G268 - ANAGRAMMES DIOPHANTIENNES
ENONCE : Problème proposé par Pierre Jullien : Première partie
Avec les lettres de DIOPHANTE, on peut écrire 9 ! (362 880) mots dans lesquels chaque lettre apparaît une unique fois.
En rangeant tous ces mots par ordre alphabétique, à quel rang R le mot DIOPHANTE apparaît-il ? Quel mot apparaît au rang 2011 ? etc...
SOLUTION de Q1 :
a) Remises dans l'ordre alphabétique, les lettres de DIOPHANTE forment le 1er mot :ADEHINOPT.
Le mot DIOPHANTE est précédé par 8 ! mots commençant par A, 40 320 puis 3 fois 7 ! mots commençant par DA, DE, ou DH 15 120 4 fois 6 ! mots commençant par DIA, DIE, DIH, ou DIN 2 880 4 fois 5 ! mots commençant par DIOA, DIOE, DIOH, ou DION 480 2 fois 4 ! mots commençant par DIOPA, ou DIOPE, 48 et encore 3 mots : DIOPHAENT, DIOPHAETN et DIOPHANET 3 le total est 58 851 donc R = 58 852.
b) Les 2 fois 6 ! soit 1440 premiers mots commencent par ADE ou ADH. Ils sont suivis par 4 fois 5 ! soit 480 mots commençant par ADIE, ADIH, ADIN, ADIO . Viennent ensuite 3 fois 24 soit 72 mots commençant par ADIPE, ADIPH, ADIPN, puis
3 fois 6 soit 18 mots commençant par ADIPOE, ADIPOH, ADIPON total 2010.
Le 2011ème mot est donc le premier mot commençant par ADIPOT, soit ADIPOTEHN . SOLUTION de Q2 :
a)Soit le tableau factoriel construit à partir du mot ABCDEFGHI.
Les ''fils'' du A de la ligne 1 sont, dans la ligne 9 les 362880 anagrammes.
Les ''fils'' du BA de la ligne 2 sont, dans la ligne 9 , au nombre de 362 880 /2 = 181 440.
Les ''fils'' du CBA de la ligne 3 sont, dans la ligne 9 , au nombre de 181 440/3 = 60 480 Les ''fils'' du DCBA de la ligne 4 sont, dans la ligne 9 , au nombre de 60 480/4 = 15 120.
Même nombre 15 120 pour les fils dans la ligne 9 des CDBA et CBDA de la ligne 4 Dans la ligne 9, le mot de rang R = 58 852 se situe après les 3 fois 15 120 = 45 360 fils des DCBA, CDBA, CBDA , il est parmi les fils de CBAD.
Son rang, parmi ces derniers est R - 45360 = 13492.
L'ensemble des fils des ECBAD CEBAD CBEAD CBAED de la ligne 5 comprend 4 fois 15 120/5 = 12 096 anagrammes. Nous en sommes à 45 360 + 12 096 = 57 456.
Le mot recherché occupe dans la ligne 9, le rang R – 57 456 = 1396 parmi les fils du CBADE de ligne 5.
L'ensemble des fils des FCBADE et CFBADE de ligne 6 comprend 2 fois 504 = 1008 mots en ligne 9.
Le mot recherché occupe,dans la ligne 9, le rang 1396 –1008 = 388 parmi les fils du CBFADE de ligne 6.
L'ensemble des fils de GCBFADE, CGBFADE,CBGFADE, CBFGADE, CBFAGDE, de la ligne 7 comprend 5 fois 72 = 360 mots en ligne 9.
Le mot recherché occupe,dans la ligne 9, le rang 388 – 360 = 28 parmi les fils de CBFADGE de ligne 7.
L'ensemble des fils de HCBFADGE, CHBFADGE, CBHFADGE, de ligne 8 comprend 3x9 = 27 mots.
Le mot recherché est le premier des fils de CBFHADGE, c'est donc ICBFHADGE.
Le décodage ICBFHADGE→DIOPHANTE donne ABCDEFGHI→AOINEPTHD .
b)En partant de ABCDEFGHI, on trouve pour premier mot dans la ligne 5 , EDCBA dont les 3024 fils seront les 3024 premiers mots de la ligne 9.
FEDCBA, EFDCBA, EDFCBA, de la ligne 6 ont ensemble 3 x 504 = 1512 fils qui sont les 1512 premiers mots de ligne 9.
Le mot recherché occupe,dans la ligne 9, le rang 2011 – 1512 = 499 parmi les fils de EDCFBA.
GEDCFBA, EGDCFBA, EDGCFBA, EDCGFBA, EDCFGBA, EDCFBGA, de la ligne 7 ont ensemble 6 x 72 = 432 fils en ligne 9.
