Anagrammes diophantiennes
Problème G268 de Diophante Proposé par Pierre Jullien Première partie
Avec les lettres de DIOPHANTE, on peut écrire 9 ! (360 880) mots dans lesquels chaque lettre apparaît une unique fois.
En rangeant tous ces mots par ordre alphabétique, à quel rang R le mot DIOPHANTE apparaît-il ? Quel mot apparaît au rang 2011 ?
Deuxième partie
Une autre manière d’obtenir tous ces mots est de dresser un tableau factoriel, de type 1. Partant d’une anagramme de DIOPHANTE, par exemple : PHODATINE, on écrit sur la première ligne la première lettre P. Puis sur la deuxième ligne, on insère la deuxième lettre H, pour obtenir la liste : HP PH. On recommence pour les lignes suivantes : pour chacun des mots de la liste n-1(gardés dans l’ordre), on intercale, de gauche à droite, la nième lettre, aux rangs 1, 2, …, n. Ainsi, sur la troisième ligne, on obtient OHP HOP HPO (à partir de HP) puis OPH POH PHO (à partir de PH). D’où le début du tableau :
P
HP PH
OHP HOP HPO OPH POH PHO
DOHP ODHP OHDP OHPD DHOP HDOP HODP HOPD DHPO HDPO etc.
Ainsi on obtient, sur la neuvième ligne, tous les mots construits avec toutes les lettres de PHODATINE, utilisées chacune une fois.
Quel doit être l’anagramme de départ d’un tableau factoriel de type 1, pour que le mot DIOPHANTE apparaisse dans la neuvième ligne, au rang R obtenu
précédemment ? Quel mot apparaît au rang 2011, dans cette neuvième ligne ? Troisième partie
Une troisième manière d’obtenir tous ces mots est de dresser un tableau factoriel, de type 2. Partant d’une anagramme de DIOPHANTE, par exemple : PHODATINE, on écrit sur la première ligne la première lettre P. Puis sur la
deuxième ligne, on insère, de gauche à droite, la deuxième lettre H, pour obtenir HP PH. On recommence, en introduisant une nouvelle lettre pour toute la liste
précédente, au rang 1, puis au rang 2, etc. D’où le début du tableau : P
HP PH
OHP OPH HOP POH HPO PHO
DOHP DOPH DHOP DPOH DHPO DPHO ODHP ODPH HDOP PDOH etc.
Comme précédemment, on obtient, sur la neuvième ligne, tous les mots construits avec toutes les lettres de PHODATINE, utilisées chacune une fois.
Quel doit être l’anagramme de départ d’un tableau factoriel de type 2, pour que le mot DIOPHANTE apparaisse dans la neuvième ligne, au rang R obtenu
précédemment ? Quel mot apparaît au rang 2011, dans cette neuvième ligne ?
Solution
Première partie
Dans l’ordre alphabétique, avec l’alphabet restreint à ADEHINOPT, repérons les mots qui précèdent DIOPHANTE. Il y a tous les mots commençant par A ; on note A8 (A suivi de huit lettres) leur ensemble. Ensuite, il y a tous les mots
commençant par DA, DE ou DH ; on note DA7, DE7 et DH7 leurs ensembles. Etc.
Ainsi l’ensemble des mots qui précèdent DIOPHANTE est la réunion des ensembles : A8, DA7, DE7, DH7, DIA6, DIE6, DIH6, DIN6, DIOA5, DIOE5, DIOH5, DION5, DIOPA4, DIOPE4, DIOPHAE2 et DIOPHANET
D’où le nombre R – 1 de mots qui précèdent DIOPHANTE :
R-1 = 8 ! + 3 * 7 ! + 4 * 6 ! + 4 * 5 ! + 2 * 4 ! + 2 ! + 1 = 58 851 Ainsi R = 58 852
De manière inverse 2010 = 2*6 ! + 4*5 ! + 3*4 ! + 3*3 !
