G268 -Anagrammes diophantiennes Solution proposée par David Amar
Première partie:
Les mots commençants par A sont au nombre de 8!, puis viennent les mots en D
Les mots commençants par DA, DE et DH sont au nombre de 3*7!, puis viennent les mots en DI
Les mots commençants par DIA, DIE, DIH et DIN sont au nombre de 4*6!, puis viennent les mots en DIO
Les mots commençants par DIOA, DIOE, DIOH et DION sont au nombre de 4*5!, puis viennent les mots en DIOP
Les mots commençants par DIOPA et DIOPE sont au nombre de 2*4!, puis viennent les mots en DIOPH et même DIOPHA
Les mots commençants par DIOPHAE sont au nombre de 2!, puis viennent les mots en DIOPHAN
Les mots commençants par DIOPHANE sont au nombre de 1!, puis viennent les mots en DIOPHANT et même DIOPHANTE
Le mot DIOPHANTE est donc le numéro 1+8!+3*7!+4*6!+4*5!+2*4!+2!+1! = 58852ème
Deuxième partie:
Il y a des mots sur la ligne i. Lorsqu'on écrit la ligne i+1, on écrit i+1 nouveaux mots (un par position de la nouvelle lettre) pour chaque mot de la ligne i.
Si on indice nos mots et nos lettres de 0 à x; le mot numéro N de la ligne i+1 est donc formé par le mot numéro N/(i+1) de la ligne précédente (partie entière); et la lettre ajoutée est la numéro N modulo (i+1) dans le mot.
Cela nous donne le résultat suivant:
A la ligne n°9, le mot "DIOPHANTE" est à la position 58851, composé de la lettre "D" et du mot "IOPHANTE" de la ligne 8, position n°6539
A la ligne n°8, le mot "IOPHANTE" est à la position 6539, composé de la lettre "H" et du mot
"IOPANTE" de la ligne 7, position n°817
A la ligne n°7, le mot "IOPANTE" est à la position 817, composé de la lettre "T" et du mot
"IOPANE" de la ligne 6, position n°116
A la ligne n°6, le mot "IOPANE" est à la position 116, composé de la lettre "P" et du mot
"IOANE" de la ligne 5, position n°19
A la ligne n°5, le mot "IOANE" est à la position 19, composé de la lettre "E" et du mot
"IOAN" de la ligne 4, position n°3
A la ligne n°4, le mot "IOAN" est à la position 3, composé de la lettre "N" et du mot "IOA"
de la ligne 3, position n°0
A la ligne n°3, le mot "IOA" est à la position 0, composé de la lettre "I" et du mot "OA" de la ligne 2, position n°0
A la ligne n°2, le mot "OA" est à la position 0, composé de la lettre "O" et du mot "A" de la ligne 1, position n°0
=> En partant de "AOINEPTHD", le 58852ème mot de la dernière ligne sera donc
"DIOPHANTE"
Inversement:
2010 = 3 + 9*223 223 = 7 + 8*27 27 = 6 + 7*3
3 = 3 + 6*0
Le mot numéro 0 de la ligne 1 est A Le mot numéro 0 de la ligne 2 est OA Le mot numéro 0 de la ligne 3 est IOA Le mot numéro 0 de la ligne 4 est NIOA Le mot numéro 0 de la ligne 5 est ENIOA Le mot numéro 3 de la ligne 6 est ENIPOA Le mot numéro 27 de la ligne 7 est ENIPOAT Le mot numéro 223 de la ligne 8 est ENIPOATH Le mot numéro 2010 de la ligne 9 est ENIDPOATH
=> En partant de "AOINEPTHD", le 2011ème mot de la 9ème ligne est ENIDPOATH
Troisième partie:
Il y a des mots sur la ligne i. Lorsqu'on écrit la ligne i+1, on écrit autant de mot que sur la ligne i; et ce i+1 fois
Vu qu'une ligne i contient tous les mots formables à partir de i lettres différentes, elle contient i! mots
Si on indice nos mots et nos lettres de 0 à x; le mot numéro N de la ligne i+1 est donc formé par le mot numéro N modulo i! de la ligne précédente; et la lettre ajoutée est la numéro N/i!
(partie entière) dans le mot.
Cela nous donne le résultat suivant:
A la ligne 9, le mot "DIOPHANTE" est à la position 58851, composé de la lettre "I" et du mot
"DOPHANTE" de la ligne 8, position 18531
A la ligne 8, le mot "DOPHANTE" est à la position 18531, composé de la lettre "H" et du mot
"DOPANTE" de la ligne 7, position 3411
A la ligne 7, le mot "DOPANTE" est à la position 3411, composé de la lettre "N" et du mot
"DOPATE" de la ligne 6, position 531
A la ligne 6, le mot "DOPATE" est à la position 531, composé de la lettre "T" et du mot
"DOPAE" de la ligne 5, position 51
A la ligne 5, le mot "DOPAE" est à la position 51, composé de la lettre "P" et du mot
"DOAE" de la ligne 4, position 3
A la ligne 4, le mot "DOAE" est à la position 3, composé de la lettre "D" et du mot "OAE" de la ligne 3, position 3
A la ligne 3, le mot "OAE" est à la position 3, composé de la lettre "A" et du mot "OE" de la ligne 2, position 1
A la ligne 2, le mot "OE" est à la position 1, composé de la lettre "E" et du mot "O" de la ligne 1, position 0
A la ligne 1, le mot "O" est à la position 0, composé de la lettre "O" et du mot "" de la ligne 0, position 0
=> En partant de "OEADPTNHI", le 58852ème mot de la dernière ligne sera donc
"DIOPHANTE"
Inversement:
Mot n°2010 ligne 9: lettre I ajoutée à la position 0; mot précédent n°2010 sur la ligne 8 Mot n°2010 ligne 8: lettre H ajoutée à la position 0; mot précédent n°2010 sur la ligne 7 Mot n°2010 ligne 7: lettre N ajoutée à la position 2; mot précédent n°570 sur la ligne 6 Mot n°570 ligne 6: lettre T ajoutée à la position 4; mot précédent n°90 sur la ligne 5 Mot n°90 ligne 5: lettre P ajoutée à la position 3; mot précédent n°18 sur la ligne 4
Mot n°18 ligne 4: lettre D ajoutée à la position 3; mot précédent n°0 sur la ligne 3 Mot n°0 ligne 3: lettre A ajoutée à la position 0; mot précédent n°0 sur la ligne 2 Mot n°0 ligne 2: lettre E ajoutée à la position 0; mot précédent n°0 sur la ligne 1
=> En partant de "OEADPTNHI", le 2011ème mot de la 9ème ligne est donc IHAENOPTD
