
À la ligne 8, comme 2011 < 7!, le précédent du mot recherché (mot de 8 lettres sans I) a toujours pour rang 2011 et le H (huitième lettre de l'anagramme de départ OAEDPTNHI) sera en position 1 du précédent du mot recherché, c’est-à-dire en position 2 du mot
recherché (car la 1ère lettre a de celui-ci – le I – a déjà été placée).
À ce stade donc, le mot recherché se présente comme suit : I H – – – – – – –
À la ligne 7, comme 2011 = 2 × 6! + 571, le précédent-2 du mot recherché (c'est un mot de 7 lettres sans I ni H) sera au rang 571 dans la troisième tranche de 6! et le N (septième lettre de l'anagramme de départ) sera donc à la troisième position de ce mot de 7 lettres sans I ni H, c’est-à-dire à la position 5 du mot recherché.
À ce stade donc, le mot recherché se présente comme suit : I H – – N – – – –
À la ligne 6, il n'y a que des mots de 6 lettres sans I ni H ni N et le précédent-3 du mot recherché occupe le rang que son suivant (précédent-2) avait à la ligne 7, soit 571. Mais comme 571 = 4 × 5! + 91, le précédent-3 du mot recherché est au rang 91 dans la cinquième tranche de 5! et le T (sixième lettre de l'anagramme de départ) sera donc à la cinquième position de ce mot de 6 lettres sans I ni H ni N, c’est-à-dire à la position 8 du mot recherché.
À ce stade donc, le mot recherché se présente comme suit :
I H – – N – – T –
À la ligne 5, il n'y a que des mots de 5 lettres sans I ni H ni N ni T et le précédent-4 du mot recherché occupe le rang que son suivant (précédent-3) avait à la ligne 6, soit 91. Mais comme 91 = 3 × 4! + 19, le précédent-4 du mot recherché est au rang 19 dans la quatrième tranche de 4! et le P (cinquième lettre de l'anagramme de départ) sera donc à la quatrième position de ce mot de 5 lettres sans I ni H ni N ni T, c’est-à-dire à la position 7 du mot recherché.
À ce stade donc, le mot recherché se présente comme suit : I H – – N – P T –
À la ligne 4, il n'y a que des mots de 4 lettres sans I ni H ni N ni T ni P et le précédent-5 du mot recherché occupe le rang que son suivant (précédent-4) avait à la ligne 5, soit 19. Mais comme 19 = 3 × 3! + 1, le précédent-5 du mot recherché est au rang 1 dans la quatrième tranche de 3! et le D (quatrième lettre de l'anagramme de départ) sera donc à la quatrième position de ce mot de 4 lettres sans I ni H ni N ni T ni P, c’est-à-dire à la position 9 du mot recherché.
À ce stade donc, le mot recherché se présente comme suit : I H – – N – P T D
À la ligne 3, il n'y a que des mots de 3 lettres sans I ni H ni N ni T ni P ni D et le
précédent-6 du mot recherché occupe le rang que son suivant (précédent-5) avait à la ligne 4, soit 1. Mais comme 1 = 0 × 2! + 1, le précédent-6 du mot recherché est au rang 1 dans la première tranche de 2! et le E (troisième lettre de l'anagramme de départ) sera donc à la première position de ce mot de 3 lettres sans I ni H ni N ni T ni P ni D, c’est-à-dire à la position 3 du mot recherché.
À ce stade donc, le mot recherché se présente comme suit : I H E – N – P T D
À la ligne 2, il n'y a que des mots de 2 lettres formés de O et A, et le précédent-7 du mot recherché occupe le rang que son suivant (précédent-6) avait à la ligne 3, soit 1. Mais comme 1 = 0 × 1! + 1, le précédent-7 du mot recherché est au rang 1 dans la première tranche de 1! et le A (deuxième lettre de l'anagramme de départ) sera donc à la première position de ce mot de 2 lettres formés de O et A, c’est-à-dire à la position 4 du mot recherché.
À ce stade donc, le mot recherché se présente comme suit : I H E A N – P T D
Le O n'a donc qu'une place possible : la sixième.
Le mot qui apparaît au rang 2011 dans la neuvième ligne est donc, toujours sauf erreur matérielle :
I H E A N O P T D
RÉCAPITULATION GÉNÉRALE DES RÉPONSES Partie I question 1 R = 58 852
Partie I question 2 Le mot qui apparaît au rang 2011 est ADIPHNEOT Partie II question 1 L'anagramme de départ est : IAPENTOHD
Partie II question 2 Le mot du rang 2011, neuvième ligne, est TNHDOIEPA Partie III question 1 L'anagramme de départ est : OAEDPTNHI
Partie III question 2 Le mot du rang 2011, neuvième ligne, est IHEANOPTD
