G268 : Anagrammes diophantiennes.
On commence à compter à partir du rang 0. On note donc que le rang d'un anagramme est le nombre d'anagrammes qui le précèdent, le 2011e anagramme est l'anagramme de rang 2010.
Première partie :
On note tout d'abord que seule la lettre 'a' précède 'd' parmi les lettres de 'diophante' et il existe 8! anagrammes de 'diophante' commençant par 'a', il y a donc 8! anagrammes classés avant le premier anagramme commençant par 'd'.
Ensuite, seules 'a', 'e' et 'h' précèdent 'i' parmi les lettres de 'iophante', il y a donc 3*7!
anagrammes classés entre le premier anagramme commençant par 'd' et le premier commençant par 'di'.
Ainsi de suite on établit qu'il y a 8!+3*7!+4*6!+4*5!+2*4!+0*3!+1*2!+1*1!=58851 anagrammes précédant 'diophante' dans le classement.
Donc, 'diophante' apparaît au 58851e rang (il s'agit donc du 58852e anagramme).
On note que 2010=0*8!+0*7!+2*6!+4*5!+3*4!+3*3!+0*2!+0*1! , il y a donc 0 lettre précédant la première lettre du 2011e anagramme qui commence alors par 'a', ensuite aucunes des lettres restantes ne précède la deuxième qui est donc 'd', puis seules deux des lettres restantes précèdent la troisième qui est donc 'i', …
On établit ainsi de suite que le 2011e anagramme est 'adipotehn'.
Deuxième partie :
La position de la dernière lettre placée dans l'anagramme dépend de la congruence de son rang modulo 9, et comme 58851 = 0 [9] , alors la dernière lettre placée sera la première lettre de l'anagramme du rang 58851, il faut donc que 'd' soit la dernière lettre de l'anagramme de départ.
Ensuite, en retirant 'd' à tous les anagrammes, on note que ceux-ci s'organisent par groupes de 9 anagrammes consécutifs de 'iophante' identiques. En prenant la partie entière du neuvième du rang, on obtient alors le rang de l'anagramme parmi les anagrammes de 'iophante' avec le même principe de classification.
On calcule donc 58851/9 = 6539 = 3 [8] , alors la dernière lettre à placée à l'avant-dernière ligne sera précédée de 3 lettres, il faut donc que ce soit 'h' , qui est précédée de trois lettres dans 'iophante'.
On calcule alors de même E(6539/8) = 817 = 5 [7], et 't' est précédée de 5 lettres dans 'iopante', E(817/7) = 116 = 2 [6], qui correspond à 'p', …
Ainsi de suite on établit que l'anagramme de départ doit être 'aoinepthd'.
Comme 2010 = 3 [9], 'd' sera précédée de 3 lettres dans le 2011e anagramme d'après cette classification. Puis E(2010/9)=223=7[8], donc 'h' sera précédée de 7 lettres dans les lettres restantes, puis 't' sera précédée de 6 lettres parmi les lettres restantes et ainsi de suite.
Le 2011e anagramme sera alors 'enidpoath'.
Troisième partie :
On note que la dernière lettre insérée figure en première position dans le premier neuvième d'anagrammes, en deuxième position dans le deuxième neuvième, …
Or, 58852=8!+3*7!+4*6!+4*5!+2*4!+0*3!+1*2!+1*1!, donc 58851 est compris entre 9!/9 et 2*9!/9, donc la dernière lettre insérée est en deuxième position dans le 58852e anagramme de 'diophante', il faut donc que cette lettre soit 'i'.
Ensuite, on opère de même avec les huitièmes du deuxième neuvième (oui, je sais, ça devient flou). Bref, on regarde le coefficient de 7!, qui nous dit que l'avant-dernière lettre insérée sera précédée de 3 lettres (sans compter le 'i'). Il faut donc que ce soit la lettre 'h'.
Et ainsi de suite, on établit que l'anagramme de départ doit être 'oeadptnhi'.
Comme 2010=0*8!+0*7!+2*6!+4*5!+3*4!+3*3!+0*2!+0*1!, la dernière lettre de 'oeadptnhi' est en première position de l'anagramme 2011.
Ensuite, l'avant-dernière se retrouve première parmi les lettres restantes et ainsi de suite.
On établit que le 2011e anagramme est alors 'ihaenoptd'.