Les mots qui précèdent le 2011ème, sont donc ADE6, ADH6, ADIE5, ADIH5, ADIN5, ADIO5, ADIPE4, ADIPH4, ADIPN4, ADIPOE3, ADIPOH3, ADIPON3.
Le mot cherché est ADIPOTEHN.
Deuxième partie
Cherchons le mot M, qui apparaît au rang 58 852, dans le tableau factoriel de type 1 construit sur 123456789 :
1 21 12
321 231 213 312 132 123
4321 3421 3241 3214 4231 2431 2341 2314 …
La neuvième ligne est constituée de 8 ! segments de neuf mots, issus des mots de la huitième ligne. Du fait que 58 852 = 9 * 6 539 + 1, le chiffre 9 est au rang 1 dans M, sur la neuvième ligne, et le mot M-9 (lire : M sans le chiffre 9) est au rang 6 540, sur la huitième ligne.
De manière analogue, l’égalité : 6 540 = 8 * 817 + 4 nous informe que le chiffre 8 est au rang 4 dans M-9 et que le mot M-98 est au rang 818 sur la septième ligne. On calcule, de proche en proche :
818 = 7 * 116 + 6 donc 7 est au rang 6 dans M-98
et M-987 est au rang 117 sur la sixième ligne
117 = 6 * 19 + 3 donc 6 est au rang 3 dans M-987
et M-9876 est au rang 20 sur la cinquième ligne 20 = 5 * 3 + 5 donc 5 est au rang 5 dans M-9876
et M-98765 est au rang 4 sur la quatrième ligne Ainsi, on a : M-98765 = "3214" ; M-9876 = "32145" ; M-987 = "326145" ; M-98 = "3261475" ; M-9 = "32681475" et enfin M = "932681475"
Il suffit de faire la bijection entre DIOPHANTE et 932681475 pour trouver l’anagramme cherchée : AOINEPTHD
Par la même méthode, dans le tableau factoriel de type 1 construit sur 123456789, on trouve que le 2011ème mot sur la neuvième ligne est 543962178.
Ainsi, le mot demandé est ENIDPOATH.
Troisième partie
Cherchons le mot M, qui apparaît au rang 58 852, dans le tableau factoriel de type 2 construit sur 123456789 :
1 21 12
321 312 231 132 213 123
4321 4312 4231 4132 4213 4123 3421 3412 2431 1432…
La neuvième ligne est constituée de neuf segments de 8 ! mots, issus des mots de la huitième ligne. Du fait que 58 852 = 1 * 8 ! + 18 532, le chiffre 9 est au rang 2 dans M, sur la neuvième ligne, et le mot M-9 est au rang 18 532, sur la huitième ligne.
De manière analogue, l’égalité : 18 532 = 3 * 7 ! + 3 412 nous informe que le chiffre 8 est au rang 4 dans M-9 et que le mot M-98 est au rang 3 412 sur la septième ligne. On calcule, de proche en proche :
3 412 = 4 * 6 ! + 532 le chiffre 7 est au rang 5 dans M-98 532 = 4 * 5 ! + 52 le chiffre 6 est au rang 5 dans M-987 52 = 2 * 4 ! + 4 le chiffre 5 est au rang 3 dans M-9876 4 = 0 * 3 ! + 4 le chiffre 4 est au rang 1 dans M-98765 4 = 1 * 2 ! + 2 le chiffre 3 est au rang 2 dans M-987654 2 = 1 *1 ! + 1 le chiffre 2 est au rang 2 dans M-9876543
Les antécédents de M, ligne par ligne, sont donc : "1", "12", "132", "4132",
"41532", "415362", "4153762", "41583762" et enfin M = "491583762".
Il suffit de faire la bijection entre DIOPHANTE et 491583762 pour trouver l’anagramme cherchée : OEADPTNHI
Par la même méthode, dans le tableau factoriel de type 2 construit sur 123456789, on trouve que le 2011ème mot sur la neuvième ligne est 983271564.
Ainsi, le mot demandé est IHAENOPTD.