Le mot recherché occupe,dans la ligne 9, le rang 499 – 432 = 67 parmi les fils de EDCFBAG.
HEDCFBAG, EHDCFBAG, EDHCFBAG, EDCHFBAG, EDCFHBAG, EDCFBHAG, EDCFBAHG, ont ensemble 9 x 7 = 63 fils en ligne 9.
Le mot recherché occupe,dans la ligne 9, le rang 67 – 63 = 4 parmi les fils de EDCFBAGH.
C'est donc le mot EDCIFBAGH qui occupe en ligne 9 la 2011ème place du tableau issu de ABCDEFGHI Le décodage ABCDEFGHI→AOINEPTHD donne EDCIFBAGH→ENIDPOATH .
C'est le mot ENIDPOATH qui occupe en ligne 9 la 2011ème place du tableau issu de AOINEPTHD SOLUTION deQ3
a) Le tableau de type 2 comprend : Ligne 1 : un mot d'une seule lettre.
Ligne 2 : 2 mots. Ligne 3 : 3 paquets de 2 mots. Ligne 4 : 4 paquets de 6 mots.
Ligne 5 : 5 paquets de 24 mots. Ligne 6 : 6 paquets de 120 mots. Ligne 7 : 7 paquets de 720 mots.
Ligne 8 : 8 paquets de 5040 mots. Et ligne 9 : 9 paquets de 40320 mots.
On raisonne provisoirement avec l'anagramme de départ ABCDEFGHI , Dans cette ligne 9, le mot qui occupe le rang R = 58852 se situe dans le 2ème paquet, au rang 18532 car 58852 – 40320 = 18532.
Si on efface la lettre I qui est la 2ème de ce mot on obtient le 18532ème mot de la ligne 8.
Il y est situé dans le 4ème paquet car 3*5040 < 18532 < 4*5040 et, dans ce 4ème paquet, il a le rang 3412 car 18532 – 3*5040 = 3412. Si on efface le H qui est la 4ème lettre, on obtient le 3412 ème mot de la ligne 7. Il y est situé dans le 5ème paquet car 4*720 < 3412 < 5*720, dans ce 5ème paquet, il a le rang 3412 – 4*720 = 532. Si on efface le G qui est la 5ème lettre, on obtient le 532ème mot de la ligne 6.
Il y est situé dans le 5ème paquet car 4*120 < 532 < 5*120, dans ce 5ème paquet, il a le rang 532 – 4*120 soit 52. Si on efface le F qui est la 5ème lettre, on obtient le 52ème mot de la ligne 5.
Il y est situé dans le 3ème paquet car 2*24 < 52 < 3*24, dans ce 3ème paquet, il a le rang 52 – 2*24 = 4.
Si on efface le E qui est la 3ème lettre, on obtient le 4ème mot de la ligne 4.
Ligne 1 : A, Ligne 2 : BA AB , Ligne 3 : CBA CAB BCA ACB BAC ABC Début de la ligne 4 : DCBA , DCAB, DBCA, DACB, DBAC, DABC.
Partant de DACB et en rétablissant E en place 3, F en place 5, G en place 5, H en place 4, et I en place 2, on obtient DAECB, DAECFB, DAECGFB, DAEHCGFB, DIAEHCGFB.
Décodage :
D I A E H C G F B A B C D E F G H I
D I O P H A N T E O E A D P T N H I
L'anagramme de départ doit être OEADPTNHI.
b)Quel mot apparaît au rang 2011 de cette 9ème ligne ? Il se situe dans le premier paquet car 2011<40320 Il provient du terme de rang 2011 dans le premier paquet de 5040 mots de la ligne 8.
Lui même provient du terme de rang 571 dans le 3ème paquet de la ligne 7 car 2011 – 2*720 = 571, qui provient du terme de rang 91 dans le 5ème paquet de la ligne 6 car 571 – 4*120 = 91,
qui provient du terme de rang 19 dans le 4ème paquet de la ligne 5, car 91 – 3*24 = 19 qui provient du terme de rang 1 dans le 4ème paquet de la ligne 4 , car 19 – 3*6 = 1
Ce mot de départ est CBAD en ligne 4. On insère E en place 4, F en place 5, G en place 3, H en place 1 et I en place1 : on obtient : CBAED, CBAEFD, CBGAEFD , HCBGAEFD, IHCBGAEFD.
Si l'anagramme de départ du tableau était ABCDEFGHI , le 2011ème terme serait IHCBGAEFD . Mais avec l'anagramme de départ OEADPTNHI, le 2011ème terme est IHAENOPTD
